第三章第一節(jié) (2)

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1、第三章 三角函數(shù)、解三角形 第一節(jié) 任意角和弧度制及任意角的 三角函數(shù) +k360+k360,kZ,kZ 射線射線 旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn) 象限角象限角 正角正角 負(fù)角負(fù)角 零角零角 1.1.角的有關(guān)概念角的有關(guān)概念 2.2.弧度的定義和公式弧度的定義和公式 (1)(1)定義定義: :把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做_._. 弧度記作弧度記作rad.rad. 1 1弧度的角弧度的角 角角 的弧度數(shù)公式的弧度數(shù)公式 | | |=_(|=_(弧長用弧長用l表示表示) ) 角度與弧度的換算角度與弧度的換算 1 1=_ rad=_ rad 1 rad=(_)1 rad=(_)

2、 弧長公式弧長公式 弧長弧長l=_=_ 扇形面積公式扇形面積公式 S=_=_S=_=_ (2)(2)公式：公式： rl180180r|r| | | 1r2l21r |23.3.任意角的三角函數(shù)任意角的三角函數(shù) (1)(1)定義定義: :設(shè)角設(shè)角 終邊與單位圓交于終邊與單位圓交于P(x,y),P(x,y),則則_=y,_=y, _=x,tan_=x,tan =_.=_. sinsin coscos y(x0)x如圖所示，則正弦線為如圖所示，則正弦線為_，余弦線為，余弦線為_，正切線為，正切線為_(_(用字用字 母表示母表示).). (2)(2)三角函數(shù)線：三角函數(shù)線： MPMP OMOM ATA

3、T (3)(3)誘導(dǎo)公式誘導(dǎo)公式( (一一) )： sin(sin( +k2+k2 )=_)=_，cos(cos( +k2+k2 )=_)=_， tan(tan( +k2+k2 )=_(kZ).)=_(kZ). (4)(4)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系： 平方關(guān)系平方關(guān)系:_,:_, 商數(shù)關(guān)系商數(shù)關(guān)系:_.:_. sin sin cos cos tan tan sinsin2 2 +cos+cos2 2 =1=1 sin tan cos 判斷下面結(jié)論是否正確判斷下面結(jié)論是否正確( (請在括號內(nèi)打“請在括號內(nèi)打“”或“”或“”).”). (1)(1)小于小于9090的角是銳角的

4、角是銳角.( ).( ) (2)(2)銳角是第一象限角，反之亦然銳角是第一象限角，反之亦然.( ).( ) (3)(3)與與4545角終邊相同的角可表示為角終邊相同的角可表示為k360k360+45+45，kZkZ或或2k2k +45+45，kZ.( )kZ.( ) (4)(4)將分針撥快將分針撥快1010分鐘，則分針轉(zhuǎn)過的角度是分鐘，則分針轉(zhuǎn)過的角度是6060.( ).( ) (5)(5)終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等.( ).( ) (6)(6)點點P(tan P(tan ，cos cos ) )在第三象限，則角在第三象限，則角 終邊在第二象終邊在第二象限

5、限.( ).( ) 【解析解析】(1)(1)錯誤錯誤. .負(fù)角小于負(fù)角小于9090但它不是銳角但它不是銳角. . (2)(2)錯誤錯誤. .第一象限角不一定是銳角，如第一象限角不一定是銳角，如- -350350是第一象限角，是第一象限角，但它不是銳角但它不是銳角. . (3)(3)錯誤錯誤. .不能表示成不能表示成2k+452k+45，kZkZ，即角度和弧度不能混，即角度和弧度不能混用用. . (4)(4)錯誤錯誤. .撥快分針時，分針順時針旋轉(zhuǎn)，應(yīng)為撥快分針時，分針順時針旋轉(zhuǎn)，應(yīng)為- -6060. . (5)(5)正確正確. .由誘導(dǎo)公式由誘導(dǎo)公式( (一一) )可知或由三角函數(shù)的定義可得可

