《兩條直線平行與垂直的判定》的教學設計、反思和重新設計

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1、《兩條直線平行與垂直的判定》的教學設計、反思和重新設計 高中課堂教學研究中小學數(shù)學坤學版iIII 原始教學設計 一 ,內(nèi)容與內(nèi)容解析 直線的平行和垂直是兩條直線的重要位置關系, 本節(jié)課的主要內(nèi)容是利用斜率來判斷兩條直線的這 兩種重要的位置關系.兩條直線平行與垂直的判定這 節(jié)內(nèi)容,安排在學習了傾斜角與斜率之后,是直線的 斜率這個工具的一個具體應用. 在初中數(shù)學平面幾何中,我們已經(jīng)學習過判斷兩 條直線是否平行的方法,如同位角相等兩直線平行等 等,也學習過如何判斷兩條直線是否垂直的方法.在 高中《數(shù)學0》中的第二章立體幾何中,我們從宏觀 上知道兩條直線有三種位置關系:

2、相交,平行和異面, 其中垂直也是兩條直線的位置關系的一種特殊情況. 那么,在第三章《直線與方程》中,我們是通過建立直 角坐標系,計算兩條直線的斜率(如果存在)的關系, 來判斷兩條直線的位置關系.這是從微觀的角度來考 慮,是通過代數(shù)關系得到幾何結論,體現(xiàn)了用代數(shù)方 法研究幾何問題的笛卡爾坐標法思想. 當兩條不重合直線平行時,它們的斜率相等,或 者它們的斜率都不存在,這時這兩條直線都與軸垂 直.反之,若兩條不重合直線的斜率k=k或斜率同 時不存在,那么我們可以得到這兩條直線平行.由k = k:,可得到Z與z的傾斜角相等,這樣就把代數(shù)關 系轉化為幾何關系,根據(jù)幾何知識,兩條

3、直線被第三 條直線所截,同位角相等,兩直線平行,從而判定直 線I與f:平行. 類比,教材提出思考題”2上f:時,k.與k:滿足什 么關系?”實際上,如果兩條直線都有斜率,且它們互 相垂直,那么它們的斜率之積等于一1;反之,如果它 們的斜率之積等于一1,那么它們互相垂直,即l.上 12k:=一1.這個結論成立的條件是兩條直線都有 斜率,并且都不等于零.當2.上1:時,還有一種特殊情 況是,l.與z中一條直線的斜率不存在,另一條直線的 斜率為零.具體證明結論時,教材利用”三角形任一 外角等于其不相鄰兩內(nèi)角之和”得到Ot:=90.+O/, 并利用tana:=tan(90.+)

4、=一,得到一= 一 1.反過來時,這個結論也成立.這里再次體現(xiàn)了解 . 15. l中小學數(shù)學?中學版I__…………………?-課堂教學研究 析幾何的思想,即通過代數(shù)關系獲得幾何結論 二,目標與目標解析 根據(jù)《普通高中數(shù)學新課程標準(實驗)》中的要 求:能根據(jù)斜率判定兩條直線平行或垂直.根據(jù)《浙 江省普通高中新課程試驗數(shù)學學科教學指導意見 (2009版)》,本節(jié)課的教學目標是:①掌握用斜率判 定兩條直線平行和垂直的方法;②能利用斜率解決具 體問題,關鍵是掌握這種數(shù)學思想方法,即用代數(shù)方 法研究幾何問題的笛卡爾坐標法思想.在本節(jié)課中, 始終滲透要這種解析幾何思想方法

5、,培養(yǎng)學生的轉化 和化歸的能力. 三,教學問題診斷分析 本課時要求學生掌握用斜率判定兩條直線平行 和垂直的方法,能利用斜率解決具體問題.判定兩條 直線的位置關系的方法,學生在前面的學習過程中已 經(jīng)有一定的基礎,而且傾斜角的概念和斜率的公式也 剛剛學習完,這是學生的最近發(fā)展區(qū).所以教師的任 務之一是引導學生觀察兩條直線的兩種特殊位置關 系——平行和垂直,得出它們的斜率之間的代數(shù)關 系,通過觀察和猜想,再進行證明,最后利用這個特 殊的代數(shù)關系,進而判定兩條直線的位置關系. 綜上所述,教學重點是掌握用斜率判定兩條直線 平行和垂直的方法,教學難點是當兩條直線垂直時, 如何歸

