數(shù)學(xué)校本課程——

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1、數(shù)學(xué)校本課程—— 思考的樂趣 課時(shí)： 第一課——你的錢多少年可以翻一番 第二課——是命運(yùn)還是概率 第三課——做一次生活科學(xué)家 第四課——翹課的代價(jià) 第五課——你敢承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)嗎？ 第六課——均衡 第七課——有好規(guī)矩才不悲劇 第八課——思維到底什么樣 第一課：你的錢多少年可以翻一番 e的故事 這里的是一個(gè)數(shù)的代表符號(hào)，而我們要說的，便是的故事。這倒叫人有點(diǎn)好奇了，要能說成一本書，這個(gè)數(shù)應(yīng)該大有來頭才是，至少應(yīng)該很有名吧？但是打開我們的記憶搜索器，大部分人能想到的重要數(shù)字，除了0和1外，大概就只有

2、和圓有關(guān)的了，我們都知道，圓的周長與直徑之比是一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)被稱為圓周率，記作，了不起的話，再加上虛數(shù)單位的?？墒侨绻覇柲?，代表了什么，你能回答嗎？ 在高中數(shù)學(xué)里，大家都學(xué)到過對(duì)數(shù)（logarithm）的概念。教科書里的對(duì)數(shù)中，有以10為底的，叫做常用對(duì)數(shù)（common logarithm）。課本里還簡略提到，有一種以無理數(shù)=2.71828……為底數(shù)的對(duì)數(shù)，稱為自然對(duì)數(shù)（natural logarithm），這個(gè)，正是我們故事的主角。不知這樣子說，是否引起你更大的疑惑呢？在十進(jìn)位制系統(tǒng)里，用這樣奇怪的數(shù)為底，難道會(huì)比以10為底更「自然」嗎？更令人好奇的是，長得這么奇怪的數(shù)，會(huì)有什么故事

3、可說呢？ 不妨先來看看維基百科是怎么說的： “是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)?！? 但是，你去看“ 自然對(duì)數(shù) ”這個(gè)條目，得到的解釋卻是： “自然對(duì)數(shù)是以為底的對(duì)數(shù)函數(shù)，是一個(gè)無理數(shù)，約等于2.718281828?！? 這構(gòu)成了循環(huán)定義，完全沒有說是什么。在這種情況下，數(shù)學(xué)家選擇這樣一個(gè)無理數(shù)作為底數(shù)，還號(hào)稱這種對(duì)數(shù)很"自然"，這難道不是一件很奇怪的事情嗎？ e是增長極限 到底什么是？簡單說來，就是 增長的極限 。 下面這個(gè)例子就是對(duì)直觀含義的極好詮釋： 某種類的一群單細(xì)胞生物每24小時(shí)全部分裂一次。在不考慮死亡與變異等情況下，那么很顯然，這群單細(xì)胞生物的總數(shù)量每天都會(huì)增加一倍。據(jù)此我們可以

4、寫出它的增量公式： ，表示天數(shù) 這個(gè)式子可以改寫成如下的樣子： ，其中，1表示原有數(shù)量，100%表示單位時(shí)間內(nèi)（24小時(shí)）的增長率。 根據(jù)細(xì)胞生物學(xué)，每過12個(gè)小時(shí)，也就是分裂進(jìn)行到一半的時(shí)候，平均會(huì)新產(chǎn)生一半原數(shù)量的新細(xì)胞，新產(chǎn)生的細(xì)胞在之后的12小時(shí)內(nèi)已經(jīng)在分裂了。 因此一天24個(gè)小時(shí)可以分成兩個(gè)階段，每一個(gè)階段的細(xì)胞數(shù)量都在前一個(gè)階段的基礎(chǔ)上增長50%： 即在一個(gè)單位時(shí)間內(nèi)，這些細(xì)胞的數(shù)量一共可以增至為原數(shù)量的2.25倍。 倘若這種細(xì)胞每過8小時(shí)就可以產(chǎn)生平均1/3的新細(xì)胞，新生細(xì)胞立即具備獨(dú)立分裂的能力，那就可以將1天分成3個(gè)階段，在一天內(nèi)時(shí)間細(xì)胞的總數(shù)會(huì)增至為：

5、 即最后細(xì)胞數(shù)擴(kuò)大為2.37倍。 實(shí)際上，這種分裂現(xiàn)象是不間斷、連續(xù)的，每分每秒產(chǎn)生的新細(xì)胞，都會(huì)立即和母體一樣繼續(xù)分裂，一個(gè)單位時(shí)間(24小時(shí))最多可以得到多少個(gè)細(xì)胞呢？答案是： 當(dāng)增長率為100%保持不變時(shí)，在單位時(shí)間內(nèi)細(xì)胞種群最多只能擴(kuò)大2.71828倍。 數(shù)學(xué)家把這個(gè)數(shù)就稱為，它的含義是單位時(shí)間內(nèi)，持續(xù)的翻倍增長所能達(dá)到的極限值 。 這個(gè)值是自然增長的極限，是“自然律”的精髓所在，因此以為底的對(duì)數(shù)，就叫做自然對(duì)數(shù)。 你不會(huì)自成“大款”——到e為止 我們都知道復(fù)利計(jì)息是怎么回事，就是利息也可以并進(jìn)本金再生利息。但是本利和的多寡，要看計(jì)息周期而定，以年周期來算的話，可以一

6、年只計(jì)息一次，也可以每半年計(jì)息一次，或者一季一次，一月一次，甚至一天一次；當(dāng)然計(jì)息周期愈短，本利和就會(huì)愈高。有人因此而好奇，如果計(jì)息周期無限制地縮短，比如說每分鐘計(jì)息一次，甚至每秒，或者每一瞬間（理論上來說），會(huì)發(fā)生什么狀況？本利和會(huì)無限制地加大嗎？ 假定有一家銀行，每年的復(fù)利是100%，請(qǐng)問存入100元，一年后可以拿多少錢？如果我們按照剛才的思路，計(jì)息周期無限制地縮短。 按照我們剛才細(xì)胞分裂的例子，答案是： 但是事實(shí)上，存儲(chǔ)利息沒有這么高，如果復(fù)利率只有5%，那么100元存一年可以拿到多少錢呢： 我們知道，在100%利息率的情況下，n=1000時(shí)，下式的值非常接近：

7、 為了便于計(jì)算，取n等于50： 當(dāng)利息率是5%時(shí)，存款增長率就相當(dāng)于的20分之一次方： 1/20正好等于5%，所以 我們可以把上式改寫成： r表示利率。 再考慮時(shí)間因素，如果存款年限t年，那么存款最終增長率為： 這說明可以用于任何連續(xù)不斷的復(fù)合式增長率的計(jì)算，而上式也是這個(gè)增長率的通用計(jì)算公式。 帶著這個(gè)結(jié)論再回到上面的例子。如果銀行的利息率是5%的復(fù)利，求解100元存款翻倍需要多少時(shí)間就等價(jià)于解下面的方程： 計(jì)算結(jié)果得13.86年： 可以看到：用72除以增長率就是翻倍的大致時(shí)間。這正是經(jīng)濟(jì)學(xué)上著名的72法則。 “72法則” 其實(shí)所謂

8、的“72法則”就是以1%的復(fù)利來計(jì)息,經(jīng)過72年以后,本金會(huì)變成原來的一倍。這個(gè)公式好用的地方在于它能以一推十,例如:利用8%年報(bào)酬率的投資工具,經(jīng)過9年(72/8)本金就變成一倍;利用12%的投資工具,則要6年左右(72/12),就能讓1元錢變成2元錢。 假設(shè)最初投資金額為100元，復(fù)息年利率9%，利用72法則，將72除以9，得8，即需約8年時(shí)間，投資金額滾存至200元，而準(zhǔn)確需時(shí)為8.0432年。 雖然利用72法則不像查表計(jì)算那么精確，但也已經(jīng)十分接近了，因此當(dāng)你手中少了一份復(fù)利表時(shí)，記住簡單的72法則，或許能夠幫你不少的忙。72法則同樣還可以用來算貶值速度，例如通貨膨脹率是3%，那么

9、723=24，24年后你現(xiàn)在的一元錢就只能買五毛錢的東西了。 例1：某企業(yè)平均年收益增長率為20%，那么需要多少年企業(yè)才會(huì)實(shí)現(xiàn)年收益翻一倍的目標(biāo)？ 答：7220=3.6年 例2：某企業(yè)在9年中平均年收益翻了3番，那么9年內(nèi)的年平均收益增長率為多少？ 答：9年財(cái)務(wù)收益翻了三番，說明企業(yè)平均3年翻一番，那么年平均收益增長率為：723=24，即財(cái)務(wù)年平均收益增長率為24% 運(yùn)用“72法則”也能計(jì)算要為養(yǎng)老準(zhǔn)備多少錢。假如，你現(xiàn)在30歲，每月的生活費(fèi)是1萬元。假設(shè)今后每年有6%的物價(jià)上漲率，那么12年（726=12年）之后，你42歲時(shí)，要保持同樣品質(zhì)的生活，每月就得2萬元。你54歲時(shí)，就得4

