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1、
高考數(shù)學精品復習資料
2019.5
第3講 圓與圓的方程
基礎鞏固題組
(建議用時:40分鐘)
一、選擇題
1. (20xx長春模擬)已知點A(1,-1),B(-1,1),則以線段AB為直徑的圓的方程是 ( ).
A.x2+y2=2 B.x2+y2=
C.x2+y2=1 D.x2+y2=4
解析 AB的中點坐標為(0,0),
|AB|==2,
∴圓的方程為x2+y2=2.
答案 A
2.若圓x2+y2-2ax+3by=0的圓心位于第三象限,那么直線x+ay+b=0一定不經過 ( ).
A.
2、第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析 圓x2+y2-2ax+3by=0的圓心為,
則a<0,b>0.直線y=-x-,k=->0,->0,直線不經過第四象限.
答案 D
3.(20xx鎮(zhèn)安中學模擬)圓心在y軸上且過點(3,1)的圓與x軸相切,則該圓的方程是 ( ).
A.x2+y2+10y=0 B.x2+y2-10y=0
C.x2+y2+10x=0 D.x2+y2-10x=0
解析 設圓心為(0,b),半徑為r,則r=|b|,
∴圓的方程為x2+(y-b)2=b2,∵點(3,1)在圓上,
∴9+(1-b)2=b2,解得b=5,
∴圓的方程為x
3、2+y2-10y=0.
答案 B
4.兩條直線y=x+2a,y=2x+a的交點P在圓(x-1)2+(y-1)2=4的內部,則實數(shù)a的取值范圍是 ( ).
A. B.∪(1,+∞)
C. D.∪[1,+∞)
解析 聯(lián)立解得P(a,3a),
∴(a-1)2+(3a-1)2<4,∴-<a<1,故應選A.
答案 A
5.(20xx西交大附中模擬)點P(4,-2)與圓x2+y2=4上任一點連線的中點的軌跡方程是 ( ).
A.(x-2)2+(y+1)2=1 B.(x-2)2+(y+1)2=4
C.(x+4)2+(y-2)2=4 D.(x+2)2+(y-1)2=1
解
4、析 設圓上任一點為Q(x0,y0),PQ的中點為M(x,y),則解得因為點Q在圓x2+y2=4上,所以x+y=4,即(2x-4)2+(2y+2)2=4,
化簡得(x-2)2+ (y+1)2=1.
答案 A
二、填空題
6.已知點M(1,0)是圓C:x2+y2-4x-2y=0內的一點,那么過點M的最短弦所在直線的方程是________.
解析 過點M的最短弦與CM垂直,圓C:x2+y2-4x-2y=0的圓心為C(2,1),∵kCM==1,∴最短弦所在直線的方程為y-0=-1(x-1),即x+y-1=0.
答案 x+y-1=0
7.(20xx南京調研)已知直線l:x-y+4=0與圓C
5、:(x-1)2+(y-1) 2=2,則圓C上各點到l的距離的最小值為______.
解析 由題意得C上各點到直線l的距離的最小值等于圓心(1,1)到直線l的距離減去半徑,即-=.
答案
8.若圓x2+(y-1)2=1上任意一點(x,y)都使不等式x+y+m≥0恒成立,則實數(shù)m的取值范圍是________.
解析 據(jù)題意圓x2+(y-1)2=1上所有的點都在直線x+y+m=0的右上方,所以有
解得m≥-1+.故m的取值范圍是[-1+,+∞).
答案 [-1+,+∞)
三、解答題
9.求適合下列條件的圓的方程:
(1)圓心在直線y=-4x上,且與直線l:x+y-1=0相切于點P
6、(3,-2);
(2)過三點A(1,12),B(7,10),C(-9,2).
解 (1)法一 設圓的標準方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,
則有
解得a=1,b=-4,r=2.
∴圓的方程為(x-1)2+(y+4)2=8.
法二 過切點且與x+y-1=0垂直的直線為y+2=x-3,與y=-4x聯(lián)立可求得圓心為(1,-4).
∴半徑r==2,
∴所求圓的方程為(x-1)2+(y+4)2=8.
(2)法一 設圓的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),
則
解得D=-2,E=-4,F(xiàn)=-95.