6、納出它們之間斜率的代數(shù)關系. 四,教學支持條件分析 本課時充分借助信息技術手段,如幾何畫板, Powerpoint等.借助幾何畫板工具,形象直觀地展示, 當兩條直線垂直時,它們斜率之間的代數(shù)關系,幫助 學生直觀上認識和猜想f上12甘:=一1.這樣也更 . 16一 好解決教學的難點 高中 五,教學過程設計 (一)復習練習 1.已知直線CD的傾斜角為45.,點E(一1,0), F(0,1),求.,Jj}E,及直線EF的傾斜角0 2.已知c(3,0),H(3,一1),K(一2,0),S(一2,1),求 直線GH與KS的傾斜角分別為多少度? 3.已知A’(2,0),B(

7、O,2),P(一1,0),Q(0,一1), 求直線AB的斜率k與直線PQ的斜率 設計意圖:復習上節(jié)課內(nèi)容:直線的傾斜角和斜 率公式,并引出本節(jié)課研究的內(nèi)容,即兩條直線平行 與直線的斜率之間的代數(shù)關系. (二)探究新知和結論應用 問:請你分別畫出每小題中的直線,并且判斷兩 條直線的位置關系.你能猜想到什么結論?請說明理 由. 設計意圖:引導學生觀察,猜想和證明,兩條直 線平行和它們的斜率之間的代數(shù)關系,并結合具體的 兩條直線平行的實例,進一步引導和歸納完善結論, 即當兩條不重合的直線l,f:的斜率分別為,時,l ∥12甘l=2. 師生歸納:若兩條不重合的直線平行,則它

8、們的 斜率相等,或者它們的斜率都不存在,反之也成立. 練習題組一 已知點A(2,3),(一4,0),P(一3,1),Q(一1,2), c(o,2),D(一尋,一3),E(7,0). (1)試判斷直線AB與PQ的位置關系. (2)試判斷A,B,C三點是否在同一條直線上? 高中…………-…………?一課堂教學研究? (3)試判斷四邊形ABDE的形狀. 設計意圖:本題組是對歸納的結論進行簡單的應 用,引導學生掌握用斜率判定兩條直線平行的方法. 第1小題是通過代數(shù)關系轉化為幾何關系,第2小題 是為了讓學生掌握,通過斜率來判斷三點是否共線的 方法.第3小題是課本例題的改編,安排的

9、意圖是引 導學生并根據(jù)圖形進行進一步猜想,兩條直線垂直 時,它們之間的斜率有什么代數(shù)關系,即z上 12甘j}lJ}2=一1. 問:當A曰上AE時,直線日的斜率Jj}與直線AE 的斜率滿足什么關系?并說明理由.(用幾何畫板 演示過程)Jhy /日OEi 幽l 思考:當直線AB旋轉到經(jīng)過點A(2,3), 口(一5,3),AE經(jīng)過點A(2,3),E(2,一1)時,則直線 AB與AE的位置關系如何?剛才歸納的結論還成立嗎? 請畫出圖形. 設計意圖:利用幾何畫板,轉動直線AB且保持 AB上AE,讓學生進一步觀察和猜想與的代數(shù) 關系,并引導學生進行證明fl上12甘J}=一1.

10、在觀 察,猜想和證明的基礎上,結合思考題給出的實例,進 一 步歸納和改進完善剛才的結論. 師生歸納:Z1上12|j}:=一1或者Z.與f中一條 直線的斜率不存在,另一條直線的斜率為零. 練習題組二 1.判斷下列各小題中的每對直線是否垂直: ……………-- I中小學數(shù)學坤學版fl■ (1)l1的斜率為一了2, 經(jīng)過A(1,1),B(o,一); (2)Z.的傾斜角為45.,Z經(jīng)過點P(一2,一1), Q(3,一6). 2.已知直線f1經(jīng)過點A(m,1),B(3,4),z:經(jīng)過點 c(1,m),D(一1,m+1),根據(jù)下列條件求m的值: (1)ZlJ_Z2; (2)

