【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】高考數(shù)學(xué)北師大版一輪訓(xùn)練：第3篇 第7講 解三角形的實(shí)際應(yīng)用舉例

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1、 高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 第7講　解三角形的實(shí)際應(yīng)用舉例 基礎(chǔ)鞏固題組 (建議用時(shí)：40分鐘) 一、選擇題 1．兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站北偏東40，燈塔B在觀察站南偏東60，則燈塔A在燈塔B的 (　　)． A．北偏東10　　 B．北偏西10 C．南偏東10　　 D．南偏西10 解析　燈塔A，B的相對(duì)位置如圖所示，由已知得∠ACB＝80，∠CAB＝ ∠CBA＝50，則α＝60－50＝10，即北偏西10. 答案　B 2．在某個(gè)位

2、置測(cè)得某山峰仰角為α，對(duì)著山峰在水平地面上前進(jìn)900 m后測(cè)得仰角為2α，繼續(xù)在水平地面上前進(jìn)300 m后，測(cè)得山峰的仰角為4α，則該山峰的高度為 (　　)． A．300 m　　 B．450 m　　 C．300 m　　 D．600 m 解析　如圖所示，易知，在△ADE中，∠DAE＝2α，∠ADE＝180－4α， AD＝300 m，由正弦定理，得 ＝， 解得cos 2α＝， 則sin 2α＝，sin 4α＝， 所以在Rt△ABC中山峰的高度h＝300sin 4α＝300＝450(m)． 答案　B 3．要測(cè)量底部不能到達(dá)的東方明珠電視塔的高度，在黃浦江西岸選擇甲

3、、乙兩觀測(cè)點(diǎn)，在甲、乙兩點(diǎn)測(cè)得塔頂?shù)难鼋欠謩e為45，30，在水平面上測(cè)得電視塔與甲地連線及甲、乙兩地連線所成的角為120，甲、乙兩地相距500 m，則電視塔的高度是 (　　)． A．100 m　　 B．400 m　　 C．200 m　　 D．500 m 解析　由題意畫(huà)出示意圖，設(shè)塔高AB＝h m，在Rt△ABC中，由已知得BC＝h m，在Rt△ABD中，由已知得BD＝h m，在△BCD中，由余弦定理BD2＝BC2＋CD2－2BCCDcos∠BCD，得3h2＝h2＋5002＋h500，解得h＝500(m)． 答案　D 4．(20xx白鷺洲中學(xué)模擬)如圖所示，長(zhǎng)為3.5 m

4、的木棒AB斜靠在石堤旁，木棒的一端A在離堤足C處1.4 m的地面上，另一端B在離堤足C處2.8 m的石堤上，石堤的傾斜角為α，則坡度值tan α等于 (　　)． A.　　 B．　　 C.　　 D． 解析　由題意，可得在△ABC中，AB＝3.5 m，AC＝1.4 m，BC＝2.8 m，且∠α＋∠ACB＝π. 由余弦定理，可得AB2＝AC2＋BC2－2ACBCcos∠ACB，即3.52＝1.42＋2.82－21.42.8cos(π－α)，解得cos α＝，所以sin α＝，所以 tan α＝＝. 答案　A 5．(20xx長(zhǎng)安一中模擬)如圖，兩座相距60 m的建筑物AB，C

5、D的高度分別為20 m，50 m，BD為水平面，則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角為 (　　)． A．30　　 B．45　　 C．60　　 D．75 解析　依題意可得AD＝20 m，AC＝30 m，又CD＝50 m，所以在 △ACD中，由余弦定理，得cos∠CAD＝＝＝＝，又0<∠CAD<180，所以∠CAD＝45，所以從頂端A看建筑物CD的張角為45. 答案　B 二、填空題 6．在相距2千米的A，B兩點(diǎn)處測(cè)量目標(biāo)點(diǎn)C，若∠CAB＝75，∠C

6、BA＝60，則A，C兩點(diǎn)之間的距離為_(kāi)_______千米． 解析　由已知條件∠CAB＝75，∠CBA＝60，得∠ACB＝45.結(jié)合正弦定理，得＝，即＝，解得AC＝(千米)． 答案　 7．(20xx杭州一中測(cè)試)如圖，一艘船上午9：30在A處測(cè)得燈塔S在它的北偏東30處，之后它繼續(xù)沿正北方向勻速航行，上午10：00到達(dá)B處，此時(shí)又測(cè)得燈塔S在它的北偏東75處，且與它相距8 n mile.此船的航速是________ n mile/h. 解析　設(shè)航速為v n mile/h， 在△ABS中，AB＝v，BS＝8 n mile，∠BSA＝45，由正弦定理，得＝，∴v＝32 n

7、mile/h. 答案　32 8．某登山隊(duì)在山腳A處測(cè)得山頂B的仰角為45，沿傾斜角為30的斜坡前進(jìn) 1 000 m后到達(dá)D處，又測(cè)得山頂?shù)难鼋菫?0，則山的高度BC為_(kāi)_______m. 解析　過(guò)點(diǎn)D作DE∥AC交BC于E，因?yàn)椤螪AC＝30，故∠ADE＝150.于是∠ADB＝360－150－60＝150.又∠BAD＝45－30＝15， 故∠ABD＝15，由正弦定理得AB＝ ＝＝500(＋)(m)． 所以在Rt△ABC中，BC＝ABsin 45＝500(＋1)(m)． 答案　500(＋1) 三、解答題 9.如圖所示，測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB時(shí)，可以選與塔底B在同一水平面

