【創(chuàng)新方案】年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十篇 統(tǒng)計、統(tǒng)計案例 第2講 用樣本估計總體教案 理 新人教版
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1、 第2講 用樣本估計總體 【2013年高考會這樣考】 1.考查樣本的頻率分布(分布表、直方圖、莖葉圖)中的有關(guān)計算,樣本特征數(shù)(眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差)的計算.主要以選擇題、填空題為主. 2.考查以樣本的分布估計總體的分布(以樣本的頻率估計總體的頻率、以樣本的特征數(shù)估計總體的特征數(shù)). 【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】 1.由于高考對統(tǒng)計考查的覆蓋面廣,幾乎對所有的統(tǒng)計考點都有所涉及,其中頻率分布直方圖、均值與方差、莖葉圖是核心考點,需要好好掌握.復(fù)習(xí)時,對于統(tǒng)計的任何環(huán)節(jié)都不能遺漏,最主要的是掌握好統(tǒng)計的基礎(chǔ)知識,適度的題量練習(xí). 2.高考對頻率分布直方圖或莖葉圖與概率相結(jié)合的題目考查日益頻
2、繁.因此,復(fù)習(xí)時要加強這方面的訓(xùn)練,弄清圖表中有關(guān)量的含義,并從中提煉出有用的信息,為后面的概率計算打好基礎(chǔ). 基礎(chǔ)梳理 1.頻率分布直方圖 (1)通常我們對總體作出的估計一般分成兩種:一種是用樣本的頻率分布估計總體的分布;另一種是用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征. (2)作頻率分布直方圖的步驟 ①求極差(即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差). ②決定組距與組數(shù). ③將數(shù)據(jù)分組. ④列頻率分布表. ⑤畫頻率分布直方圖. (3)在頻率分布直方圖中,縱軸表示,數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率用各小長方形的面積表示.各小長方形的面積總和等于1. 2.頻率分布折線圖和總體密度曲線
3、(1)頻率分布折線圖:連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點,就得頻率分布折線圖. (2)總體密度曲線:隨著樣本容量的增加,作圖時所分組數(shù)增加,組距減小,相應(yīng)的頻率折線圖會越來越接近于一條光滑曲線,即總體密度曲線. 3.莖葉圖的優(yōu)點 用莖葉圖表示數(shù)據(jù)有兩個突出的優(yōu)點: 一是統(tǒng)計圖上沒有原始數(shù)據(jù)信息的損失,所有數(shù)據(jù)信息都可以從莖葉圖中得到; 二是莖葉圖中的數(shù)據(jù)可以隨時記錄,隨時添加,方便記錄與表示. 4.樣本方差與標(biāo)準(zhǔn)差 設(shè)樣本的元素為x1,x2,…,xn,樣本的平均數(shù)為, (1)樣本方差:s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2]. (2)樣本標(biāo)準(zhǔn)差: s=
4、. 兩個異同 (1)眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)的異同 ①眾數(shù)、中位數(shù)及平均數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)集中趨勢的量,平均數(shù)是最重要的量. ②由于平均數(shù)與每一個樣本數(shù)據(jù)有關(guān),所以,任何一個樣本數(shù)據(jù)的改變都會引起平均數(shù)的改變,這是中位數(shù)、眾數(shù)都不具有的性質(zhì). ③眾數(shù)考查各數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻率,其大小只與這組數(shù)據(jù)中的部分數(shù)據(jù)有關(guān).當(dāng)一組數(shù)據(jù)中有不少數(shù)據(jù)多次重復(fù)出現(xiàn)時,其眾數(shù)往往更能反映問題. ④某些數(shù)據(jù)的變動對中位數(shù)可能沒有影響.中位數(shù)可能出現(xiàn)在所給數(shù)據(jù)中,也可能不在所給數(shù)據(jù)中.當(dāng)一組數(shù)據(jù)中的個別數(shù)據(jù)變動較大時,可用中位數(shù)描述其集中趨勢. (2)標(biāo)準(zhǔn)差與方差的異同 標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均