11、AD上BC. 設計意圖:對上述歸納的結論進行簡單的應用. 第1小題要求學生利用斜率的關系,即代數(shù)關系來判 斷兩條直線的幾何位置關系;第2小題中,要求學生 能根據(jù)兩條直線的幾何位置關系,得出代數(shù)關系,引 導學生應用方程的思想進行解決. 練習題組三 1.過點(一1,1)且斜率為的直線z.與過點 (一—2,0)且斜率為的直線z平行,求m,并畫 出圖形. (答案:m=一9,”-3m=1時,Zl與Z重合,舍去) 2.在AABC中,已知頂點A(一10,2),B(6,4),垂 心為H(5,2),求點c的坐標. (答案:C(6,一6)) - B6,4) 一 :2一一一1 \

12、日.2) \/C 圖2 設計意圖:對本節(jié)課歸納的結論進行簡單的綜合 應用. (三)歸納小結 - l7一 一-I中小學數(shù)學坤學版I___………………-- 1.若兩條不重合的直線平行,則它們的斜率相 等,或者它們的斜率都不存在,反之也成立. 2.21J-12甘1k2m---一1或者ll與12中一條直線的 斜率不存在,另一條直線的斜率為零. (四)目標檢測設計 作業(yè)本 敦學后的反思 在我們區(qū)上完《兩條直線平行與垂直的判定》公 開課后,老師各抒己見,對本課的一些教學細節(jié)進行 了批評.筆者在教學完這節(jié)課后,也進行了對本節(jié)課 的反思,綜合起來,有以下幾點. 第一,這

13、節(jié)課的教學設計應突出的核心數(shù)學思想 方法是什么?我們知道,在教學設計過程中,應該突 出核心的數(shù)學思想方法.那么本節(jié)課的核心數(shù)學思想 方法是什么呢?我們討論的結果是,坐標法思想.通 過求兩條直線的斜率的代數(shù)關系,判斷它們之間的位 置關系.這是這節(jié)課的核心內(nèi)容.在前面所學習過的 內(nèi)容中,我們已經(jīng)能夠判斷兩條直線的平行和垂直的 位置關系.比如,同位角相等,兩直線平行;我們在 向量的學習過程中,通過向量也能判斷兩條直線平行 和垂直;通過解三角形求角,也能判斷兩條直線是否 垂直.那么本節(jié)課是利用坐標法思想,通過建立兩條 直線的斜率的代數(shù)關系,來判斷兩條直線是否平行或 垂直.在這一

14、章中,我們始終要體現(xiàn)的是坐標法的思 想,這是我們的根本大法.在課堂中,我們受到了向 量法的干擾,這里是否需要展開呢?還是就此打住? 我們教師也各抒己見.有的認為可以復習以前向量的 內(nèi)容,提高學生的數(shù)學能力,課堂也顯得更加豐富. 有的認為本節(jié)課的核心是坐標法,所以其它方法不必 一 18一 課堂教學研究…………………………高中 要進行拓展,點到為止.筆者贊同的是后一種意見. 一 節(jié)課的展開必須圍繞著核心的思想方法進行展開, 削支強干. 第二,關于課題的引入問題.本節(jié)課,筆者利用 三個小題,復習前一節(jié)課的內(nèi)容,傾斜角的概念和斜 率的公式.同時利用這三個小題作為引入,歸納

15、出兩 條不重合直線平行的條件是它們的斜率相等或者它 們的斜率同時不存在.這樣引入既能復習上節(jié)課的內(nèi) 容,又能導出本節(jié)課的主要內(nèi)容,筆者上完本節(jié)課之 后,也覺得過渡比較自然.評課的老師提出了寶貴的 意見,本節(jié)課為什么要用斜率來判斷兩條直線的位置 關系呢?我國著名數(shù)學家華羅庚說過:”數(shù)缺形時少 直觀,形少數(shù)時難人微,數(shù)形結合百般好,隔離分家事 萬休.”那么本節(jié)課的引入是否觸及到本節(jié)課的核心 思想方法——坐標法呢?答案是否定的.因此我們在 引入時,用計算機畫出兩條看似平行的直線,但實際 上不平行,作為研究的對象進行深入研究,這樣可能 更好地體現(xiàn)本節(jié)課的內(nèi)容,也能回答為什么要用