8、內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)C與D，現(xiàn)測(cè)得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在點(diǎn)C測(cè)得塔頂A的仰角為θ，求塔高AB． 解　在△BCD中，∠CBD＝π－α－β， 由正弦定理得＝， 所以BC＝＝， 在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝. 10.(20xx石家莊模擬)已知島A南偏西38方向，距島A 3海里的B處有一艘緝私艇．島A處的一艘走私船正以10海里/時(shí)的速度向島北偏西22方向行駛，問(wèn)緝私艇朝何方向以多大速度行駛，恰好用0.5小時(shí)能截住該走私船？ 解　如圖，設(shè)緝私艇在C處截住走私船，D為島A正南方向上一點(diǎn)，緝私艇的速度為每小時(shí)x海里，則BC＝0.5 x，AC＝5海里

9、，依題意，∠BAC＝180－38－22＝120， 由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2ABACcos 120， 所以BC2＝49，BC＝0.5 x＝7，解得x＝14. 又由正弦定理得sin∠ABC＝＝＝， 所以∠ABC＝38，又∠BAD＝38，所以BC∥AD， 故緝私艇以每小時(shí)14海里的速度向正北方向行駛，恰好用0.5小時(shí)截住該走私船． 能力提升題組 (建議用時(shí)：25分鐘) 一、選擇題 1．一個(gè)大型噴水池的中央有一個(gè)強(qiáng)力噴水柱，為了測(cè)量噴水柱噴出的水柱的高度，某人在噴水柱正西方向的點(diǎn)A測(cè)得水柱頂端的仰角為45，沿點(diǎn)A向北偏東30前進(jìn)100 m到達(dá)點(diǎn)B，在B點(diǎn)測(cè)得水柱頂

10、端的仰角為30，則水柱的高度是 (　　)． A．50 m　　 B．100 m　　 C．120 m　　 D．150 m 解析　設(shè)水柱高度是h m，水柱底端為C，則在△ABC中，A＝60，AC＝h，AB＝100，BC＝h，根據(jù)余弦定理得，(h)2＝h2＋1002－2h100cos 60，即h2＋50h－5 000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50 m. 答案　A 2.如圖，在湖面上高為10 m處測(cè)得天空中一朵云的仰角為30，測(cè)得湖中之影的俯角為45，

11、則云距湖面的高度為(精確到0.1 m) (　　)． A．2.7 m　　 B．17.3 m　　 C．37.3 m　　 D．373 m 解析　在△ACE中， tan 30＝＝.∴AE＝(m)． 在△AED中，tan 45＝＝， ∴AE＝(m)，∴＝， ∴CM＝＝10(2＋)≈37.3(m)． 答案　C 二、填空題 3．如圖所示，福建省福清石竹山原有一條筆直的山路BC，現(xiàn)在又新架設(shè)了一條索道A C.小明在山腳B處看索道AC，此時(shí)張角∠ABC＝120；從B處攀登200米到達(dá)D處，回頭看索道AC，此時(shí)張角∠ADC＝150；從D處再攀登300米

12、到達(dá)C處．則石竹山這條索道AC長(zhǎng)為_(kāi)_______米． 解析　在△ABD中，BD＝200米，∠ABD＝120. 因?yàn)椤螦DB＝30，所以∠DAB＝30. 由正弦定理，得＝， 所以＝. 所以AD＝＝200(米)． 在△ADC中，DC＝300米，∠ADC＝150， 所以AC2＝AD2＋DC2－2ADDCcos∠ADC＝(200)2＋3002－2200300cos 150＝390 000，所以AC＝100(米)．故石竹山這條索道AC長(zhǎng)為100 米． 答案　100 三、解答題 4．(20xx武漢二模)如圖所示，一輛汽車從O點(diǎn)出發(fā)沿一條直線公路以50千米/時(shí)的速度勻速行駛(圖中的

13、箭頭方向?yàn)槠囆旭偡较?，汽車開(kāi)動(dòng)的同時(shí)，在距汽車出發(fā)點(diǎn)O點(diǎn)的距離為5千米、距離公路線的垂直距離為3千米的M點(diǎn)的地方有一個(gè)人騎摩托車出發(fā)想把一件東西送給汽車司機(jī)．問(wèn)騎摩托車的人至少以多大的速度勻速行駛才能實(shí)現(xiàn)他的愿望，此時(shí)他駕駛摩托車行駛了多少千米？ 解　作MI垂直公路所在直線于點(diǎn)I，則MI＝3千米， ∵OM＝5千米，∴OI＝4千米，∴cos∠MOI＝.設(shè)騎摩托車的人的速度為v千米/時(shí)，追上汽車的時(shí)間為t小時(shí)． 由余弦定理，得(vt)2＝52＋(50t)2－2550t， 即v2＝－＋2 500＝252＋900≥900， ∴當(dāng)t＝時(shí)，v取得最小值為30， ∴其行駛距離為vt＝＝千米． 故騎摩托車的人至少以30千米/時(shí)的速度行駛才能實(shí)現(xiàn)他的愿望，此時(shí)他駕駛摩托車行駛了千米．