高中數學 第一章 導數及其應用學業(yè)質量標準檢測 新人教A版選修22

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1、 第一章　學業(yè)質量標準檢測 時間120分鐘，滿分150分． 一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中只有一個是符合題目要求的) 1．dx等于(　B　) A．－2ln2　　　　　　 B．2ln2 C．－ln2 D．ln2 [解析]　因為(2lnx)′＝， 所以 dx＝2lnx|＝2ln4－2ln2＝2ln2． 2．曲線y＝x3－3x2＋1在點(1，－1)處的切線方程為(　B　) A．y＝3x－4 B．y＝－3x＋2 C．y＝－4x＋3 D．y＝4x－5 [解析]　∵點(1，－1)在曲線上，y′＝3x2－6x， ∴y′|x＝1＝

2、－3，即切線斜率為－3． ∴利用點斜式得，切線方程為y＋1＝－3(x－1)，即y＝－3x＋2．故選B． 3．(2018全國卷Ⅰ文，6)設函數f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax．若f(x)為奇函數，則曲線y＝f(x)在點(0,0)處的切線方程為(　D　) A．y＝－2x B．y＝－x C．y＝2x D．y＝x [解析]　∵ f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax， ∴ f′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a． 又f(x)為奇函數， ∴ f(－x)＝－f(x)恒成立， 即－x3＋(a－1)x2－ax＝－x3－(a－1)x2－ax恒成立， ∴ a＝1，∴ f′(x)＝3x2＋

3、1， ∴ f′(0)＝1， ∴ 曲線y＝f(x)在點(0,0)處的切線方程為y＝x． 故選D． 4．(2018青島高二檢測)下列函數中，x＝0是其極值點的函數是(　B　) A．f(x)＝－x3 B．f(x)＝－cosx C．f(x)＝sinx－x D．f(x)＝ [解析]　對于A，f ′(x)＝－3x2≤0恒成立，在R上單調遞減，沒有極值點；對于B，f ′(x)＝sinx，當x∈(－π，0)時，f ′(x)<0，當x∈(0，π)時，f ′(x)>0，故f(x)＝－cosx在x＝0的左側區(qū)間(－π，0)內單調遞減，在其右側區(qū)間(0，π)內單調遞增，所以x＝0是f(x)的一個極小

4、值點；對于C，f ′(x)＝cosx－1≤0恒成立，在R上單調遞減，沒有極值點；對于D，f(x)＝在x＝0沒有定義，所以x＝0不可能成為極值點，綜上可知，答案選B． 5．已知函數f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3時取得極值，則a＝(　D　) A．2　　　 B．3　　　　 C．4　　　　 D．5 [解析]　f ′(x)＝3x2＋2ax＋3，由條件知，x＝－3是方程f ′(x)＝0的實數根，∴a＝5． 6．(2017浙江卷)函數y＝f(x)的導函數y＝f′(x)的圖象如圖所示，則函數y＝f(x)的圖象可能是(　D　) [解析]　觀察導函數f′(x)的圖象可知，f′(x)

5、的函數值從左到右依次為小于0，大于0，小于0，大于0， ∴對應函數f(x)的增減性從左到右依次為減、增、減、增． 觀察選項可知，排除A，C． 如圖所示，f′(x)有3個零點，從左到右依次設為x1，x2，x3，且x1，x3是極小值點，x2是極大值點，且x2>0，故選項D確，故選D． 7．若a>0，b>0，且函數f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1處有極值，則ab的最大值等于(　D　) A．2　　　　 B．3　　　　　 C．6　　　　　 D．9 [解析]　∵f ′(x)＝12x2－2ax－2b， 又因為在x＝1處有極值，∴a＋b＝6， ∵a>0，b>0，∴ab≤()2＝9