10、萬元；66歲時(shí)，每月就得8萬元。 如果你給自己確定的財(cái)富目標(biāo)是到60歲時(shí)有1000萬元的財(cái)富，那么你現(xiàn)在需要投資多少錢購買股票型基金呢？假定今后股票型基金年平均收益率為12%，那么每6年（7212=6年）你的投資本金就可翻番。所以你54歲時(shí)需要本錢500萬元；48歲時(shí)需要本錢250萬元；42歲時(shí)需要本錢125萬元；36歲時(shí)需要本錢75萬元；30歲需要本錢37.5萬元。 假設(shè)你是一位新聞?dòng)浾?，接到一個(gè)統(tǒng)計(jì)，你所在城市登記在冊(cè)的狗的數(shù)量逐年增長10%。 你會(huì)給你的文章取個(gè)什么樣的標(biāo)題呢？肯定不是“養(yǎng)狗許可證數(shù)量每年上升10%”，這沒人會(huì)理會(huì)，而是：“養(yǎng)狗成災(zāi)：僅僅7年，狗屎翻倍！” 練習(xí)：試

11、比較目前通過正常投資途徑實(shí)現(xiàn)翻番目標(biāo)所需要的時(shí)間。 1、儲(chǔ)蓄。當(dāng)前一年期的定期存款利率為2.25%，稅后為1.8%，假設(shè)利率保持不變，則本金翻一番所需時(shí)間多久？ 2、國債。因?yàn)閲鴤苌儆幸荒昶诘?，所以我們以加息后的三年期憑證式國債計(jì)算，利率為3.37%，本金翻一番所需的時(shí)間是多久？ 3、開放式基金。當(dāng)前開放式基金的業(yè)績雖然參差不齊，但也有諸多業(yè)績優(yōu)秀的基金，如果選擇一只好的基金，其回報(bào)率為8%，如果選擇了大部分的基金，其回報(bào)率為2.5%。 4、貨幣基金。貨幣基金的年平均收益率一般為2.8%左右。 6、人民幣理財(cái)。除了股份制銀行外，目前各國有專業(yè)銀行也推出了人民幣理財(cái)產(chǎn)品，若其1年期產(chǎn)

12、品的年收益為3.03%。 后續(xù)：從以上數(shù)據(jù)可以看出，銀行儲(chǔ)蓄翻番的時(shí)間最長，需要40年。因此，要想實(shí)現(xiàn)家財(cái)?shù)脑鲋担鸵D(zhuǎn)變傳統(tǒng)的“有錢存銀行”的老觀念，根據(jù)自己的風(fēng)險(xiǎn)承受能力，盡量選擇收益高的理財(cái)產(chǎn)品。以人民幣理財(cái)為例，很多人認(rèn)為它和定期儲(chǔ)蓄的收益差不了一兩個(gè)百分點(diǎn)，但你別忘了，收益高一個(gè)百分點(diǎn)，本金翻番的時(shí)間就能縮短 15年。所以，在打理家財(cái)上應(yīng)當(dāng)錙銖必較，分厘不讓。 第二課：是命運(yùn)？還是概率？ （適合文科生） 回歸均值 有位男士經(jīng)常背痛，疼痛時(shí)強(qiáng)時(shí)弱。有時(shí)他覺得自己充滿活力，有時(shí)他幾乎動(dòng)彈不得。 每次碰上這種情況——幸好很少——他妻子就會(huì)開車送他去找心理治療師。每次這樣做的第 二

13、天，他就明顯好多了。于是他逢人就推薦他的心理治療師。 　　另一個(gè)年輕人，籃球打得非常好，他逢人便夸他的教練。如果某天他的球打得糟糕，他就去這位老師那兒學(xué)上1小時(shí)，下回他就又打得很好了。 　　我們也有些生活經(jīng)驗(yàn)，比如，當(dāng)你狀態(tài)比較差的時(shí)候你的朋友都這樣勸你，手里的工作先放一放，走出去放松一下吧。事實(shí)證明，大多數(shù)情況，放松后狀態(tài)明顯好多了。 將以上三個(gè)事聯(lián)系在一起的其實(shí)就是回歸均值。 極端成績與不太極端的成績總是來回交替。已經(jīng)連續(xù)3年表現(xiàn)優(yōu)異的股票幾乎不可能在接下來的3年繼續(xù)走強(qiáng)。因此許多運(yùn)動(dòng)員在比賽取得好成績，并因此登上報(bào)刊頭版后心中往往會(huì)產(chǎn)生恐慌的情緒：潛意識(shí)中他們預(yù)感到，下回比賽時(shí)他

14、們可能再也不會(huì)取得這一最高成績了——這當(dāng)然與頭版毫無關(guān)系，而是與他們成績的自然波動(dòng)有關(guān)。 忽視回歸均值，可能會(huì)造成嚴(yán)重后果：比如老師(或經(jīng)理)會(huì)得出結(jié)論，處罰比夸獎(jiǎng)更有 效。因?yàn)橥ǔ？荚嚦煽冏顑?yōu)秀的學(xué)生會(huì)受到夸獎(jiǎng)，最差的則會(huì)遭到處罰。而在下次考試中 ——純隨機(jī)地——可能就會(huì)是另一些學(xué)生處于成績最高和最低的位置。老師因此得出結(jié)論：處罰有效，夸獎(jiǎng)有害。這當(dāng)然是一個(gè)謬論。 賭徒謬誤：為什么沒有一種平衡命運(yùn)的力量 超生游擊隊(duì)員李四已經(jīng)連生4個(gè)閨女了，但他實(shí)在太想要一個(gè)男娃，雖然家產(chǎn)都快被村里計(jì)生委的人給罰光，就差沒上房揭瓦了，但還是要生，他想，都連生4個(gè)了，下個(gè)肯定是個(gè)男孩。 老賭棍張三沒事總

15、喜歡上一個(gè)黑賭場里下兩注，但今天他賭紅眼了，因?yàn)榍f家已經(jīng)連開10把大了，他也連輸了10把，他不相信第11把還開大，還想一把就把之前輸?shù)娜A回來，于是把唯一的存折都給壓上了，買小。 以上兩件事的結(jié)果會(huì)如何呢？他們不一定會(huì)贏，但也不會(huì)像一些人猜測的一樣（雖然很多小說的情節(jié)是這樣的），一定會(huì)輸。他們輸贏的概率都是1/2。很明顯，結(jié)果絕對(duì)不會(huì)像他們想的那樣贏定了，孤注一擲也是非常不明智的選擇。 很多人都無法避免一個(gè)事實(shí)：一枚硬幣被連拋3次，每次都是圖像朝上。假如有人強(qiáng)迫你，讓你自己掏出100元為下一拋下注。你會(huì)押圖像還是數(shù)字呢？如果你像大多數(shù)人那樣思考，你會(huì)押數(shù)字，雖然人頭同樣是有可能的——這就是

16、著名的賭徒謬誤。 獨(dú)立事件：我和你沒有半毛錢關(guān)系 我們得知道什么叫做獨(dú)立事件，事件A的結(jié)果并不影響事件B，那A和B就是獨(dú)立事件。國足輸球跟萬里之外太陽黑子活躍很明顯就是獨(dú)立事件，雖然他們可能會(huì)聲稱太陽黑子改變地球重力場導(dǎo)致他們發(fā)揮失常。 那么生孩子是不是獨(dú)立事件呢，當(dāng)然是的。這不過是精子卵子結(jié)合的生理過程，這一次和上一次能有什么關(guān)系（也許偶然生孩子會(huì)改變?nèi)说纳斫Y(jié)構(gòu)于是影響概率，但這牽涉到科學(xué)問題就另說了）？擲骰子也是一樣，就算是連開100把大，下一把開大的概率還是1/2。 事實(shí)上很多人都沒有意識(shí)到獨(dú)立事件的概率是毫無關(guān)系的，即使它們發(fā)生的時(shí)間如此接近。 比如說買彩票，很多人喜歡研究

17、走勢(shì)，他們認(rèn)為上次開出的數(shù)字這次很可能不出現(xiàn)，事實(shí)似乎也證明了他們的想法，于是他們更加相信每次開獎(jiǎng)間存在某種規(guī)律，只要抓住這個(gè)規(guī)律就能發(fā)大財(cái)?？上У氖?，每一期彩票間當(dāng)然也是獨(dú)立事件。 是命運(yùn)嗎？ 將一枚硬幣連拋50次，50次都是圖像朝上。又有人強(qiáng)迫你為下一拋押100元。你會(huì)押 圖像還是數(shù)字呢？你淡定地微微一笑，因?yàn)槟阋呀?jīng)讀了剛才的內(nèi)容，知道之前的結(jié)果無關(guān)緊要。但如果你足夠理智，你肯定會(huì)押圖像，因?yàn)槟惚厝粫?huì)想到，這枚硬幣應(yīng)該是有問題的。 我們剛才探討過回歸均值。比如：假如你經(jīng)歷了破紀(jì)錄的嚴(yán)寒，那么接下來的幾天氣溫就有可能會(huì)上升。如果我們只看概率，氣溫將有50%的概率下降，有50%的概率上升