5、數(shù)波動的大?。畼?biāo)準(zhǔn)差、方差越大,數(shù)據(jù)的離散程度就越大;標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小,數(shù)據(jù)的離散程度則越小,因為方差與原始數(shù)據(jù)的單位不同,且平方后可能夸大了偏差的程度,所以雖然方差與標(biāo)準(zhǔn)差在刻畫樣本數(shù)據(jù)的分散程度上是一樣的,但在解決實際問題時,一般多采用標(biāo)準(zhǔn)差. 三個特征 利用頻率分布直方圖估計樣本的數(shù)字特征: (1)中位數(shù):在頻率分布直方圖中,中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等,由此可以估計中位數(shù)值. (2)平均數(shù):平均數(shù)的估計值等于每個小矩形的面積乘以矩形底邊中點橫坐標(biāo)之和. (3)眾數(shù):最高的矩形的中點的橫坐標(biāo). 雙基自測 1.(人教A版教材習(xí)題改編)某工廠生產(chǎn)滾珠,從某批產(chǎn)品中隨機抽取
6、8粒,量得直徑分別為(單位:mm):14.7,14.6,15.1,15.0,14.8,15.1,15.0,14.9,則估計該廠生產(chǎn)的滾珠直徑的平均數(shù)為( ). A.14.8 mm B.14.9 mm C.15.0 mm D.15.1 mm 解析 平均數(shù)=(14.7+14.6+15.1+15.0+14.8+15.1+15.0+14.9)=14.9 (mm). 答案 B 2.(2012合肥月考)一個容量為100的樣本,其數(shù)據(jù)的分組與各組的頻數(shù)如下: 組別 (0,10] (10,20] (20,30] (30,40] (40,50] (50,60] (60,70]
7、 頻數(shù) 12 13 24 15 16 13 7 則樣本數(shù)據(jù)落在(10,40]上的頻率為( ). A.0.13 B.0.39 C.0.52 D.0.64 解析 由列表可知樣本數(shù)據(jù)落在(10,40]上的頻數(shù)為52,故其頻率為0.52. 答案 C 3.(人教A版教材習(xí)題改編)10名工人某天生產(chǎn)同一零件,生產(chǎn)的件數(shù)分別是15,17,14,10,15,19,17,16,14,12,則這一天10名工人生產(chǎn)的零件的中位數(shù)是( ). A.14 B.16 C.15 D.17 解析 將這組數(shù)據(jù)從小到大排
8、列得10,12,14,14,15,15,16,17,17,19.故中位數(shù)為=15. 答案 C 4. 某雷達測速區(qū)規(guī)定:凡車速大于或等于70 km/h的汽車視為“超速”,并將受到處罰,如圖是某路段的一個檢測點對200輛汽車的車速進行檢測所得結(jié)果的頻率分布直方圖,則從圖中可以看出被處罰的汽車大約有( ). A.30輛 B.40輛 C.60輛 D.80輛 解析 由題圖可知,車速大于或等于70 km/h的汽車的頻率為0.0210=0.2,則將被處罰的汽車大約有2000.2=40(輛). 答案 B 5.(2011江蘇)某老師從星期一到星
9、期五收到的信件數(shù)分別為10,6,8,5,6,則該組數(shù)據(jù)的方差s2=________. 解析 平均數(shù)==7. ∴s2=[(10-7)2+(6-7)2+(8-7)2+(5-7)2+ (6-7)2]=(9+1+1+4+1)=3.2. 答案 3.2 考向一 頻率分布直方圖的繪制與應(yīng)用 【例1】?某校從 參加高一年級期中考試的學(xué)生中隨機抽出60名學(xué)生,將其物理成績(均為整數(shù))分成六段[40,50),[50,60),…,[90,100]后得到如圖所示的頻率分布直方圖,觀察圖形的信息,回答下列問題: (1)求分數(shù)在[70,80)內(nèi)的頻率,并補全這個頻率分布直方圖;