6、， 當且僅當a＝b＝3時取等號， 所以ab的最大值等于9．故選D． 8．函數f(x)＝ax3＋ax2－2ax＋1的圖象經過四個象限，則實數a的取值范圍是(　D　) A．－ [解析]　f ′(x)＝ax2＋ax－2a＝a(x＋2)(x－1)， 要使函數f(x)的圖象經過四個象限，則f(－2)f(1)<0， 即(a＋1)(－a＋1)<0，解得a<－或a>． 故選D． 9．(2018沈陽一模)設函數f(x)＝xex＋1，則(　D　) A．x＝1為f(x)的極大值點 B．x＝1為f(x)的極小值點 C．x＝－1為f(

7、x)的極大值點 D．x＝－1為f(x)的極小值點 [解析]　由于f(x)＝xex，可得f′(x)＝(x＋1)ex， 令f′(x)＝(x＋1)ex＝0可得x＝－1， 令f′(x)＝(x＋1)ex＞0可得x＞－1，即函數在(－1，＋∞)上是增函數 令f′(x)＝(x＋1)ex＜0可得x＜－1，即函數在(－∞，－1)上是減函數 所以x＝－1為f(x)的極小值點． 故選D． 10．(2017全國卷Ⅱ理，11)若x＝－2是函數f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的極值點，則f(x)的極小值是(　A　) A．－1 B．－2e－3 C．5e－3 D．1 [解析]　函數f(x)＝

8、(x2＋ax－1)ex－1 則f′(x)＝(2x＋a)ex－1＋(x2＋ax－1)ex－1 ＝ex－1[x2＋(a＋2)x＋a－1]． 由x＝－2是函數f(x)的極值點得 f′(－2)＝e－3(4－2a－4＋a－1)＝(－a－1)e－3＝0， 所以a＝－1． 所以f(x)＝(x2－x－1)ex－1，f′(x)＝ex－1(x2＋x－2)． 由ex－1>0恒成立，得x＝－2或x＝1時，f′(x)＝0， 且x<－2時，f′(x)>0；－21時，f′(x)>0． 所以x＝1是函數f(x)的極小值點． 所以函數f(x)的極小值為f(1)＝－1．

9、故選A． 11．已知函數f(x)＝＋xlnx，g(x)＝x3－x2－5，若對任意的x1，x2∈，都有f(x1)－g(x2)≥2成立，則a的取值范圍是(　B　) A．(0，＋∞) B．[1，＋∞) C．(－∞，0) D．(－∞，－1] [解析]　由于g(x)＝x3－x2－5?g′(x)＝3x2－2x＝x(3x－2)，∴函數g(x)在上單調遞減，在上單調遞增，g＝－－5＝－，g(2)＝8－4－5＝－1．由于對?x1，x2∈，f(x1)－g(x2)≥2恒成立，∴f(x)≥[g(x)＋2]max，即x∈時，f(x)≥1恒成立，即＋xlnx≥1，在上恒成立，a≥x－x2lnx在上恒成立，令h

10、(x)＝x－x2lnx，則h′(x)＝1－2xlnx－x， 而h″(x)＝－3－2lnx，x∈時，h″(x)<0， 所以h′(x)＝1－2xlnx－x在單調遞減， 由于h′(1)＝0，∴x∈時，h′(x)>0，x∈[1,2]時，h′(x)<0，所以h(x)≤h(1)－1，∴a≥1． 12．(2017全國卷Ⅲ理，11)已知函數f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零點，則a＝(　C　) A．－ B． C． D．1 [解析]　方法1：f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)＝(x－1)2＋a[ex－1＋e－(x－1)]－1， 令t＝x－1，則g(t)

11、＝f(t＋1)＝t2＋a(et＋e－t)－1． ∵g(－t)＝(－t)2＋a(e－t＋et)－1＝g(t)， ∴函數g(t)為偶函數． ∵f(x)有唯一零點， ∴g(t)也有唯一零點． 又g(t)為偶函數，由偶函數的性質知g(0)＝0， ∴2a－1＝0，解得a＝． 故選C． 方法2：f(x)＝0?a(ex－1＋e－x＋1)＝－x2＋2x． ex－1＋e－x＋1≥2＝2， 當且僅當x＝1時取“＝”． －x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，當且僅當x＝1時取“＝”． 若a>0，則a(ex－1＋e－x＋1)≥2a， 要使f(x)有唯一零點，則必有2a＝1，即a＝． 若a≤