18、。但事實(shí)上，極端的氣溫不會(huì)持續(xù)太久，總會(huì)回到均值。不過，在某些情形下，極端的趨勢(shì)會(huì)持續(xù)，例如富人傾向于越來越富。一只暴漲的股票，在到達(dá)一定點(diǎn)位后可能依然會(huì)受到熱捧，就是因?yàn)樗绱顺錾@是一種反向的平衡效應(yīng)。 結(jié)論：請(qǐng)你仔細(xì)觀看，看你面對(duì)的是否是獨(dú)立的事件——不過這主要存在于賭場、彩票 和理論書籍里?，F(xiàn)實(shí)生活中這些事件大多有著相互聯(lián)系——已經(jīng)發(fā)生的事情，會(huì)影響未來將要發(fā)生的事情。因此請(qǐng)你忘記命運(yùn)的平衡力量(除了回歸均值的情形）。 NBA比賽里，經(jīng)常有球員連續(xù)命中，這時(shí)候籃球解說一般就會(huì)認(rèn)為這球員手熱得發(fā)燙，然后認(rèn)為以后的進(jìn)攻機(jī)會(huì)最好都要給這個(gè)球員。?？碈CTV5的都知道，我們的張指導(dǎo)就是

19、這樣?，F(xiàn)在，你知道他有多外行了吧…… 第三課：做一次生活科學(xué)家 相關(guān)性 ≠ 因果性 如今越來越多的復(fù)雜統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)像潮水般向我們涌來，一批又一批的調(diào)查結(jié)果，都顯得那么鏗鏘有力，似乎那就是客觀事實(shí)。 統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示，在鈾礦工作的工人居然與其他人的壽命相當(dāng)，有時(shí)甚至更長！難道統(tǒng)計(jì)結(jié)果表明在鈾礦工作對(duì)身體無害么？ 當(dāng)然不是！其實(shí)，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)本身并沒有說謊，鈾礦工人的壽命真的不比普通人低，難就難在我們?nèi)绾螕荛_數(shù)據(jù)的外表，從中挖掘出正確的信息。事實(shí)上，只有那些身強(qiáng)體壯的人才會(huì)去鈾礦工作，他們的壽命本來就長一些，正是因?yàn)槿チ蒜櫟V工作，才把他們的壽命拉低到了平均水平，造成了數(shù)據(jù)的“偽獨(dú)立性”。這種現(xiàn)象常常

20、被稱為“健康工人效應(yīng)”。 有虛假的獨(dú)立性數(shù)據(jù)，就有虛假的相關(guān)性數(shù)據(jù)。統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示，去救火的消防員越多，火災(zāi)損失越大。初次聽到這樣的結(jié)論，想必大家的反應(yīng)都一樣：這怎么可能呢？仔細(xì)想想你就明白了：正因?yàn)榛馂?zāi)損失大，才會(huì)有很多人去救火。因果關(guān)系弄顛倒了。數(shù)據(jù)只能顯示兩件事情有相關(guān)性，但并不能告訴你它們內(nèi)部的邏輯關(guān)系。 事實(shí)上，兩個(gè)在統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)上呈現(xiàn)相關(guān)性的事件，有可能根本就沒有因果關(guān)系。統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表明，冰淇淋銷量增加，鯊魚食人事件也會(huì)同時(shí)增加。但這并不意味著，把冰淇淋銷售點(diǎn)全部取締了，就能減小人被鯊魚吃掉的概率。真實(shí)的情況則是，這兩個(gè)變量同時(shí)增加只不過是因?yàn)橄奶靵砹?。統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示，足球隊(duì)的獲勝率，竟

21、然與隊(duì)員的球襪長度成正比。難道把隊(duì)員的球襪都換長一些，就能增加進(jìn)球數(shù)了嗎？顯然不是。數(shù)據(jù)背后真正的因果關(guān)系是，球隊(duì)的獲勝率和隊(duì)員的球襪長度都與隊(duì)員的身高呈正相關(guān)，這導(dǎo)致了獲勝率與球襪長度之間表現(xiàn)出虛假的相關(guān)性。 類似的例子還有很多。統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表明，手指越黃的人，得肺癌的概率越大。但事實(shí)上，手指的顏色和得肺癌的概率之間顯然沒有直接的因果聯(lián)系。那么為什么統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)會(huì)顯示出相關(guān)性呢？這是因?yàn)槭种更S和肺癌都是由吸煙造成的，于是又營造出一種虛假的相關(guān)性。 抽樣調(diào)查，想說無偏不容易 調(diào)查問卷你肯定知道，多半還做過。在統(tǒng)計(jì)上，問卷調(diào)查屬于抽樣調(diào)查。再大規(guī)模的抽樣調(diào)查，都可能存在著意想不到的陷阱。不妨讓我們

22、穿越到 1936 年的美國，看一個(gè)被許多書本都引用過的實(shí)例吧。 1936 年美國總統(tǒng)大選在即，當(dāng)時(shí)一本著名雜志《文學(xué)文摘》就在讀者中做了一次問卷調(diào)查，斷言共和黨的蘭登即將以 57% 對(duì) 43% 的絕對(duì)優(yōu)勢(shì)大勝民主黨的羅斯福——這可是根據(jù) 240 萬份調(diào)查問卷得到的結(jié)果。這么大規(guī)模的調(diào)查，如同宣告了蘭登的勝利，可是，最后的結(jié)果卻讓人大跌眼鏡：羅斯福以 62% 的支持率成功連任美國總統(tǒng)。出現(xiàn)了這個(gè)戲劇性的丑聞后，《文學(xué)文摘》業(yè)績直接掉落為零，最后竟然倒閉了。對(duì)于《文學(xué)文摘》來說，他們的問題出在哪里呢？ 現(xiàn)在看來，《文學(xué)文摘》的調(diào)查問卷雖然數(shù)量龐大，但是樣本構(gòu)成大有問題。首先，最可能看到這個(gè)調(diào)查

23、的是這個(gè)雜志的常客，而他們參加調(diào)查的動(dòng)機(jī)各有不同。另外，這個(gè)話題更能引發(fā)人的興趣，有些則只是很少的人關(guān)心。這都會(huì)導(dǎo)致最終參加調(diào)查的人是一個(gè)有偏的樣本。結(jié)論可能代表了這些人群，卻不能推廣到全體。 其次，問卷的回收率只有 24% ，忽略那些沒有被回收的問卷就等于是忽略了剩余 760 萬人的意見?！段膶W(xué)文摘》雜志社還通過電話調(diào)查的方式對(duì)自己的讀者進(jìn)行了抽樣，但在 1936 年，并不是每一個(gè)家庭都能裝得起電話——那些訂閱雜志、用電話的人家往往都是有錢的人，他們并不能代表全美國的選民意見。最終，這些看起來不算起眼的問題對(duì)他們的預(yù)測結(jié)果產(chǎn)生了巨大影響，事情的發(fā)展也走向了完全相反的方向。 如果我們現(xiàn)在做

24、一個(gè)調(diào)查，看一看在最初恢復(fù)高考的三年中進(jìn)入幾所名牌大學(xué)就讀的學(xué)生如今的年收入，你一定會(huì)得到一個(gè)高得嚇人的數(shù)字。我敢如此肯定并不是我熟悉他們的社會(huì)成就，而是因?yàn)槲伊私庹{(diào)查的缺陷?？梢韵胍?，當(dāng)年的那些大學(xué)生雖然有案可查，但能夠準(zhǔn)確聯(lián)系調(diào)查的卻只有一部分較為成功的人了。其中有一些人雖然聯(lián)系上了，卻不一定愿意接受調(diào)查。最后，還不能排除一些人受贊許傾向的影響，有意無意地提高報(bào)告自己的收入水平。最終，調(diào)查員只回收了那些成功人士的數(shù)據(jù)，而沉默的大多數(shù)卻被“統(tǒng)計(jì)式”地忽視了。 辛普森悖論 現(xiàn)實(shí)中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)往往會(huì)表現(xiàn)出一些更加詭異復(fù)雜的反?，F(xiàn)象，帶來更多意想不到的麻煩。辛普森（Simpson）悖論是統(tǒng)計(jì)學(xué)中

25、最有名的悖論：各個(gè)局部表現(xiàn)都很好，合起來一看反而更差。統(tǒng)計(jì)學(xué)在藥物實(shí)驗(yàn)中的應(yīng)用相當(dāng)廣泛，每次推出一種新藥，我們都需要非常謹(jǐn)慎地進(jìn)行臨床測試。但有時(shí)候，藥物實(shí)驗(yàn)的結(jié)果會(huì)匪夷所思。假設(shè)現(xiàn)在我們有一種可以代替安慰劑的新藥。統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表明，這種新藥的效果并不比安慰劑好： 有效 無效 總?cè)藬?shù) 新藥 80 120 200 安慰劑 100 100 200 簡單算算就能看出，新藥只對(duì)40%的人有效，而安慰劑則對(duì)50%的人有效。新藥按理說應(yīng)該更好啊，那問題出在哪里呢？是否因?yàn)檫@種新藥對(duì)某一類人有副作用？于是研究人員把性別因素考慮進(jìn)來，將男女分開來統(tǒng)計(jì)： 男性有效 男性無效 女