16、斜率 來判斷兩條直線的位置關系了.這樣修改之后,本節(jié) 課也更加緊湊了,留給學生的自主思考的時間也更加 充裕.在修改后的教學設計中,筆者采用了這樣的想 法.至于課堂的教學效果,還看具體的實踐,也希望 各位專家提出寶貴的意見. 修改后的教學過程設計 (一)新課引入 問:請同學們觀察圖3,你能判斷直線AB與直線 CD的位置關系嗎? 設計意圖:激發(fā)學生的學習興趣,同時可以復習 上節(jié)課內(nèi)容直線的傾斜角和斜率公式,并引出本節(jié)課 高中………………………課堂教學研究- 研究的內(nèi)容,用代數(shù)的方法來研究兩條直線的位置關 系,即兩條直線平行與直線的斜率之間的代數(shù)關系. 由 J ●

17、 / / l 圖3 (二)探究新知和結論應用 問:如何判斷這兩條直線的位置關系?請說明理 設計意圖:引導學生思考和證明,兩條直線平行 和它們的斜率之間的代數(shù)關系,并結合具體的兩條直 線平行的實例,進一步引導和歸納完善結論,即當兩 條不重合的直線z,1:的斜率分別為k.,k:時,z∥ 12~Ok1=k2. 歸納:若兩條不重合的直線平行,則它們的斜率 相等,或者它們的斜率都不存在,反之也成立. 練習題組一 已知點A(2,3),B(一4,0),P(一3,1),Q(一1,2), C(0,2),D(一5,一3),E(,0). (1)試判斷直線AB與PQ的位置關系.問:直線

18、 AB與JPQ是否重合? (2)試判斷A,B,C三點是否在同一條直線上? (3)試判斷四邊形ABDE的形狀. 設計意圖:本題組是對歸納的結論進行簡單的應 用,引導學生掌握用斜率判定兩條直線平行的方法. 第1小題是通過代數(shù)關系轉化為幾何關系,第2小題 是為了讓學生掌握,通過斜率來判斷三點是否共線的 中小學數(shù)學坤學版}羹 方法.歸納完判斷三點是否共線的方法之后,再追問, 直線A日與PQ是否重合呢?追問的目的是讓學生進行 數(shù)學上的嚴謹?shù)乃伎?第3小題是課本例題的改編, 安排的意圖是引導學生根據(jù)圖形進行進一步猜想,兩 條直線垂直時,它們之間的斜率有什么代數(shù)關系,即 Zl上Z

19、21k2=一1. 問:當AB上AE時,直線AB的斜率k與直線AE 的斜率k滿足什么關系?并說明理由.(用幾何畫板 演示過程) 思考:當直線AB旋轉到經(jīng)過點A(2,3), 曰(一5,3),AE經(jīng)過點A(2,3),E(2,一1)時,直線AB 與AE的位置關系如何?剛才歸納的結論還成立嗎?請 畫出圖形 J /一B0E 幽4 設計意圖:使用幾何畫板作為教學輔助工具,旋 轉直線AB和AE,并且保持AB上AE,讓學生進一步 觀察和猜想k與k的代數(shù)關系,并引導學生進行 證明2.上12甘.k2=一1.在觀察,猜想和證明的基礎 上,結合思考題給出的實例,進一步歸納和改進完善 剛才

20、的結論. 師生歸納:Z1上12錚Jj}l|j}2=一1或者f.與f2中一條 直線的斜率不存在,另一條直線的斜率為零. 練習題組二 1.判斷下列各小題中的每對直線是否垂直: (1)z的斜率為一了2, f2纈A(1,1),(0,一); . 19. 一lf中小學數(shù)學.中學版I課堂教學研究 一 20. 高中 另一條直線的斜率不存在的情況,進行鞏固練習. (三)歸納小結 1?若兩條不重合的直線平行,則它們的斜率相 等,或者它們的斜率都不存在,反之也成立. 2?zt上f2舒七一k2=一1或者l與f2中一條直線的 斜率不存在,另一條直線的斜率為零. (四)目標檢測設計 參考文獻: [1]中華人民共和國教育部制訂. 普通高中數(shù)學 課程標準(實驗)[M].北京:人民教育出版社 ,2003年 版. [2]浙江省普通高中新課程實驗數(shù)學學科教學 指導意見.浙江教育出版社. 2009版 [3]章建躍.數(shù)學課堂教學設計研究. 數(shù)學通報 J],2006年第6期. [4]數(shù)學教學反思的內(nèi)容與方法, 中國數(shù)學教育 高中版),2008年第4期.