12、0，則f(x)的零點不唯一． 故選C． 二、填空題(本大題共4個小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在題中橫線上) 13．(2017南開區(qū)二模)已知f(x)＝x(2016＋lnx)，f′(x0)＝2017，則x0＝1__． [解析]　f′(x)＝2016＋lnx＋1＝2017＋lnx 又∵f′(x0)＝2017，∴f′(x0)＝2017＋lnx0＝2017， 則lnx0＝0，x0＝1． 14．(2018海淀區(qū)校級期末)已知函數f(x)＝x2－2lnx，則f(x)的最小值為1． [解析]　函數的定義域(0，＋∞) f′(x)＝2x－2＝＝ 令f′(x)≥0?x≥1; f′

13、(x)≤0?0＜x≤1 所以函數在(0,1]單調遞減，在[1，＋∞)單調遞增 所以函數在x＝1時取得最小值，f(x)min＝f(1)＝1 故答案為1． 15．如圖陰影部分是由曲線y＝、y2＝x與直線x＝2、y＝0圍成，則其面積為＋ln2． [解析]　由，得交點A(1,1) 由得交點B． 故所求面積S＝dx＋dx ＝x＋lnx＝＋ln2． 16．(2018玉溪模擬)已知函數f(x)的定義域為[－1,5]，部分對應值如下表，f(x)的導函數y＝f′(x)的圖象如圖所示，給出關于f(x)的下列命題： x －1 0 2 4 5 f(x) 1 2 0 2 1

14、 ①函數y＝f(x)在x＝2取到極小值； ②函數f(x)在[0,1]是減函數，在[1,2]是增函數； ③當1＜a＜2時，函數y＝f(x)－a有4個零點； ④如果當x∈[－1，t]時，f(x)的最大值是2，那么t的最小值為0． 其中所有正確命題是①③④(寫出正確命題的序號)． [解析]　由圖象可知當－1＜x＜0,2＜x＜4時，f′(x)＞0，此時函數單調遞增， 當0＜x＜2,4＜x＜5時，f′(x)＜0，此時函數單調遞減， 所以當x＝0或x＝4時，函數取得極大值，當x＝2時，函數取得極小值． 所以①正確． ②函數在[0,2]上單調遞減，所以②錯誤． ③因為x＝0或x＝4

15、時，函數取得極大值，當x＝2時，函數取得極小值． 所以f(0)＝2，f(4)＝2，f(2)＝0， 因為f(－1)＝f(5)＝1，所以由函數圖象可知當1＜a＜2時，函數y＝f(x)－a有4個零點；正確． ④因為函數在[－1,0]上單調遞增，且函數的最大值為2， 所以要使當x∈[－1，t]時，f(x)的最大值是2，則t≥0即可，所以t的最小值為0，所以④正確． 故答案為①③④． 三、解答題(本大題共6個大題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟) 17．(本題滿分10分)(2018贛州二模)設函數f(x)＝(x－1)2＋alnx有兩個極值點x1，x2，且x1＜x2．求實數

16、a的取值范圍． [解析]　(1)因為f(x)＝(x－1)2＋alnx，∴f′(x)＝2(x－1)＋，(x>0) 即f′(x)＝，令g(x)＝2x2－2x＋a，(x＞0) 則(x1＜x2)是方程2x2－2x＋a＝0的兩個正實根． 則，得00)． (1)當a＝1時，求f(x)的單調區(qū)間； (2)若f(x)在(0,1]上 的最大值為，求a的值． [解析]　函數f(x)的定義域為(0,2)， f ′(x)＝－＋a， (1)當a＝1時，f ′(x)＝，∴當x∈(0，)時，f ′(x)>0，當x∈(，2