6、知或由三角函數(shù)的定義可得. . (6)(6)正確正確. .由已知得由已知得tan tan 0 0，cos cos 0 0，所以，所以為第二象限為第二象限角角. . 答案答案: :(1)(1) (2)(2) (3)(3) (4)(4) (5) (6)(5) (6) 1.1.終邊落在第二象限的角可表示為終邊落在第二象限的角可表示為( )( ) (A)(A) |90|90+2k+2k 180180+2k+2k ，kZkZ (B)(B) | +2k| +2k +2k+2k ，kZkZ (C)(C) |90|90+k180+k180 180180+k180+k180，kZkZ (D)(D) | +k|

7、+k +k+k ，kZkZ 【解析解析】選選B.AB.A錯，角度與弧度不能混用錯，角度與弧度不能混用.C,D.C,D錯，當(dāng)錯，當(dāng)k k為奇數(shù)時為奇數(shù)時不成立，故選不成立，故選B.B. 24342.2.已知已知sin sin 0 0，tan tan 0 0，那么角，那么角 是是( )( ) (A)(A)第一象限角第一象限角 (B)(B)第二象限角第二象限角 (C)(C)第三象限角第三象限角 (D)(D)第四象限角第四象限角 【解析解析】選選C.C.由由sin sin 0 0，則，則的終邊在三、四象限，或的終邊在三、四象限，或y y軸軸負(fù)半軸負(fù)半軸. .由由tan tan 0 0，則，則的終邊在一

8、、三象限，故的終邊在一、三象限，故是第三是第三象限角象限角. . 3.3.已知已知2 2弧度的圓心角所對的弦長為弧度的圓心角所對的弦長為2 2，則這個圓心角所對的弧，則這個圓心角所對的弧長是長是( )( ) (A)2 (B)sin 2(A)2 (B)sin 2 (C) (D)2sin 1(C) (D)2sin 1 【解析解析】選選C.C.由由r= r= l=|=|r=2rr=2r可得可得l= = 2sin 11sin 1，2.sin 14.4.已知角已知角 終邊上一點終邊上一點A(2,2)A(2,2)，則，則tan tan =_.=_. 【解析解析】tan =tan = 答案答案: :1 1

9、y21.x25.5.若若tan tan =2=2，則，則 =_.=_. 【解析解析】 又又tan =2tan =2， 答案答案: : sin 3cos sin cos sin 3cos tan 3sin cos tan 1，tan 3231.tan 12 13 13考向考向 1 1 三角函數(shù)的定義三角函數(shù)的定義 【典例典例1 1】(1)(1)若若 是第三象限的角，則是第三象限的角，則 - - 是是( )( ) (A)(A)第一或第二象限的角第一或第二象限的角 (B)(B)第一或第三象限的角第一或第三象限的角 (C)(C)第二或第三象限的角第二或第三象限的角 (D)(D)第二或第四象限的角第二或

10、第四象限的角 12(2)(2013(2)(2013徐州模擬徐州模擬) )若點若點P(mP(m，n)n)是是1 1101 110角的終邊上任意角的終邊上任意 一點，則一點，則 的值等于的值等于_._. (3)(3)已知角已知角 的終邊上一點的終邊上一點P( m)P( m)，m0,m0,且且sin sin = = 求求cos cos ,tan ,tan 的值的值. . 2222mnm2mnn3，2m,4【思路點撥思路點撥】(1)(1)由由為第三象限角可得為第三象限角可得- - 的范圍，對的范圍，對 k k取不同的值可解取不同的值可解. . (2)(2)由由P P點在點在1 1101 110角的終邊

11、上可得角的終邊上可得m m，n n的關(guān)系式，代入所求的關(guān)系式，代入所求 式子可解式子可解. . (3)(3)先由先由sin = sin = 結(jié)合三角函數(shù)的定義建立關(guān)于參數(shù)結(jié)合三角函數(shù)的定義建立關(guān)于參數(shù)m m的方的方 程，求出程，求出m m的值，再根據(jù)定義求的值，再根據(jù)定義求cos cos ，tan tan 的值的值. . 122m4【規(guī)范解答規(guī)范解答】(1)(1)選選B.B.由由+2k+2k kZ,kZ, 當(dāng)當(dāng)k k為偶數(shù)時在第一象限，當(dāng)為偶數(shù)時在第一象限，當(dāng)k k取奇數(shù)時在第三象限，故選取奇數(shù)時在第三象限，故選B.B. 32k2，13kkkZ2241kk ,kZ.422 得，故(2)(2)由