26、性有效 女性無效 新藥 35 15 45 105 安慰劑 90 60 10 40 大家不妨實(shí)際計(jì)算一下：對(duì)于男性來說，新藥對(duì)高達(dá)70%的人都有效，而安慰劑則只對(duì)60%的人有效；對(duì)于女性來說，新藥對(duì)30%的人都有效，而安慰劑則只對(duì)20%的人有效?；囊荒怀霈F(xiàn)了：我們驚奇地發(fā)現(xiàn)，新藥對(duì)男性更加有效，對(duì)女性也更加有效，但對(duì)整個(gè)人類則無效！ 上面的例子再次告訴我們，統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)的“隨機(jī)干預(yù)”有多么重要。從上面的數(shù)據(jù)里我們直接看到，這個(gè)實(shí)驗(yàn)的操作本身就有問題：新藥幾乎全是女性在用，男性則大都在用安慰劑。被試者的分組根本沒有實(shí)現(xiàn)完全的隨機(jī)化，這才導(dǎo)致了如此混亂的統(tǒng)計(jì)結(jié)果。不難設(shè)想，

27、如果每種藥物的使用者都是男女各占一半，上述的悖論也就不會(huì)產(chǎn)生了。當(dāng)然，研究人員也并不笨，這么重大的失誤一般還是不會(huì)發(fā)生的。問題很可能出在一些沒人注意到的小細(xì)節(jié)上。比如說，實(shí)驗(yàn)的時(shí)候用粉色的瓶子裝新藥，用藍(lán)色的瓶子裝安慰劑，然后讓被試人從中隨機(jī)選一個(gè)來用。結(jié)果呢，女孩子們喜歡粉色，選的都是新藥；男的呢則大多選擇了藍(lán)瓶子，用的都是安慰劑。最后，200份新藥和200份安慰劑正好都發(fā)完，因此不到結(jié)果出來時(shí)，就沒有人會(huì)注意到這個(gè)微小的性別差異所帶來的統(tǒng)計(jì)失誤。 你被平均了嗎？ 還不得不考慮，平均數(shù)也有一個(gè)小小的麻煩，它特別容易受極端數(shù)據(jù)的影響?；貞浺幌滦W(xué)時(shí)老師對(duì)一個(gè)差生拉下全班平均分的憤懣表情。以

28、及，一個(gè)月收入五萬的老板和五名月收入兩千元的員工享受著一萬元的月平均工資，而這個(gè)平均數(shù)居然是一個(gè)員工月收入的五倍之多。 這些離奇的統(tǒng)計(jì)學(xué)現(xiàn)象有時(shí)會(huì)讓人感到恐慌：連統(tǒng)計(jì)數(shù)字也不可靠了，還有什么能真實(shí)地反映這個(gè)世界運(yùn)轉(zhuǎn)的規(guī)律呢？ 科學(xué)方法，現(xiàn)代公民的必修課 上述例子用我們?nèi)粘W(xué)習(xí)的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)都可以一一解決。 科學(xué)的抽樣方法、使用數(shù)字正確的方式合理估計(jì)樣本，分清楚相關(guān)關(guān)系與因果（函數(shù)）關(guān)系，用科學(xué)的方法讓自己當(dāng)一個(gè)明白人。 相關(guān)閱讀： 《統(tǒng)計(jì)陷阱》達(dá)萊爾哈夫著 該書自1954年出版至今，多次重印并被譯成多國文字，是一本影響深遠(yuǎn)的經(jīng)典性著作?！督y(tǒng)計(jì)陷阱》一書之所以能夠歷久彌新，是因?yàn)槠鋵?shí)

29、用性。 20世紀(jì)50年代，美國的各大媒體和宣傳機(jī)構(gòu)越來越重視利用統(tǒng)計(jì)——“這個(gè)神秘的語言”說話，然而大量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)、統(tǒng)計(jì)資料由于主、客觀的原因被濫用，很難起到描述事實(shí)、傳遞信息的作用。相反，還往往對(duì)讀者形成誤導(dǎo)。達(dá)萊爾哈夫(Darrell Huff)，一位具有深厚統(tǒng)計(jì)背景的新聞?dòng)浾甙l(fā)現(xiàn)了這一現(xiàn)象。 第四課：翹課的代價(jià) 經(jīng)濟(jì)學(xué)之所以成為一門獨(dú)立的學(xué)科，并且在相當(dāng)大程度上改變了世界的面貌，是因?yàn)榻?jīng)濟(jì)學(xué)家看世界的方式和常人不同，也與其他社會(huì)科學(xué)，比如社會(huì)學(xué)和政治學(xué)、法學(xué)不同，經(jīng)濟(jì)學(xué)家有一套自己的看問題、看世界的方法。這些方法，幫助人們更科學(xué)地認(rèn)識(shí)了外部世界和人類自身，提高了人類解決自身問題的能

30、力。 這里，我們就先說說幾個(gè)經(jīng)濟(jì)學(xué)家的特殊思維方式吧，它們有助于矯正甚至可以顛覆你長久以來的思維定勢(shì)。 吃掉？還是倒掉？ 假如小明在買了一份午餐花掉10元，只吃了一口，發(fā)現(xiàn)難以下咽，是繼續(xù)吃掉還是倒掉？類似的例子還有：比如今天晚上要舉行建業(yè)的比賽，可是臨近比賽的當(dāng)口，突然下起了瓢潑大雨。有兩種情況：一是，你已經(jīng)買了票，票價(jià)還不便宜，100塊錢一張，是你近半個(gè)月的零花錢，而且不能退票。另一種情況是，別人送了你一張票，可是票不能轉(zhuǎn)手，也不能退。在這兩種情況下，你去還是不去看比賽，有沒有什么不同呢？ 糾纏于沉沒成本：你為什么應(yīng)該忽視過去 說一個(gè)狗血的劇情，一位朋友被一段問題戀情折磨多年。那

31、女人一次次欺騙他。每當(dāng)他逮住她時(shí)，她都后悔不迭地回來，懇求他的原諒。雖然再跟這個(gè)女人維持關(guān)系早就沒有意義了，他還是一次次接受了她。當(dāng)我與他談?wù)摯耸聲r(shí)，他向我解釋道：“我在這段戀情中投入了那么多感情，現(xiàn)在離她而去是錯(cuò)誤的?！边@是典型的糾纏于沉沒成本。 我們剛才談的都是沉沒成本。 每個(gè)決定，不管是私人的還是業(yè)務(wù)上的，始終是在不確定的情況下作出的。我們的設(shè) 想，有可能兌現(xiàn)，也有可能落空。任何時(shí)候我們都可能離開選取的小道，并承擔(dān)后果，比如 中斷項(xiàng)目。這種不確定情形下的權(quán)衡是理性行為。然而，在我們已經(jīng)投入特別多的時(shí)間、金 錢、能量、愛等因素之后，沉沒成本令人難以放手、難以釋懷。于是已經(jīng)投資的錢就成

32、了繼 續(xù)做下去的理由，即使客觀來看堅(jiān)持下去毫無意義。投資越多，沉沒成本就越大，將項(xiàng)目繼 續(xù)做下去的理由就越充分。 股市投資人經(jīng)常成為沉沒成本的受害者。他們?cè)跊Q定是否出售股票時(shí)常以買入價(jià)作為參照。當(dāng)股價(jià)高于買入價(jià)時(shí)，就賣掉股票；如果股價(jià)低于買入價(jià)，就抱住不賣。這是不理智的，絕不可以讓買入價(jià)處處扮演角色。唯一有效的是股市未來的前景(和可選投資未來的行情）。每個(gè)人都會(huì)出錯(cuò)，特別是在股市里。糾纏于沉沒成本的不幸，其關(guān)鍵就是：你投資一只股票虧的錢越多，你越是抱緊它不放。 為什么會(huì)有這種荒謬行為呢？因?yàn)槿祟愊肱Ρ憩F(xiàn)得堅(jiān)韌，堅(jiān)韌是我們發(fā)出的可信信 號(hào)。我們害怕矛盾。如果我們決定中斷一個(gè)項(xiàng)目，我們就在制

33、造矛盾：承認(rèn)從前的想法與今 天不同。繼續(xù)執(zhí)行一個(gè)無意義的項(xiàng)目是在推遲這一疼痛認(rèn)識(shí)。那樣我們就顯得更堅(jiān)韌。 放棄就等于投降。 “我們已經(jīng)行駛了這么遠(yuǎn)……” “我已經(jīng)讀了這本書的這么多頁……”從這種句子可以看出，你是如此與沉沒成本難舍難分。 有許多好理由支持你繼續(xù)投資下去，但如果你只是因?yàn)樯岵坏靡呀?jīng)作出的投資而決定繼續(xù)做某件事，這就不是一個(gè)好理由了。理性的決定意味著忽視已經(jīng)投入的成本。你已經(jīng)投資了什么并不重要，唯一重要的是現(xiàn)在的形勢(shì)及你對(duì)未來的評(píng)估。 或者說經(jīng)濟(jì)學(xué)中的成本應(yīng)該是關(guān)心未來的。 你晚上是不是去看比賽，僅僅取決于從現(xiàn)在開始將要發(fā)生的情況，所以看新增加的成本和增加的收益的比較。在這