17、)時，f ′(x)<0，所以f(x)的單調遞增區(qū)間為(0，)，單調遞減區(qū)間為(，2)； (2)當x∈(0,1]時，f ′(x)＝＋a>0， 即f(x)在(0,1]上單調遞增，故f(x)在(0,1]上的最大值為f(1)＝a，因此a＝． 19．(本題滿分12分)在曲線y＝x2(x≥0)上某一點A處作一切線，使之與曲線以及x軸所圍成圖形的面積為，試求切點A的坐標及過切點A的切線方程． [解析]　如圖所示，設切點A(x0，y0)，過切點A的切線與x軸的交點為C． 由y′＝2x知A點處的切線方程為y－y0＝2x0(x－x0)，即y＝2x0x－x．令y＝0，得x＝，即C(，0)． 設由曲線y＝

18、x2(x≥0)與過A點的切線及x軸所圍成圖形的面積為S， 則S＝S曲邊△AOB－S△ABC． ∵S曲邊△AOB＝∫x00x2dx＝x3|x00＝x， S△ABC＝BCAB＝(x0－)x＝x， ∴S＝x－x＝x＝，∴x0＝1， ∴切點A的坐標為(1,1)， 即過切點A的切線方程為2x－y－1＝0． 20．(本題滿分12分)(2018和平區(qū)三模)設函數f(x)＝lnx－ ax2－bx． (1)當a＝b＝時，求函數f(x)的最大值； (2)令F(x)＝f(x)＋x2＋bx＋(0＜x≤3)，若其圖象上的任意點P(x0，y0)處切線的斜率k≤恒成立，求實數a的取值范圍． [解析]　(

19、1)依題意，知f(x)的定義域為(0，＋∞)，當a＝b＝時，f(x)＝lnx－x2－x，f′(x)＝－x－＝ 令f′(x)＝0，解得x＝1．(∵x＞0) 因為g(x)＝0有唯一解，所以g(x2)＝0，當0＜x＜1時，f′(x)＞0，此時f(x)單調遞增； 當x＞1時，f′(x)＜0，此時f(x)單調遞減． 所以f(x)的極大值為f(1)＝－，此即為最大值． (2)F(x)＝lnx＋，x∈(0,3]，則有k≤F′(x0)＝≤，在x0∈(0,3]上恒成立， 所以a≥(－x＋x0)max，x0∈(0,3]， 當x0＝1時，－x＋x0取得最大值，所以a≥． 21．(本題滿分12分)某工

20、廠生產一種儀器的元件，由于受生產能力和技術水平的限制，會產生一些次品，根據經驗知道，其次品率P與日產量x(萬件)之間大體滿足關系： P＝(其中c為小于6的正常數) (注：次品率＝次品數/生產量，如P＝0．1表示每生產10件產品，有1件為次品，其余為合格品) 已知每生產1萬件合格的儀器可盈利2萬元，但每生產1萬件次品將虧損1萬元，故廠方希望定出合適的日產量． (1)試將生產這種儀器的元件每天的盈利額T(萬元)表示為日產量x(萬件)的函數． (2)當日產量為多少時，可獲得最大利潤？ [解析]　(1)當x>c時，P＝， 所以T＝x2－x1＝0． 當1≤x≤c時，P＝， 所以T＝(1

21、－)x2－()x1＝． 綜上，日盈利額T(萬元)與日產量x(萬件)的函數關系為：T＝ (2)由(1)知，當x>c時，每天的盈利額為0， 當1≤x≤c時，T′＝＝， 令T′＝0，解得x＝3或x＝9． 因為1

22、x． (1)討論f(x)的單調性； (2)若f(x)存在兩個極值點x1，x2， 證明：

23、以x1x2＝1，不妨設x1＜x2，則x2＞1． 由于＝－－1＋a＝－2＋ a＝－2＋a， 所以＜a－2等價于－x2＋2ln x2＜0． 設函數g(x)＝－x＋2ln x，由(1)知，g(x)在(0，＋∞)上單調遞減． 又g(1)＝0，從而當x∈(1，＋∞)時，g(x)＜0． 所以－x2＋2ln x2＜0，即＜a－2． 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375