《陜西省吳堡縣吳堡中學(xué)高中數(shù)學(xué) 第三章 基本不等式教案1 北師大版必修》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《陜西省吳堡縣吳堡中學(xué)高中數(shù)學(xué) 第三章 基本不等式教案1 北師大版必修(5頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、
基本不等式
(1)教學(xué)目標
(a)知識與技能:理解兩個實數(shù)的平方和不小于它們之積的2倍的不等式的證明;理解兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的證明以及它的幾何解釋
(b)過程與方法 :本節(jié)學(xué)習(xí)是學(xué)生對不等式認知的一次飛躍。要善于引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)和形兩方面深入地探究不等式的證明,從而進一步突破難點。變式練習(xí)的設(shè)計可加深學(xué)生對定理的理解,并為以后實際問題的研究奠定基礎(chǔ)。基本不等式的證明要注重嚴密性,老師要幫助學(xué)生分析每一步的理論依據(jù),培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)品質(zhì)
(c)情感與價值:培養(yǎng)學(xué)生舉一反三的邏輯推理能力,并通過不等式的幾何解釋,豐富學(xué)生數(shù)形結(jié)合的想象力
(2)教學(xué)重點、難點
2、教學(xué)重點:基本不等式的證明和幾何解釋
教學(xué)難點:理解“當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號”的數(shù)學(xué)內(nèi)涵
(3)學(xué)法與教學(xué)用具
先讓學(xué)生觀察常見的圖形,通過面積的直觀比較抽象出基本不等式。從生活中實際問題還原出數(shù)學(xué)本質(zhì),可積極調(diào)動地學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。定理的證明要留給學(xué)生充分的思考空間,讓他們自主探究,通過類比得到答案
投影儀(多媒體教室)
(4)教學(xué)設(shè)想
1、設(shè)置情境
(投影出圖3.4-1)同學(xué)們,這是北京召開的第24屆國際數(shù)學(xué)家大會的會標,大家想一想,你能通過這個簡單的風(fēng)車造型中得到一些相等和不等關(guān)系嗎?
提問1:我們把“風(fēng)車”造型抽象成圖3.4-2.在正方形ABCD中有4個全等的直角三角形.
3、設(shè)直角三角形的長為x、y,那么正方形的邊長為多少?面積為多少呢?
生答:,
提問2:那4個直角三角形的面積和呢?
生答:2xy
提問3:好,根據(jù)觀察4個直角三角形的面積和正方形的面積,我們可得容易得到一個不等式,
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2xy。什么時候這兩部分面積相等呢?
生答:當(dāng)直角三角形變成等腰直角三角形,即x=y時,正方形EFGH變成一個點,這時有=2xy
2、新課講授
(1)一般地,對于任意實數(shù) x、y,我們有,當(dāng)且僅當(dāng)x=y時,等號成立。
提問4:你能給出它的證明嗎?
(學(xué)生嘗試證明后口答,老師板書)
證明: -=, 當(dāng)時>0 ,當(dāng)x=y時,等號成立。
所以
4、
即 ,當(dāng)且僅當(dāng)x=y時,等號成立。
(2) 設(shè)x=,y=,則由這個不等式可以得出下列結(jié)論:
如果a,b都是非負數(shù),那么,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,等號成立。
我們稱上述不等式為基本不等式,
其中稱為a,b的算術(shù)平均數(shù),為a,b的幾何平均數(shù)。因此,基本不等式,又被稱為均值不等式。
(3) 基本不等式的一種幾何解釋。
如圖1所示,AB是圓O的直徑,AC=a, CB=b,過點C作交圓O上半圓于D, 連接AD,BD,由射影定理可知:
5、
CD=,而OD=,
因為ODCD
所以
當(dāng)且僅當(dāng)C于O重合,即a=b時,等號成立。
(4) 應(yīng)用
例1 設(shè)a,b均為正數(shù),證明不等式.
證明 因為a,b 均為正數(shù),由基本不等式,可知
也即,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,等號成立。
下面給出這個不等式的幾何解釋。
6、
如上圖,AB是圓O的直徑,AC=a, CB=b,過點C作交圓O上半圓于D,過點C 作于E,
在RtOCD中,由射影定理可知:
DC2=DEOD
即 DE===
由DCDE ,可得
當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,等號成立。
3. 學(xué)生思考交流
基本不等式的的幾種敘述。 (學(xué)生交流完成)
4. 課堂練習(xí)
課本90頁練習(xí)題
5. 課時小結(jié)
1.兩個重要的不等式
2.基本不等式的聯(lián)系和理解
3.對基本不等式和例1及練習(xí)題的總結(jié)
當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,等號成立。
6. 課后作業(yè)
1.課本94頁A 組3和B組1題
2.預(yù)習(xí)3.2節(jié)
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