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1、
1 定積分的概念
第一課時(shí)
一、教學(xué)目標(biāo):
理解求曲邊圖形面積的過程:分割、以直代曲、逼近,感受在其過程中滲透的思想方法。
二、教學(xué)重難點(diǎn):
重點(diǎn):掌握過程步驟:分割、以直代曲、求和、逼近(取極限)
難點(diǎn):對(duì)過程中所包含的基本的微積分 “以直代曲”的思想的理解
三、教學(xué)方法:探析歸納,講練結(jié)合
四、教學(xué)過程
1、創(chuàng)設(shè)情景
我們學(xué)過如何求正方形、長(zhǎng)方形、三角形等的面積,這些圖形都是由直線段圍成的。那么,如何求曲線圍成的平面圖形的面積呢?這就是定積分要解決的問題。定積分在科學(xué)研究和實(shí)際生活中都有非常廣泛的應(yīng)用。本節(jié)我們將學(xué)習(xí)定積分的基本概念以及定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用,初步
2、體會(huì)定積分的思想及其應(yīng)用價(jià)值。
一個(gè)概念:如果函數(shù)在某一區(qū)間上的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線,那么就把函數(shù)稱為區(qū)間上的連續(xù)函數(shù).(不加說明,下面研究的都是連續(xù)函數(shù))
2、新課探析
問題:如圖,陰影部分類似于一個(gè)梯形,但有一邊是曲線的一段,我們把由直線和曲線所圍成的圖形稱為曲邊梯形.如何計(jì)算這個(gè)曲邊梯形的面積?
例題:求圖中陰影部分是由拋物線,直線以及軸所圍成的平面圖形的面積S。
思考:(1)曲邊梯形與“直邊圖形”的區(qū)別?(2)能否將求這個(gè)曲邊梯形面積S的問題轉(zhuǎn)化為求“直邊圖形”面積的問題?
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分析:曲邊梯形與“直邊圖形”的主要區(qū)別:曲邊梯形有一邊是曲線段,“直
3、邊圖形”的所有邊都是直線段.“以直代曲”的思想的應(yīng)用.
x
x
x
1 x
1 x
y
1 x
y
y
把區(qū)間分成許多個(gè)小區(qū)間,進(jìn)而把區(qū)邊梯形拆為一些小曲邊梯形,對(duì)每個(gè)小曲邊梯形“以直代取”,即用矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積,得到每個(gè)小曲邊梯形面積的近似值,對(duì)這些近似值求和,就得到曲邊梯形面積的近似值.分割越細(xì),面積的近似值就越精確。當(dāng)分割無限變細(xì)時(shí),這個(gè)近似值就無限逼近所求曲邊梯形的面積S.也即:用劃歸為計(jì)算矩形面積和逼近的思想方法求出曲邊梯形的面積.
解:(1).分割
在區(qū)間上等間隔地插入個(gè)點(diǎn),將區(qū)間等分成個(gè)小區(qū)間:,,…,
4、記第個(gè)區(qū)間為,其長(zhǎng)度為
分別過上述個(gè)分點(diǎn)作軸的垂線,從而得到個(gè)小曲邊梯形,他們的面積分別記作:
,,…,顯然,
(2)近似代替
記,如圖所示,當(dāng)很大,即很小時(shí),在區(qū)間上,可以認(rèn)為函數(shù)的值變化很小,近似的等于一個(gè)常數(shù),不妨認(rèn)為它近似的等于左端點(diǎn)處的函數(shù)值,從圖形上看,就是用平行于軸的直線段近似的代替小曲邊梯形的曲邊(如圖).這樣,在區(qū)間上,用小矩形的面積近似的代替,即在局部范圍內(nèi)“以直代取”,則有
①
(3)求和:由①,上圖中陰影部分的面積為
====,從而得到的近似值
(4)取極限:分別將區(qū)間等分8,16,20,…等份(如圖),可以看到,當(dāng)趨向于無窮大時(shí),
5、即趨向于0時(shí),趨向于,從而有
從數(shù)值上的變化趨勢(shì)
3.求曲邊梯形面積的四個(gè)步驟:第一步:分割.在區(qū)間中任意插入各分點(diǎn),將它們等分成個(gè)小區(qū)間,區(qū)間的長(zhǎng)度,第二步:近似代替,“以直代取”。用矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積,求出每個(gè)小曲邊梯形面積的近似值.第三步:求和.第四步:取極限。
說明:1.歸納以上步驟,其流程圖表示為:分割以直代曲求和逼近
2.最后所得曲邊形的面積不是近似值,而是真實(shí)值
四、課堂小結(jié):求曲邊梯形的思想和步驟:分割以直代曲求和逼近 (“以直代曲”的思想)
五、教學(xué)后記
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