12、由1 1101 110=3=3360360+30+30, , 答案答案: : 22222n3tan 1 110tan 30,m3mn(mn)(mn)m2mnn(mn)3n11mn3m 23.nmn311m3 23(3)(3)由題設(shè)知由題設(shè)知 y=my=m， r r2 2=|OP|=|OP|2 2=( )=( )2 2+m+m2 2,O,O為原點，為原點， 得得 x3 ，32r3m .22m2mmsin r42 2r3m2 23m8m5. 從而，于是，解得m5r2 2x33615cos tan 432 2m5r2 2x33615cos tan .432 2 當(dāng)時，；當(dāng)時，【互動探究互動探究】將本

13、例題將本例題(3)(3)中“中“sin sin = ”= ”改為“改為“tan tan ”，如何求，如何求sin sin ，cos cos ？ 【解析解析】由已知得，由已知得，tan =tan = 2m433m3，3m3tan ,m1333P(31)r21133sin cos .2222 又，得，【拓展提升拓展提升】用定義法求三角函數(shù)值的兩種情況用定義法求三角函數(shù)值的兩種情況 (1)(1)已知角已知角終邊上一點終邊上一點P P的坐標(biāo)，則可先求出點的坐標(biāo)，則可先求出點P P到原點的距到原點的距離離r r，然后用三角函數(shù)的定義求解，然后用三角函數(shù)的定義求解. . (2)(2)已知角已知角的終邊所在

14、的直線方程，則可先設(shè)出終邊上一點的終邊所在的直線方程，則可先設(shè)出終邊上一點的坐標(biāo)，求出此點到原點的距離，然后用三角函數(shù)的定義來求的坐標(biāo)，求出此點到原點的距離，然后用三角函數(shù)的定義來求相關(guān)問題相關(guān)問題. . 【變式備選變式備選】已知角已知角 的終邊在直線的終邊在直線3x+4y=03x+4y=0上，求上，求sin sin , , cos cos ,tan ,tan 的值的值. . 【解析解析】角角的終邊在直線的終邊在直線3x+4y=03x+4y=0上，上， 在角在角的終邊上任取一點的終邊上任取一點P(4t,P(4t,- -3t)(t0),3t)(t0), 則則x=4t,y=x=4t,y=- -3t

15、,3t, 2222r |PO|xy(4t)( 3t)5| t|, t0r5t,y3t3x4t4sin ,cos ,r5t5r5t5y3t3tan ; x4t4 當(dāng) 時，y3t3t0r5t,sin ,r5t5x4t4y3t3cos tan .r5t5x4t4343sin cos tan 554343sin cos tan .554 當(dāng) 時，綜上可知，或，考向考向 2 2 弧度制的應(yīng)用弧度制的應(yīng)用 【典例典例2 2】(1)(1)已知扇形已知扇形OABOAB的圓心角的圓心角 為為120120，半徑，半徑r=6r=6， 求求 的長及扇形面積的長及扇形面積. . (2)(2)已知扇形周長為已知扇形周長為

16、2020，當(dāng)扇形的圓心角為多大時，它有最，當(dāng)扇形的圓心角為多大時，它有最 大面積，最大面積是多少？大面積，最大面積是多少？ AB【思路點撥思路點撥】(1)(1)將圓心角化為弧度，再利用弧長、面積公式將圓心角化為弧度，再利用弧長、面積公式求解求解. . (2)(2)利用扇形周長得半徑與弧長的關(guān)系，再利用面積公式化為利用扇形周長得半徑與弧長的關(guān)系，再利用面積公式化為關(guān)于半徑關(guān)于半徑r r的二次函數(shù)求最值的二次函數(shù)求最值. . 【規(guī)范解答規(guī)范解答】(1)=120(1)=120= = l=r= r= 6=46=4， S= S= lr= r= 446=12.6=12. 23，231212(2)(2)由已