34、兩種情況下，增加的收益都是看比賽帶來的愉悅感，新增加的成本都是淋雨帶來的不舒服。如果你覺得淋雨不算什么，只要能看到比賽就高興，則不管你是自己買票還是別人送的票，都會(huì)去看；反之，則不會(huì)去。這里的核心問題是，不要再考慮買票的錢，那些事情已經(jīng)過去了。 天下沒有免費(fèi)的午餐 有一句話，叫“天下沒有免費(fèi)的午餐?！蹦憧烧娴拿髁舜嗽挼恼媪x？ 如果有人請(qǐng)你吃午餐，他出錢，而且不附帶任何條件。這是免費(fèi)的么？你會(huì)說當(dāng)然免費(fèi)了，他買單嘛?？墒悄闶怯写鷥r(jià)的。因?yàn)槟愠赃@頓飯的時(shí)間，可以用于做其他事情，這些事情，對(duì)你是有意義、有價(jià)值的。你把時(shí)間用于白吃這頓飯，就失去了這些本來能有的價(jià)值。 這就是機(jī)會(huì)考慮。它提示我們

35、，做事的真正成本，不是為做一件事已經(jīng)付出的多少，而是為做它所必須放棄的那些東西。當(dāng)你面臨兩難選擇的時(shí)候，你應(yīng)該想想哪種選擇所放棄的更多，兩難也就不難了。 機(jī)會(huì)成本 經(jīng)濟(jì)學(xué)的獨(dú)特思維方式是機(jī)會(huì)成本考慮。 成本是每個(gè)人做事時(shí)都會(huì)考慮的因素，收入減去成本才是利潤。可是，經(jīng)濟(jì)學(xué)家所說的成本，與一般人說的成本差別甚大。 一般人頭腦里的成本概念是會(huì)計(jì)成本，也就是做賬用的。會(huì)計(jì)成本有幾個(gè)特點(diǎn)：第一，會(huì)計(jì)成本是直接的成本，即實(shí)際發(fā)生的成本，跟生產(chǎn)和消費(fèi)直接相關(guān)；第二，會(huì)計(jì)成本是已經(jīng)發(fā)生的成本。 但是經(jīng)濟(jì)學(xué)家說的成本卻很不一樣。經(jīng)濟(jì)學(xué)意義上的成本只有一個(gè)，那就是“機(jī)會(huì)成本”，在所有經(jīng)濟(jì)學(xué)的書里，成本的

36、概念一律是指機(jī)會(huì)成本。 任何一種資源都有多種用途，可以配置到不同的用途上去，投到一個(gè)用途，就意味著放棄另外的用途。一件事情的機(jī)會(huì)成本，就是由于做這件事情而放棄的其他用途中價(jià)值最大的那一個(gè)的價(jià)值。 一件事情的機(jī)會(huì)成本，是放棄的最大的價(jià)值。也就是根本沒有發(fā)生過，也跟該事情沒有直接關(guān)系，這跟會(huì)計(jì)成本完全不同。 相應(yīng)地，經(jīng)濟(jì)學(xué)的利潤跟會(huì)計(jì)利潤也就有很大區(qū)別。會(huì)計(jì)利潤是全部收入減去會(huì)計(jì)成本。經(jīng)濟(jì)利潤是全部收入減去經(jīng)濟(jì)成本，也就是減去機(jī)會(huì)成本。 舉例說明，假如你原來在一個(gè)政府部門上班，每年有10萬收入。現(xiàn)在，你決定下海經(jīng)營一家餐館，每年的全部收入是11萬，會(huì)計(jì)成本是10萬，包括買菜、買肉、員工工資

37、、稅收和各種其他費(fèi)用。你的會(huì)計(jì)利潤就是： 11萬－10萬＝1萬。 但是，經(jīng)濟(jì)學(xué)家認(rèn)為你沒有賺錢，反而賠了錢，至少賠了9萬。因?yàn)槟阆耄绻愕臅r(shí)間不是用于開餐館，而是繼續(xù)在政府部門上班，你就會(huì)有10萬元，現(xiàn)在你只有1萬元，所以，你至少賠了9萬元。 問題出在你少算了成本，不能只算買菜、買肉等的成本，為了開餐館，你放棄的收入也是成本，而你沒有算上。 這里的非同凡響之處在于，在一般人看來，干什么都可以掙錢，都可能有利潤；而在經(jīng)濟(jì)學(xué)家看來，在一定的時(shí)期內(nèi)，只有做一件事情才有利潤，做其他任何事情都虧損。 讀大學(xué)成本計(jì)算公式 算算虛度一日虧多少錢 現(xiàn)在有許多高校學(xué)生曬自己一天的成本多少。校園記者

38、走訪了西安的幾所高校，調(diào)查顯示一名普通本科大學(xué)生，4年學(xué)費(fèi)(按每年4500元算)：18000元，4年住宿費(fèi)(按每年1000元算)：4000元，伙食費(fèi)(按每月800元算，去除寒暑假共計(jì)36個(gè)月)：28800元，購買基本生活用品：3000元，上網(wǎng)費(fèi)：800元，手機(jī)話費(fèi)：2000元，購買衣服及學(xué)習(xí)輔導(dǎo)資料：4000元，交通費(fèi)：3200元，其它費(fèi)用：3000元，大學(xué)生平均每天純花費(fèi)：66800元1080天=61.9元/天。這意味著，除去寒暑假3個(gè)月的時(shí)間，讀一年大學(xué)最基本的花費(fèi)大約需要16700元，每個(gè)月的花費(fèi)逾1800元，也就是說在學(xué)校一天的花費(fèi)為60元。而由麥可思研究院發(fā)布的《2012年中國大學(xué)生

39、就業(yè)報(bào)告》顯示，對(duì)2011屆大學(xué)生畢業(yè)半年后的調(diào)查顯示，全國本科學(xué)生平均月工資為3051元。按這個(gè)數(shù)據(jù)計(jì)算，4年求學(xué)期間將損失至少146448元。 取平均數(shù)12萬元，意味著求學(xué)的每一天，就損失工資收入約180元。加上上學(xué)花費(fèi)每天60元，坐在課堂里每一天的成本為240元。 網(wǎng)友“欣湘冰奕”：大學(xué)每一天課的平均價(jià)值是300元。所以，翹1天等于一周的飯錢，翹10天等于一個(gè)蘋果iTouch，翹20天等于一個(gè)iPad，翹30天等于一部iPhone……親，你還打算翹課嗎？ 第五課：你敢承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)嗎？ 導(dǎo)數(shù)到底是什么？ 學(xué)生學(xué)完導(dǎo)數(shù)，也不知道導(dǎo)數(shù)到底有什么用，除了求導(dǎo)求切線求極值。 經(jīng)濟(jì)學(xué)一個(gè)

40、獨(dú)特思維就是邊際考慮。 邊際原本是個(gè)數(shù)學(xué)概念，其含義是導(dǎo)數(shù)，是一個(gè)變量的變化對(duì)另一個(gè)變量變化的影響程度，也就是兩個(gè)變量改變量的比。 在經(jīng)濟(jì)學(xué)上，邊際的意思是“最后的”，或者“新增加的”。邊際考慮就是只考慮最后的一個(gè)或者新增加的一個(gè)所引起的變化，從而判斷事情的整體本質(zhì)。 最后的一個(gè)和新增加的一個(gè)，都是邊際的一個(gè)。比如現(xiàn)在一共有99個(gè)東西，第99個(gè)是最后一個(gè)，它是邊際的一個(gè)，而第100個(gè)，是新增加的，或者將要增加的，也就是邊際。 邊際意味著微小的變化，所以，最后的一個(gè)，與新增加的一個(gè)，相差非常小。它們引起的變化的差異也非常小。在數(shù)學(xué)上，這叫“連續(xù)”。 理論上講邊際成本表示當(dāng)產(chǎn)量增加1

41、個(gè)單位時(shí)，總成本的增加量（這個(gè)總成本包括不變和可變成本）。 隨著產(chǎn)量的增加，邊際成本會(huì)先減少，后增加。 舉個(gè)例子：比如，僅生產(chǎn)一輛汽車的成本是極其巨大的，而生產(chǎn)第101輛汽車的成本就低得多，而生產(chǎn)第10000汽車的成本就更低了（這是因?yàn)橐?guī)模經(jīng)濟(jì)）。 但是，考慮到機(jī)會(huì)成本，隨著生產(chǎn)量的增加，邊際成本可能會(huì)增加。 當(dāng)產(chǎn)量很小時(shí)，可以理解為企業(yè)的設(shè)備沒有得到充分利用，因而產(chǎn)量很小，隨著企業(yè)雇傭更多的員工進(jìn)行生產(chǎn)，生產(chǎn)設(shè)備的利用率也開始變大，假設(shè)增加的第一個(gè)工人對(duì)產(chǎn)量的貢獻(xiàn)是10，那么增加的第二個(gè)工人對(duì)產(chǎn)量的貢獻(xiàn)可能是15甚至更高，第三個(gè)會(huì)是30。隨著員工增加到一定程度時(shí)，企業(yè)變得擁擠，這時(shí)候