∴所求圓的方程為x2+y2-2x-4y-95=0
7、.
法二 由A(1,12),B(7,10),
得AB的中點坐標為(4,11),kAB=-,
則AB的垂直平分線方程為3x-y-1=0.
同理得AC的垂直平分線方程為x+y-3=0.
聯(lián)立得
即圓心坐標為(1,2),半徑r==10.
∴所求圓的方程為(x-1)2+(y-2)2=100.
10.設定點M(-3,4),動點N在圓x2+y2=4上運動,以OM,ON為鄰邊作平行四邊形MONP,求點P的軌跡.
解
如圖所示,設P(x,y),N(x0,y0),則線段OP的中點坐標為
,線段MN的中點坐標為.由于平行四邊形的對角線互相平分,
故=,=.
從而
N(x+3,y-
8、4)在圓上,故(x+3)2+(y-4)2=4.
因此所求軌跡為圓:(x+3)2+(y-4)2=4,
但應除去兩點和(點P在直線OM上時的情況).
能力提升題組
(建議用時:25分鐘)
一、選擇題
1.(20xx鷹潭模擬)已知圓C:x2+y2+mx-4=0上存在兩點關于直線x-y+3=0對稱,則實數(shù)m的值為 ( ).
A.8 B.-4
C.6 D.無法確定
解析 圓上存在關于直線x-y+3=0對稱的兩點,則x-y+3=0過圓心,即-+3=0,∴m=6.
答案 C
2.(20xx西安中學模擬)已知拋物線y2=2px(p>0)上一點M(1,m)(m>0)到其焦點F的
9、距離為5,則以M為圓心且與y軸相切的圓的方程為 ( ).
A.(x-1)2+(y-4)2=1
B.(x-1)2+(y+4)2=1
C.(x-1)2+(y-4)2=16
D.(x-1)2+(y+4)2=16
解析 拋物線的焦點為F,準線方程為x=-,所以|MF|=1-=5,解得p=8,即拋物線方程為y2=16x,又m2=16,m>0,所以m=4,即M(1,4),所以半徑為1,所以圓的方程為(x-1)2+(y-4)2=1.
答案 A
二、填空題
3.已知平面區(qū)域恰好被面積最小的圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2及其內部所覆蓋,則圓C的方程為________.
解析 由題意知
10、,此平面區(qū)域表示的是以O(0,0),P(4,0),Q(0,2)所構成的三角形及其內部,所以覆蓋它的且面積最小的圓是其外接圓,又△OPQ為直角三角形,故其圓心為斜邊PQ的中點(2,1),半徑為=,∴圓C的方程為(x-2)2+(y-1)2=5.
答案 (x-2)2+(y-1)2=5
三、解答題
4.已知圓x2+y2+x-6y+m=0和直線x+2y-3=0交于P,Q兩點,且OP⊥OQ(O為坐標原點),求該圓的圓心坐標及半徑.
解 法一 將x=3-2y,
代入方程x2+y2+x-6y+m=0,
得5y2-20y+12+m=0.
設P(x1,y1),Q(x2,y2),
則y1,y2滿足條
11、件:
y1+y2=4,y1y2=.
∵OP⊥OQ,∴x1x2+y1y2=0.
而x1=3-2y1,x2=3-2y2.
∵x1x2=9-6(y1+y2)+4y1y2=.
故+=0,解得m=3,
此時Δ=202-45(12+m)=20(8-m)>0,圓心坐標為,半徑r=.
法二 如圖所示,設弦PQ中點為M,且圓x2+y2+x-6y+m=0的圓心為O1,
設M(x0,y0),P(x1,y1),Q(x2,y2),
由法一知,y1+y2=4,x1+x2=-2,
∴x0==-1,y0==2.
即M的坐標為(-1,2).
則以PQ為直徑的圓可設為(x+1)2+(y-2)2=r.
∵OP⊥OQ,∴點O在以PQ為直徑的圓上.
∴(0+1)2+(0-2)2=r,即r=5,|MQ|2=r.
在Rt△O1MQ中,|O1Q|2=|O1M|2+|MQ|2.
∴=2+(3-2)2+5.
∴m=3,∴圓心坐標為,半徑r=.