17、知得由已知得l+2r=20+2r=20， S= S= lr= (20r= (20- -2r)2r)r r =10r=10r- -r r2 2= =- -(r(r- -5)5)2 2+25+25， 所以所以r=5r=5時，時，S Smaxmax=25,=25, 此時，此時，l=10=10，= =2(rad).= =2(rad). 121210r5l【互動探究互動探究】本例題本例題(1)(1)中若求扇形的弧所在的弓形面積，又中若求扇形的弧所在的弓形面積，又將如何求解？將如何求解？ 【解析解析】由題由題(1)(1)解析得解析得S S弓弓=S=S扇形扇形- -S S= = 故弓形的面積為故弓形的面積為

18、 212126sin23129 3,129 3.【拓展提升拓展提升】弧度制應(yīng)用的關(guān)注點弧度制應(yīng)用的關(guān)注點 (1)(1)弧度制下弧度制下l=|=|r r，S= S= lr r，此時，此時為弧度為弧度. .在角度制下，在角度制下， 弧長弧長l= = 扇形面積扇形面積S= S= 此時此時n n為角度，它們之間有著為角度，它們之間有著 必然的聯(lián)系必然的聯(lián)系. . (2)(2)在解決弧長、面積及弓形面積時要注意合理應(yīng)用圓心角所在解決弧長、面積及弓形面積時要注意合理應(yīng)用圓心角所 在的三角形在的三角形. . 12n r180，2n r360，【變式備選變式備選】已知半徑為已知半徑為1010的圓的圓O O中，

19、弦中，弦ABAB的長為的長為10.10. (1)(1)求弦求弦ABAB所對的圓心角所對的圓心角 的大小的大小. . (2)(2)求角求角 所在的扇形的弧長所在的扇形的弧長l及弧所在的弓形的面積及弧所在的弓形的面積S.S. 【解析解析】(1)(1)由由O O的半徑的半徑r=10=ABr=10=AB，知，知AOBAOB是等邊三角形，是等邊三角形， =AOB=60=AOB=60= = .3AOBAOB(2)(1)r10310 r1033111050Sr102233110 3110 3SAB1025 3,222250SSS25 3.3 扇形扇形由可知，弧長，而ll考向考向 3 3 同角三角函數(shù)關(guān)系式的

20、應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用 【典例典例3 3】(1)(2012(1)(2012遼寧高考改編遼寧高考改編) )已知已知sin sin - -cos cos = = (0(0， ) )，則，則sinsin =( )=( ) (2)(2)已知已知tan tan =2.=2. 求：求： 4sin4sin2 2 - -3sin 3sin cos cos - -5cos5cos2 2 . . 2，322(A)(B)(C)(D)12422sin 3cos 4sin 9cos ；【思路點撥思路點撥】(1)(1)利用平方關(guān)系與已知條件聯(lián)立方程組可解利用平方關(guān)系與已知條件聯(lián)立方程組可解. . (2)(2)將所求

21、式子將所求式子“弦弦”化化“切切”，代入已知可求；也可由已，代入已知可求；也可由已知知“切切”化化“弦弦”后代入所求式消元求解后代入所求式消元求解. . 將所求式子分母看作將所求式子分母看作“1 1”, ,利用平方關(guān)系利用平方關(guān)系“1 1”代換而后轉(zhuǎn)代換而后轉(zhuǎn)化為化為“切切”, ,代入已知求解代入已知求解. . 【規(guī)范解答規(guī)范解答】(1)(1)選選C. C. 得得sinsin2 2+(sin +(sin - - ) )2 2=1=1， 即即2sin2sin2 2- -2 sin +1=02 sin +1=0， 即即( sin ( sin - -1)1)2 2=0=0，sin =sin = 22

22、sin cos 2sincos1 ，由，2222.2sin 232sin 3cos cos (2)sin 4sin 9cos 49cos 2tan 3.4tan 92tan 32 23tan 214tan 94 292sin 3cos 1.4sin 9cos 方法一：又，故方法二：由方法二：由tan =2tan =2得，得，sin =2cos sin =2cos ， 故故4sin4sin2 2- -3sin cos 3sin cos - -5cos5cos2 2=1.=1. 2222222222224cos 3cos 1.8cos 9cos 4sin3sin cos 5cos4sin3sin