42、每增加的一個(gè)員工依然會(huì)提高生產(chǎn)設(shè)備的利用率，但是這個(gè)利用率的提高會(huì)慢慢減慢下來。當(dāng)員工增加到某一程度，再增加一個(gè)員工時(shí)，這個(gè)員工對(duì)產(chǎn)量的貢獻(xiàn)將會(huì)是0，即邊際產(chǎn)量為0，在這一階段時(shí)，產(chǎn)量的增加速率從最大值逐漸減小到零，而成本的增加速率（每個(gè)員工的費(fèi)用，加上每單位產(chǎn)品的成本）大于產(chǎn)量的增加速率，從而邊際成本增大。 邊際成本和單位平均成本不一樣，單位平均成本考慮了全部的產(chǎn)品，而邊際成本忽略了最后一個(gè)產(chǎn)品之前的成本。例如，每輛汽車的平均成本包括生產(chǎn)第一輛車的很大的固定成本（在每輛車上進(jìn)行分配）。而邊際成本根本不考慮固定成本。 再舉一個(gè)例子。假定一個(gè)農(nóng)民某年生產(chǎn)了五袋糧食，他要安排這五袋糧食的用途。

43、他一定是按照重要性從大到小的順序安排。 第一袋，用于吃，這個(gè)對(duì)他最要緊。 第二袋，用于增強(qiáng)體力和精力。 第三袋，用于釀酒，因?yàn)樗染啤? 第四袋，用于養(yǎng)家禽，因?yàn)樗匀?，但是吃肉沒有喝酒重要。 第五袋，用于養(yǎng)鸚鵡。因?yàn)樗X得他能想象的用途，都已經(jīng)有了安排，實(shí)在找不到什么別的可以安排的了，想了很久，才想起這種用途。 我們買東西，不是為了獲得商品本身，而是因?yàn)樯唐穼?duì)我們有用，這種有用是主觀上的有用。經(jīng)濟(jì)學(xué)把商品能夠滿足人的主觀愿望的東西，叫效用。我們消費(fèi)就是為了獲得效用，而且是最大的效用。 與邊際產(chǎn)量遞減類似，效用也是遞減的。以上邊的例子來說，第二袋糧食的效用比第一袋小，第三袋比第

44、二袋小，依此類推。第五袋糧食的效用是最小的。這叫“邊際效用遞減”。 邊際效用遞減也是個(gè)公理，不能證明，但可以說明。如果邊際效用不遞減，那就是邊際效用不變或者遞增。 還是看上面的例子。第一袋糧食對(duì)農(nóng)民的效用最大，如果讓他賣，他要收取最高的價(jià)格，比如100元；第二袋對(duì)他的效用要小一些，他能接受的價(jià)格也低一些，比如80元，依此類推，第三袋是60元，第四袋是40元，第五袋對(duì)他的效用是最小的，如果讓農(nóng)民出手，只要20元就可以。 如果他要出手全部五袋糧食，每一袋的價(jià)格應(yīng)該是一樣的，那這個(gè)價(jià)格是多少呢？是100元，還是80、60、40、20元？ 是20元！為什么？ 假設(shè)這個(gè)農(nóng)民很不幸，丟了一袋糧食

45、，請(qǐng)問，他要放棄哪種效用？是不吃飯，還是不喝酒，抑或是其他效用？對(duì)了，是放棄養(yǎng)鸚鵡。也就是說，丟失的那一袋糧食對(duì)他的影響，或者他所失去的效用，就是養(yǎng)鸚鵡給他帶來的快樂。所以，這袋糧食只值20元。 問題在于，養(yǎng)鸚鵡的這一袋糧食，不是五袋中特定的一袋，而是其中的任何一袋。所以，當(dāng)他有五袋糧食的時(shí)候，每一袋都僅僅值20元。 如果他又丟了一袋，他失去的就不是養(yǎng)鸚鵡的效用，而是吃肉的效用了。所以，當(dāng)他有四袋糧食時(shí)，每袋糧食就值40元了。 依此類推。當(dāng)有三袋糧食的時(shí)候，每袋的價(jià)值就是60元；當(dāng)有兩袋時(shí)，就值80元；當(dāng)只有一袋糧食的時(shí)候，這個(gè)價(jià)格就是100元了。所以，當(dāng)有五袋糧食的時(shí)候，每袋糧食的價(jià)格

46、由第五袋的效用決定；有四袋的時(shí)候，由第四袋決定，等等。 無論什么時(shí)候，都是由最后的一袋決定每袋的價(jià)格，也就是邊際決定，而不是平均決定。這個(gè)道理和所有農(nóng)民的工資由最后一個(gè)農(nóng)民的產(chǎn)量也就是邊際產(chǎn)量決定是一樣的。 邊際效應(yīng) 我特別喜歡看陳佩斯演的小品吃面條。假如邊際效用不變，也就是后面一碗面條，永遠(yuǎn)跟前面一個(gè)一樣好吃，那會(huì)發(fā)生什么？我們將永遠(yuǎn)吃下去，永遠(yuǎn)吃不飽！ 更通俗的解釋是： 我們向往某事物時(shí)，情緒投入越多，第一次接觸到此事物時(shí)情感體驗(yàn)也越為強(qiáng)烈，但是，第二次接觸時(shí)，會(huì)淡一些，第三次，會(huì)更淡……以此發(fā)展，我們接觸該事物的次數(shù)越多，我們的情感體驗(yàn)也越為淡漠，一步步趨向乏味。這效應(yīng)，在經(jīng)濟(jì)

47、學(xué)和社會(huì)學(xué)中同樣有效，在經(jīng)濟(jì)學(xué)中叫“邊際效益遞減率”，在社會(huì)學(xué)中叫“剝奪與滿足命題”，是由霍曼斯提出來的，用標(biāo)準(zhǔn)的學(xué)術(shù)語言說就是：“某人在近期內(nèi)重復(fù)獲得相同報(bào)酬的次數(shù)越多，那么，這一報(bào)酬的追加部分對(duì)他的價(jià)值就越小?！? 如何當(dāng)一個(gè)老板 例如：你是公司管理層，要給員工漲工資，給3000月薪的人增加1000帶來的效應(yīng)一般來說是比6000月薪增加1000大的，甚至比給6000月薪的人增加2000的還大，所以似乎給低收入的人增加月薪更對(duì)公司有利；對(duì)同一個(gè)人更是明顯，例如他拿3000時(shí)候增加1000所帶來的激勵(lì)效果，一般情況下遠(yuǎn)遠(yuǎn)比他拿6000月薪時(shí)候增加2000所產(chǎn)生的激勵(lì)效果大。另外，經(jīng)常靠增

48、加薪水來維持員工的工作熱情是不行的，第一次漲薪 1000后，員工非常激動(dòng)，大大增加了工作熱情；第二次漲薪 1000，很激動(dòng)，增加了一些工作熱情；第三次漲薪 2000 ，有點(diǎn)激動(dòng)，可能增加工作熱情；第四次 ... ... ，直至漲薪已經(jīng)帶來不了任何效果，當(dāng)薪水達(dá)到一定的水平的時(shí)候，這時(shí)候他關(guān)注的重點(diǎn)已經(jīng)發(fā)生了轉(zhuǎn)移，所以激勵(lì)方式方法都應(yīng)該隨之變化。 如果想避免這種情況，在每次漲薪都想達(dá)到和第一次漲薪1000相同的效果，則第二次漲薪可能需要2000，第三次需要3000 ... ... ，或者在薪水漲到一定程度后，采用紅包的形式更加富有激勵(lì)和引導(dǎo)效果。當(dāng)然，使用其它激勵(lì)措施，例如第二次可以安排其參加

49、職業(yè)發(fā)展培訓(xùn)，第三次可以對(duì)其在職位上進(jìn)行提升，雖然花費(fèi)可能相當(dāng)，但由于手段不同，達(dá)到了更好的效果。 為什么人們往往不愿承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)？ 假設(shè)你有兩份工作供你選擇：工作一，有1/2的概率獲得1000塊錢，有1/2的概率獲得2000塊錢；工作二，百分之百地能穩(wěn)拿1500塊錢。雖然看上去兩種選擇的平均收入都一樣，但是人們往往更愿意選擇后一份工作，盡可能避免前一種工作所帶來的風(fēng)險(xiǎn)。為什么面對(duì)期望收入相同的事件，人們往往愿意選擇風(fēng)險(xiǎn)更小的那一個(gè)呢？ 這里，我們有一個(gè)重要的假設(shè)：收入的邊際效用是遞減的。換句話說，增加同樣多的收入，低收入者主觀上會(huì)感覺自己收益了很多，本來就是高收入的人則覺得這點(diǎn)兒收入算不了

50、什么。人們往往會(huì)覺得，收入從1000塊錢增加到2000塊錢所帶來的幸福感，要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于收入從8000塊增加到9000塊所帶來的幸福感。因此，如果把個(gè)人收入和它給人帶來的效益畫成一條曲線的話，大致就如圖中的那條曲線。 假如你獲得了1000元錢，你主觀上獲得的收益就用A點(diǎn)來表示；假如你獲得了2000元，你主觀上的收益就在B點(diǎn)。因此，工作一帶給你的平均效用就用A和B的中點(diǎn)C來表示。但是，如果我直接就給你1500塊錢，你將會(huì)得到一個(gè)大于C的效用D。這表明，直接選擇工作二所帶來的效用要高于工作一帶給你的平均效用，自然人們都會(huì)選擇工作二了。對(duì)于期望收入相同的兩件事來說，他愿意去做風(fēng)險(xiǎn)更小的那一件。