10、(2)統(tǒng)計方法中,同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點值作為代表,據(jù)此估計本次考試中的平均分. [審題視點] 利用各小長方形的面積和等于1求[70,80)內(nèi)的頻率. 解 (1)設(shè)分數(shù)在[70,80)內(nèi)的頻率為x,根據(jù)頻率分布直方圖,有(0.010+0.0152+0.025+0.005)10+x=1,可得x=0.3,所以頻率分布直方圖如圖所示. (2)平均分為:x=450.1+550.15+650.15+750.3+850.25+950.05=71(分). 頻率分布直方圖直觀形象地表示了樣本的頻率分布,從這個直方圖上可以求出樣本數(shù)據(jù)在各個組的頻率分布.根據(jù)頻率分布直方圖估計樣本(或者總
11、體)的平均值時,一般是采取組中值乘以各組的頻率的方法. 【訓(xùn)練1】 (2011湖北)有 一個容量為200的樣本,其頻率分布直方圖如圖所示.根據(jù)樣本的頻率分布直方圖估計,樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間[10,12)內(nèi)的頻數(shù)為( ). A.18 B.36 C.54 D.72 解析 樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間[10,12)內(nèi)的頻率1-(0.19+0.15+0.05+0.02)2=0.18,所以數(shù)據(jù)落在此區(qū)間的頻數(shù)為2000.18=36. 答案 B 考向二 莖葉圖的應(yīng)用 【例2】?如圖是某青年歌手 大獎賽上七位評委為甲、乙兩名選手打出的分數(shù)的莖葉圖(其中m為數(shù)字0~9中的一個
12、),去掉一個最高分和一個最低分后,甲、乙兩名選手得分的平均數(shù)分別為a1、a2,則一定有( ). A.a(chǎn)1>a2 B.a(chǎn)2>a1 C.a(chǎn)1=a2 D.a(chǎn)1,a2的大小與m的值有關(guān) [審題視點] 去掉的最低分和最高分就是第一行和第三行的數(shù)據(jù),剩下的數(shù)我們只要計算其葉上數(shù)字之和,即可對問題作出結(jié)論. 解析 去掉一個最高分和一個最低分后,甲選手葉上的數(shù)字之和是20,乙選手葉上的數(shù)字之和是25,故a2>a1.故選B. 答案 B 由于莖葉圖完全反映了所有的原始數(shù)據(jù),解決由莖葉圖給出的統(tǒng)計圖表試題時,就要充分使用這個圖表提供的數(shù)據(jù)進行相關(guān)的計算或者是對某些問題作出判斷,這類試題往往伴隨著
13、對數(shù)據(jù)組的平均值或者是方差的計算等. 【訓(xùn)練2】 在 一項大西瓜品種的實驗中,共收獲甲種大西瓜13個、乙種大西瓜11個,并把這些大西瓜的重量(單位:斤,1斤=500克)制成了莖葉圖,如圖所示,據(jù)此莖葉圖寫出對甲乙兩種大西瓜重量的兩條統(tǒng)計結(jié)論是: (1)__________________________________________; (2)__________________________________________. 解析 從這個莖葉圖可以看出,甲種大西瓜的重量大致對稱,平均重量、眾數(shù)及中位數(shù)都是30多斤;乙種大西瓜的重量除了一個51斤外,也大致對稱,平均重量、眾數(shù)及
14、中位數(shù)都是20多斤,但甲種大西瓜的產(chǎn)量比乙種穩(wěn)定,總體情況比乙好. 答案 (1)甲種大西瓜的平均重量大于乙種大西瓜 (2)甲種大西瓜的產(chǎn)量比乙種大西瓜穩(wěn)定 考向三 用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征 【例3】?甲乙二人參加某體育項目訓(xùn)練,近期的五次測試成績得分情況如圖. (1)分別求出兩人得分的平均數(shù)與方差; (2)根據(jù)圖和上面算得的結(jié)果,對兩人的訓(xùn)練成績作出評價. [審題視點] (1)先通過圖象統(tǒng)計出甲、乙二人的成績; (2)利用公式求出平均數(shù)、方差,再分析兩人的成績,作出評價. 解 (1)由圖象可得甲、乙兩人五次測試的成績分別為 甲:10分,13分,12分,14分,1