23、cos 5cos4tan3tan 5.sincostan1tan 24tan3tan 54 23 251tan121 代入得又，【拓展提升拓展提升】求解關(guān)于求解關(guān)于sin sin ，cos cos 的齊次式問題的關(guān)注點的齊次式問題的關(guān)注點 (1)(1)如果三角函數(shù)式不是關(guān)于如果三角函數(shù)式不是關(guān)于sin sin ，cos cos 的齊次式，可通的齊次式，可通過化簡轉(zhuǎn)化為齊次式過化簡轉(zhuǎn)化為齊次式. . (2)(2)因為因為cos 0,cos 0,所以可用所以可用coscosn n(nN(nN* *) )除之，這樣可以將除之，這樣可以將被求式化為關(guān)于被求式化為關(guān)于tan tan 的表達(dá)式，可整體代入

24、的表達(dá)式，可整體代入tan =mtan =m，從而，從而完成被求式的求值運(yùn)算完成被求式的求值運(yùn)算. . (3)(3)注意注意1=sin1=sin2 2+cos+cos2 2的應(yīng)用的應(yīng)用. . 【變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練】已知已知 x x0 0，sin x+cos x=sin x+cos x= (1)(1)求求sin xsin x- -cos xcos x的值的值. . (2)(2)求求tan xtan x的值的值. . 21.5【解析解析】(1)(1)由由sin x+cos x=sin x+cos x= 平方得平方得sinsin2 2x+2sin xcos x+cosx+2sin xcos x+cos

25、2 2x=x= 即即2sin xcos x=2sin xcos x= (sin x(sin x- -cos x)cos x)2 2=1=1- -2sin xcos x=2sin xcos x= 又又 x x0 0，sin xsin x0 0，cos xcos x0 0，sin xsin x- -cos xcos x0 0，故故sin xsin x- -cos x=cos x= 1,5125，2425，49.2527.5(2)(2)由由(1)(1)得得sin xsin x- -cos x=cos x= 75 ，1sin xcos x345sin xcos x755sin xcos x53sin

26、x35tan x.4cos x45 ，故由得，【易錯誤區(qū)易錯誤區(qū)】 三角函數(shù)定義中忽略分類討論致誤三角函數(shù)定義中忽略分類討論致誤 【典例典例】(2013(2013天津模擬天津模擬) )已知角已知角 的終邊上一點的終邊上一點 P(3aP(3a，4a)(a0),4a)(a0),則則sin sin =_.=_. 【誤區(qū)警示誤區(qū)警示】本題易出現(xiàn)的錯誤是：由終邊上一點求三角函數(shù)本題易出現(xiàn)的錯誤是：由終邊上一點求三角函數(shù)時，由于沒有考慮參數(shù)的取值情況，沒有分類討論，從而求出時，由于沒有考慮參數(shù)的取值情況，沒有分類討論，從而求出r=5ar=5a，導(dǎo)致結(jié)果錯誤，導(dǎo)致結(jié)果錯誤. . 【規(guī)范解答規(guī)范解答】x=3a

27、,y=4a,r= =5|a|.x=3a,y=4a,r= =5|a|. (1)(1)當(dāng)當(dāng)a a0 0時，時，r=5ar=5a，sin = sin = (2)(2)當(dāng)當(dāng)a a0 0時，時，r=r=- -5a5a，sin =sin = sin =sin = 答案答案: : 22(3a)(4a)y4.r5y4.r5 4.545【思考點評思考點評】 1.1.任意角的三角函數(shù)的定義任意角的三角函數(shù)的定義 對于三角函數(shù)的定義，如果不是在單位圓中，設(shè)角對于三角函數(shù)的定義，如果不是在單位圓中，設(shè)角的終邊經(jīng)的終邊經(jīng) 過點過點P(xP(x，y)y)，|OP|=r= |OP|=r= 則則sin = cos =sin