51、第六課：成本、邊際、均衡 價(jià)格與價(jià)值 高中經(jīng)濟(jì)學(xué)中對(duì)價(jià)格與價(jià)值的描述深入人心：價(jià)格以價(jià)值為基礎(chǔ)，受供求關(guān)系影響圍繞價(jià)值而上下波動(dòng)。 簡單的說就是均衡。 均衡考慮 均衡本來是物理學(xué)上的一個(gè)概念，指一個(gè)物體在大小相等方向相反的兩個(gè)力的作用下，而暫時(shí)保持一種靜止不動(dòng)的狀態(tài)。經(jīng)濟(jì)學(xué)把這個(gè)概念借用過來，作為自己分析問題的基本方法之一。 一件事情，如果有好處，好處大于壞處，人們就會(huì)著手去做?？墒窃俸玫氖虑樽鱿氯ヒ矔?huì)變成不好的事，這叫物極必反。還是吃飯的例子，看到飯菜好吃，就大口大口地吃起來，可是你不會(huì)一直吃下去，因?yàn)槌缘揭欢〞r(shí)候就會(huì)覺得，這一口不如上一口好吃了，我們已經(jīng)說過，這叫邊際效用遞減，

52、也就是新增加的一口，沒有上一口好吃，而且這個(gè)遞減會(huì)一直持續(xù)下去。 肯定有那么一口，是你的最后一口。這一口在理論上說，你吃不吃都是一樣的，這一口的效用是零。但下一口你不會(huì)再吃了，因?yàn)橄乱豢?，你吃了還不如不吃，它比上一口的效用要低，是負(fù)數(shù)，也就是你只覺得撐得慌、難受。 其實(shí)，在你吃第一口的時(shí)候，你的胃就已經(jīng)開始難受了，只不過你還不覺得，吃到最后一口的時(shí)候，這種感覺才開始強(qiáng)烈起來。胃難受是吃飯的壞處。 你吃的最后一口，就是由于吃了它，你覺得增加的好處，也就是邊際好處，和增加的壞處，也就是邊際壞處，相等的那一口。跟物體的均衡是一個(gè)道理。 所以，做事做到什么程度，就要看邊際好處和邊際壞處在哪里相

53、等。在此前，應(yīng)該繼續(xù)做，因?yàn)樽龅脑挘愕膬艉锰?，即好處減去壞處，就增加了；在此后則應(yīng)該減少做，減少才會(huì)使你的凈好處增加。這樣你的利益才會(huì)達(dá)到最大化，相等于吃飽了又不難受。雖然你想都吃下去，但是，你不應(yīng)該如此，因?yàn)槿韵氯?，?huì)把你撐死?，F(xiàn)實(shí)中，確實(shí)有撐死的人。這些人只看到吃飯的好處，忘記了壞處。 均衡對(duì)我們的啟發(fā)是，為了達(dá)到有意義的結(jié)局，必須調(diào)整自己的行為，同時(shí)不能顧此失彼。 關(guān)聯(lián)閱讀： 《人人都愛經(jīng)濟(jì)學(xué)》——王福重。 作者簡介：王福重，1965年生，經(jīng)濟(jì)學(xué)家，1998年獲中央財(cái)經(jīng)大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)博士學(xué)位，1999~2001年，在北京大學(xué)理論經(jīng)濟(jì)學(xué)博士后流動(dòng)站進(jìn)行研究工作?，F(xiàn)北京高校任教，主要

54、研究領(lǐng)域?yàn)榻?jīng)濟(jì)學(xué)基礎(chǔ)理論、國際經(jīng)濟(jì)學(xué)和公共財(cái)政。發(fā)表學(xué)術(shù)論文數(shù)十篇，譯著十余部。書齋筆耕之余，特別關(guān)注經(jīng)濟(jì)社會(huì)現(xiàn)象，擔(dān)任《上海證券報(bào)》、《國企》等多家媒體的專欄主筆，香港鳳凰衛(wèi)視特約評(píng)論嘉賓，其評(píng)論風(fēng)格清新，引起社會(huì)廣泛關(guān)注。是中國世界經(jīng)濟(jì)學(xué)學(xué)會(huì)理事，中國經(jīng)濟(jì)規(guī)律研究會(huì)理事。 第七課：有好規(guī)矩，才不悲劇 一定要有個(gè)“好”班主任 總覺得班主任管得太多，從紀(jì)律到衛(wèi)生，從早起到睡覺，從吃飯到上操。所以每個(gè)學(xué)生都幻想有個(gè)“好”班主任，少管點(diǎn)，或者不管，至少別管自己，別說自己。 作為普通人，也許因?yàn)閰挓┝松鐣?huì)中的條條框框，人類總幻想存在一個(gè)烏托邦，那里的人民路不拾遺、夜不閉戶，人人自覺做貢獻(xiàn)，任

55、何法規(guī)限令都是不必要的。 公地悲劇 有一個(gè)理論叫做“公地悲劇”（嗯……不是那個(gè)工地上出現(xiàn)的事故悲?。浜诵囊馑际?，如果公共資源被人們無限制地使用，后果就是華麗麗的杯具——想想你3號(hào)樓6層的廁所總是被扔滿垃圾。各人自掃門前雪當(dāng)然是沒有問題，可公共領(lǐng)域該怎么辦？ 每次的學(xué)生藝術(shù)晚會(huì)，觀眾中有人為了看得更清楚而站起來，必定會(huì)擋住身后觀眾的視線，結(jié)果許多人都站了起來，次序亂糟糟的。為了看得更清楚，所有的人都站起身，結(jié)果沒人比大家都坐著時(shí)看得更清楚。 為了用數(shù)字來說明這一情況，我們首先做一些假設(shè)。我們假定牧場只放奶牛，收益也全部來自于牛奶供應(yīng)。顯然，牧場的總收益與放牧數(shù)量之間的關(guān)系是一個(gè)單峰

56、函數(shù)——牧場上沒有牛時(shí)總收益為 0 ，牛的數(shù)量超過牧場的最大容量后總收益也為 0 ，在這之間一定存在一個(gè)平衡點(diǎn)使得總收益達(dá)到最大。為此，我們無妨假設(shè)總收益 y 與放牛數(shù)量 x 滿足 y = x(100-x) 的關(guān)系，即當(dāng)牧場上的牛數(shù)為 0 或者為 100 時(shí)整個(gè)牧場都不會(huì)有任何收益，而 x = 50 時(shí)牧場的總收益將會(huì)達(dá)到最大。我們?cè)偌僭O(shè)，購買一頭牛的成本為 c ，擁有奶牛之后放牧的成本則忽略不計(jì)。接下來，我們將求出該牧地在公有和私有兩種情況下最終達(dá)到的放牧數(shù)量，大家將會(huì)看到開放牧地后確實(shí)將導(dǎo)致放牧數(shù)量遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過最佳水平。 如果這是一塊私有牧地，牧場主會(huì)選擇放多少頭牛呢？很多人可能會(huì)脫

57、口而出，當(dāng)然是 50 頭牛，因?yàn)?x=50 時(shí)收益達(dá)到最大值。但請(qǐng)注意，牧場主想要最大化的并不是他的收入，而是減去成本后所得的利潤 x(100-x) – cx 。對(duì)這個(gè)式子求導(dǎo)，我們就能得到利潤最大化的條件： 100-2x-c = 0 。解出這個(gè)式子中的 x ，我們就得出了牧場中的最佳牛數(shù) x = (100-c)/2 。 從另一個(gè)角度來看，上述結(jié)論也是很顯然的： 100-2x 恰好就是 x(100-x) 的導(dǎo)數(shù)，是增加第 x 頭牛給人帶來的收入增加量。如果這個(gè)增加量比 c 大，那么買入一頭新的牛顯然劃算；什么時(shí)候這個(gè)增加量比 c 小了，再買牛來放就要虧本了。因此，臨界點(diǎn) 100-2x

58、 = c 正好就是牛的數(shù)量達(dá)到最優(yōu)的時(shí)候。 但是，一旦整個(gè)牧場變?yōu)楣校鲜鐾评砭筒粚?duì)了，因?yàn)閱蝹€(gè)放牧人并不關(guān)心整個(gè)牧場的利潤，只在乎自己的盈虧。為了簡便起見，我們假設(shè)牧場上有 x 個(gè)放牧人，每個(gè)人都只放一頭牛。那么，牧場的總收入將為 x(100-x) ，每個(gè)人得到的收入為 x(100-x)/x = 100-x 。因此，當(dāng)牧場上有 x-1 頭牛時(shí)，對(duì)這塊蛋糕垂涎已久的人會(huì)發(fā)現(xiàn)，他作為第 x 個(gè)放牧人進(jìn)入牧場后，能夠分得的收入為 100-x ，只要這個(gè)值比 c 大，這樣做就是值得的。隨著進(jìn)入牧場的人數(shù)增多，新加入的放牧人會(huì)發(fā)現(xiàn)他所能賺到的越來越少。最終當(dāng) 100-x = c 時(shí)，便不會(huì)再有人想