15、6分; 乙:13分,14分,12分,12分,14分. 甲==13, 乙==13, s=[(10-13)2+(13-13)2+(12-13)2+(14-13)2+(16-13)2]=4, s=[(13-13)2+(14-13)2+(12-13)2+(12-13)2+(14-13)2]=0.8. (2)由s>s可知乙的成績較穩(wěn)定. 從折線圖看,甲的成績基本呈上升狀態(tài),而乙的成績上下波動,可知甲的成績在不斷提高,而乙的成績則無明顯提高. 平均數(shù)與方差都是重要的數(shù)字特征,是對總體的一種簡明的描述,它們所反映的情況有著重要的實際意義,平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述其集中趨勢,方差和標(biāo)準(zhǔn)差描
16、述其波動大小. 【訓(xùn)練3】 甲、乙兩名射擊運動員參加某大型運動會的預(yù)選賽,他們分別射擊了5次,成績?nèi)缦卤?單位:環(huán)): 甲 10 8 9 9 9 乙 10 10 7 9 9 如果甲、乙兩人中只有1人入選,則入選的最佳人選應(yīng)是________. 解析 甲=乙=9環(huán),s=[(9-10)2+(9-8)2+(9-9)2+(9-9)2+(9-9)2]=, s=[(9-10)2+(9-10)2+(9-7)2+(9-9)2+(9-9)2]=>s,故甲更穩(wěn)定,故填甲. 答案 甲 規(guī)范解答19——怎樣解答莖葉圖與概率的綜合性問題 【問題研究】 莖葉圖是一個將數(shù)據(jù)分成
17、主、次兩部分,把主要部分當(dāng)做莖、次要部分當(dāng)作葉表達數(shù)據(jù)的一個圖,它是一種常用的統(tǒng)計圖.因此考題常將莖葉圖作為載體來考查平均數(shù)、方差以及概率問題. 【解決方案】 首先對莖葉圖中的數(shù)據(jù)全面分析,然后再根據(jù)莖葉圖的數(shù)據(jù)解決其它問題. 【示例】?(本題滿分12分)(2011北京)以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各四名同學(xué)的植樹棵數(shù).乙組記錄中有一個數(shù)據(jù)模糊,無法確認,在圖中以X表示. (1)如果X=8,求乙組同學(xué)植樹棵數(shù)的平均數(shù)和方差; (2)如果X=9,分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學(xué),求這兩名同學(xué)的植樹總棵數(shù)為19的概率. (注:方差s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2]
18、,其中為x1,x2,…,xn的平均數(shù)) 第(1)問直接套入公式求值;第(2)問利用古典概型的知識解決. [解答示范] (1)當(dāng)X=8時,由莖葉圖可知,乙組同學(xué)的植樹棵數(shù)是:8,8,9,10,所以平均數(shù)為 ==.(2分) 方差為 s2= =.(5分) (2)記甲組四名同學(xué)為A1,A2,A3,A4,他們植樹的棵數(shù)依次為9,9,11,11;乙組四名同學(xué)為B1,B2,B3,B4,他們植樹的棵數(shù)依次為9,8,9,10.分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學(xué),所有可能的結(jié)果有16個,它們是: (A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,B4),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,B4),(A3,B1),(A3,B2),(A3,B3),(A3,B4),(A4,B1),(A4,B2),(A4,B3),(A4,B4),(9分) 用C表示:“選出的兩名同學(xué)的植樹總棵數(shù)為19”這一事件,則C中的結(jié)果有4個,它們是:(A1,B4),(A2,B4),(A3,B2),(A4,B2).故所求概率為P(C)==.(12分) 莖葉圖一般記錄兩組的數(shù)據(jù),它最直觀、最清晰,但利用莖葉圖解決概率問題時對重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)據(jù)要重復(fù)記錄,不能遺漏. 9
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