28、= cos = tan =tan = 22xy，yr，xr，y.x2.2.分類討論思想的應(yīng)用分類討論思想的應(yīng)用 對于利用三角函數(shù)定義解題的題目中，如果含有參數(shù)，一定要對于利用三角函數(shù)定義解題的題目中，如果含有參數(shù)，一定要考慮運(yùn)用分類討論考慮運(yùn)用分類討論. .在分類討論時要注意統(tǒng)一分類標(biāo)準(zhǔn)，明確在分類討論時要注意統(tǒng)一分類標(biāo)準(zhǔn)，明確分類的對象，逐類討論，最后歸納總結(jié)分類的對象，逐類討論，最后歸納總結(jié). . 1.(20131.(2013合肥模擬合肥模擬) )已知點已知點P(sin P(sin ，cos cos ) )在第四象限，在第四象限，則角則角 的終邊在的終邊在( )( ) (A)(A)第一象限

29、第一象限 (B)(B)第二象限第二象限 (C)(C)第三象限第三象限 (D)(D)第四象限第四象限 【解析解析】選選B.P(sin B.P(sin ，cos )cos )在第四象限，在第四象限， sin 0.cos 0 ，角 的終邊在第二象限 ，2.(20132.(2013濱州模擬濱州模擬)sin 330)sin 330等于等于( )( ) 【解析解析】選選B.sin 330B.sin 330=sin(360=sin(360- -3030)=)=- -sin 30sin 30= = 3113(A)(B)(C)(D)2222 1.23.(20123.(2012江西高考改編江西高考改編) )若若

30、則則sin sin cos cos =( )=( ) 【解析解析】選選D.D. sin sin cos =cos = 1tan 4tan ，1111(A)(B)(C)(D)108341.41tan 4tan ，sin cos 4,cos sin 22sincos4,sin cos 4.(20134.(2013棗莊模擬棗莊模擬) )若若 ( ( ) )，且，且sin sin = = 則則tantan =_.=_. 【解析解析】( ),sin =( ),sin = 答案答案: : 2，45，4,5,22163cos 1 sin1,255 sin 4tan .cos 3 435.(20125.(20

31、12洛陽模擬洛陽模擬) )設(shè)扇形的周長為設(shè)扇形的周長為8 cm8 cm，面積為，面積為4 cm4 cm2 2，則，則扇形的圓心角的弧度數(shù)是扇形的圓心角的弧度數(shù)是_._. 【解析解析】設(shè)扇形的半徑為設(shè)扇形的半徑為r cmr cm，弧長為，弧長為l cmcm， 則則 答案答案: :2 2 2r8r242.14.r2r42llll ，解得圓心角，1.1.設(shè)設(shè) 則則x x的取值范的取值范圍是圍是( )( ) 3x12sin xcos xsin xcos x22，且，3(A)0 x(B)x44533(C)x(D)xx442442 或【解析解析】選選B.B.由由 |sin x+cos x|=sin x+c

32、os x|sin x+cos x|=sin x+cos x，sin x+cos x0.sin x+cos x0. 由三角函數(shù)線可知，當(dāng)由三角函數(shù)線可知，當(dāng)xx0 0， 時顯然成立，時顯然成立， 故排除故排除C C，D D，又當(dāng)，又當(dāng)xx 時時sin x+cos xsin x+cos x0 0，故排除，故排除A A，故選故選B.B. 2212sin xcos xsin xcos x2sin xcos x23,42(sin xcos x)sin xcos x ,2.2.已知已知tan tan ， 是關(guān)于是關(guān)于x x的方程的方程x x2 2- -kx+kkx+k2 2- -3=03=0的兩個根的兩個

33、根, , 且且3 3 則則sin sin +cos +cos =_.=_. 【解析解析】 1tan 72，21tan k,tan 1tank3,tan 由22sin cos k,cos sin k4,1k,sin cos k4.得即33 sin sin 0 0，cos cos 0 0，k k0 0，k=2k=2， sin cos = 2sin cos =1,sin cos = 2sin cos =1, sinsin2 2+cos+cos2 2+2sin cos =2,+2sin cos =2, (sin +cos )(sin +cos )2 2=2,=2, 又又sin +cos sin +cos 0 0，sin +cos =sin +cos = 答案答案: : 72，1,22.2