59、要進(jìn)入該牧場了。此時(shí)的總體情況慘不忍睹——每個(gè)放牧人所得的收入都是 c ，可以說是一分錢也賺不到，形成“公地悲劇”。 大多數(shù)醫(yī)生都明白，倘若抗生素過量使用，細(xì)菌很快就會(huì)出現(xiàn)抗藥性。例如， 1947 年，青霉素剛大量投入使用的第 4 個(gè)年頭，人們就發(fā)現(xiàn)了一種能抵抗青霉素的葡萄球菌變體（金黃色葡萄球菌）。大多數(shù)醫(yī)生也知道，帶抗藥性的細(xì)菌變體，能導(dǎo)致更產(chǎn)重的問題。金黃色萄萄球菌出現(xiàn)以后，醫(yī)生們只好用另一種杭生素——甲氧苯青霉素——來治療它。但這也只是個(gè)應(yīng)急辦法。 1961 年，英國發(fā)現(xiàn)了杭甲氧苯青霉素的細(xì)菌 ― MRSA 超級(jí)病菌，如今世界各地的醫(yī)院里都能找到它的身影。 1991 年，英國因致

60、血癥而去世的病患， 4 ％是 MRSA 感染所致；到了 1999 年，這一比例已經(jīng)上升至 37 ％。 跟過度放牧一樣，抗生素的過度使用，也是一起公地悲劇。個(gè)別過度放牧，本身并不足以對(duì)牧場造成重大影響；同理，個(gè)別醫(yī)生所開的抗生素，也不足以促成致命抗藥細(xì)菌的產(chǎn)生。然而，每當(dāng)醫(yī)生開出抗生素，引起患者感染的細(xì)菌很可能會(huì)有一些得以幸存。該群體中的個(gè)體細(xì)菌跟從前全然不同，而更不幸的是，在抗生素治療過程中存活幾率最大的，并不是原始細(xì)菌群中的隨機(jī)樣本。相反，它們的基因結(jié)構(gòu)對(duì)藥物的抵抗性最大。倘若加大用藥劑量，這部分幸存細(xì)菌仍可能被殺死。但隨著時(shí)間的推移，變異也逐漸積累，最終，幸存細(xì)菌中的抗藥性越來越強(qiáng)。

61、醫(yī)生面臨的困境在于，患者相信，服用抗生素能加速自己的痊愈。一些醫(yī)生拒絕用這種方式治療不太嚴(yán)重的感染，但另一些醫(yī)生屈服于患者的壓力之下，因?yàn)樗麄冎溃绻貌坏剿?，患者可能?huì)另請(qǐng)高明。美國疾病控制中心估計(jì)，在每年開出的 1.5 億份抗生素處方中，有 1 / 3 都是不必要的。 醫(yī)生同意病人的要求，可能是因?yàn)樗麄冎溃瑔为?dú)的一張?zhí)幏?，并不?huì)導(dǎo)致抗藥細(xì)菌的出現(xiàn)。不幸的是，這種決定的累積效應(yīng)，最終肯定會(huì)催生出更多帶抗藥性的有毒變異細(xì)菌。 誰是霧霾的兇手？ 公地悲劇可以作為當(dāng)前環(huán)境問題的一個(gè)小規(guī)模簡化模型，地球的環(huán)境問題是由數(shù)十億的污染者造成，其中每一個(gè)人都對(duì)大氣中的PM2.5含量的增加負(fù)一部分責(zé)

62、，雖然具體數(shù)字無法計(jì)算。不幸的是，在這樣一個(gè)模型中，涉及的人數(shù)越多，悲劇就愈加不可避免，因?yàn)閰⑴c的人越多，每個(gè)參與者對(duì)其他參與者的關(guān)心和信任也越少。此外，越是在一個(gè)大的群體中，就越難查出哪些人是“搭便車者”；人都有搭便車的傾向，喜歡從別人的犧牲中獲益，卻不愿犧牲自己。還有一點(diǎn)，單個(gè)參與者造成的損害很可能變得難以察覺，這會(huì)阻礙羞恥心的心理機(jī)制發(fā)揮作用，從而降低個(gè)人的內(nèi)疚感。 所以，霧霾的治理，顯得那么的緩慢。鑒于種種心理障礙使人無法主動(dòng)應(yīng)對(duì)氣候變化，要做出有效的改變，就需要通過立法強(qiáng)制執(zhí)行。 與好決策背道而馳——禁售政策正在加速大象滅絕 在中國走私象牙是違法的，但是某些國家沒有這樣的限制。

63、很明顯，并不是收入增長推動(dòng)了象牙消費(fèi)，而是禁售法規(guī)限制了未來象牙供應(yīng)，令其有望成為絕版珍品，滿足了作為收藏品所需條件，因而受到收藏者和投資者的熱烈追捧，在此過程中需求曲線已雖商品性質(zhì)的改變而大幅移動(dòng)；而同時(shí)，禁售法規(guī)又無法控制住偷獵和走私，結(jié)果導(dǎo)致了一種末日來臨之前的哄然搶購局面。 用禁售法保護(hù)野生動(dòng)物，是非?；闹嚨淖龇?，就好比用禁止農(nóng)產(chǎn)品交易來保護(hù)耕地；要知道，需要保護(hù)的野生動(dòng)物種群，而不是動(dòng)物個(gè)體，更不是動(dòng)物器官，象牙作為大象種群所生產(chǎn)的產(chǎn)品，其市場價(jià)值恰好可以為保護(hù)這些種群提供激勵(lì)，同理，只有糧食賣的出好價(jià)錢，農(nóng)民才會(huì)保護(hù)耕地。 熱愛野生動(dòng)物的人們，本應(yīng)為象牙的高價(jià)格而慶幸，這是說服

64、當(dāng)?shù)剞r(nóng)民為大象保留棲息地的最好理由，不幸的是，借助“沒有買賣便沒有殺戮”這句煽情口號(hào)，他們將這一市場價(jià)值變成了盜獵者與保護(hù)者之間的殘酷殺戮，以及當(dāng)?shù)剞r(nóng)民的冷漠旁觀，或許還略帶慶幸，因?yàn)榇笙笈c農(nóng)耕社區(qū)之間歷來存在不小的沖突。 公地悲劇還會(huì)涉及很多非自然資源的公用品。例如，每個(gè)人都知道公交車擠著不舒服，但為什么最終車上還是這么擠呢？這就是因?yàn)?，?duì)于每個(gè)車下面的人來說，只要能上車，他就已經(jīng)得到了好處，完全無視這一舉措會(huì)使車上的每個(gè)人都受到一點(diǎn)損失。每個(gè)車下的人都這樣想，悲劇也就發(fā)生了。 公地悲劇的理論還有很多更奇怪的應(yīng)用。很多時(shí)候，交通堵塞的原因是前方路段發(fā)生車禍，但事實(shí)上前方發(fā)生的僅僅是某輛車

65、撞上了護(hù)欄，車禍根本沒有擋住道路。為什么最終還是堵車了呢？原來，每輛開到車禍現(xiàn)場的車，都會(huì)減慢速度看看熱鬧，甚至停下來掏出手機(jī)照下這一“杰作”。這樣做雖然滿足了自己的好奇心，卻讓后面的每一輛車都多堵上好幾秒。因此大家往往會(huì)發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)有趣的現(xiàn)象：車禍越是離奇，交通堵塞越厲害。另一個(gè)經(jīng)典而有趣的應(yīng)用是，為什么在餐桌上，實(shí)行 AA 制的總消費(fèi)要比某一個(gè)人請(qǐng)客的消費(fèi)高出許多。原因就在于，在實(shí)行 AA 制后，每個(gè)點(diǎn)菜的人都會(huì)想，原來需要 100 塊錢才能吃到的美味，這次只需要 100/n 塊錢便能享受到了。這樣，雖然自己得到了滿足，卻讓每個(gè)人都為你多付出了一些。 但回到現(xiàn)實(shí)，情況是，只要沒有規(guī)則限制

66、，那些投機(jī)取巧的家伙就會(huì)想方設(shè)法占便宜，并由此攪亂整個(gè)社會(huì)秩序，結(jié)果大家都玩不下去。所以，只要是有人的地方，不管發(fā)達(dá)城市還是原始部落，都一樣沒有規(guī)矩不成方圓。 第八課：四維到底什么樣？ 我們都清楚，數(shù)軸代表一維空間，平面直角坐標(biāo)系代表二維空間，空間直角坐標(biāo)系代表三維空間，那么四維空間有沒有？有的話，什么樣？ 四維空間是一個(gè)時(shí)空的概念。簡單來說，任何具有四維的空間都可以被稱為“四維空間”。不過，日常生活所提及的“四維空間”，大多數(shù)都是指愛因斯坦在他的《廣義相對(duì)論》和《狹義相對(duì)論》中提及的“四維時(shí)空”概念。根據(jù)愛因斯坦的概念，我們的宇宙是由時(shí)間和空間構(gòu)成。時(shí)空的關(guān)系，是在空間的架構(gòu)上比普通三維空間的長、寬、高三條軸外又多了兩條時(shí)間軸，而這條時(shí)間的軸是一條實(shí)數(shù)值的軸。 確定任何事物都需要四個(gè)坐標(biāo)（空間的三個(gè)坐標(biāo)和時(shí)間的一個(gè)坐標(biāo)）的空間。 四維空間是三維空間和時(shí)間組成的整體。 三維空間其中任意一點(diǎn)的位置，由三個(gè)坐標(biāo)便可確定，其中事物其實(shí)是相對(duì)靜止的，而能夠容納生命的空間，至少是四維的?？梢哉f，生命便是，能夠感知、記錄時(shí)間坐標(biāo)的空間物質(zhì)。 這個(gè)概念