《一輪優(yōu)化探究理數(shù)蘇教版練習:第十章 第五節(jié) 數(shù)學歸納法 Word版含解析》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《一輪優(yōu)化探究理數(shù)蘇教版練習:第十章 第五節(jié) 數(shù)學歸納法 Word版含解析(3頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、
高考數(shù)學精品復習資料
2019.5
1.應用數(shù)學歸納法證明凸n邊形的對角線條數(shù)f(n)=n(n-3)(n≥3).
證明:①當n=3時,三角形沒有對角線,f(3)=0,
又f(3)=×3×(3-3)=0,命題成立.
②假設當n=k(k≥3)時命題成立,即凸k邊形A1A2…Ak有f(k)=k(k-3)條對角線,再加一個頂點Ak+1,構(gòu)成凸k+1邊形,則增加了k-2條對角線,又原來的邊A1Ak變成了對角線,故對角線增加了k-1條,即凸k+1邊形有f(k+1)=k(k-3)+k-1=(k2-3k+2k-
2、2)=(k2-k-2)=(k+1)[(k+1)-3]條對角線,可知當n=k+1時,命題成立,綜合①②可知命題對于n≥3的自然數(shù)n都成立.
2.是否存在一個等差數(shù)列{an},使得對任何正整數(shù)n,等式a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)都成立,并證明你的結(jié)論.
解析:將n=1,2,3分別代入等式得方程組:
解得a1=6,a2=9,a3=12,
設等差數(shù)列{an}的公差為d,
則d=3,從而an=3n+3.
故存在一個等差數(shù)列an=3n+3,
使得當n=1,2,3時,等式成立.
下面用數(shù)學歸納法證明結(jié)論成立.
①當n=1時,結(jié)論顯然成立.
②假設n=k(k
3、≥1,且k∈N*)時,等式成立,
即a1+2a2+3a3+…+kak=k(k+1)(k+2).
那么當n=k+1時,
a1+2a2+3a3+…+kak+(k+1)ak+1
=k(k+1)(k+2)+(k+1)[3(k+1)+3]
=(k+1)(k2+2k+3k+6)
=(k+1)(k+2)(k+3)
=(k+1)[(k+1)+1][(k+1)+2].
∴當n=k+1時,結(jié)論也成立.
由①②知存在一個等差數(shù)列an=3n+3,使得對任何正整數(shù)n,等式a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)都成立.
3.已知數(shù)列{an},an≥0,a1=0,a+an+1-1=a.
4、
求證:當n∈N*時,an<an+1.
證明:(1)當n=1時,因為a2是方程x2+x-1=0的正根,所以a1<a2.
(2)假設當n=k(k∈N*,k≥1)時,0≤ak<ak+1,
因為a-a=(a+ak+2-1)-(a+ak+1-1)
=(ak+2-ak+1)(ak+2+ak+1+1)>0,
所以ak+1<ak+2,
即當n=k+1時,an<an+1也成立.
根據(jù)(1)和(2),可知an<an+1對任意n∈N*都成立.
4.已知a>0,b>0,n>1,n∈N*.用數(shù)學歸納法證明:≥()n.
證明:(1)當n=2時,左邊-右邊=-()2=()2≥0,不等式成立.
(2)假設當n=k(k∈N*,k>1)時,不等式成立,即≥()k.
因為a>0,b>0,k>1,k∈N*,
所以(ak+1+bk+1)-(akb+abk)=(a-b)·(ak-bk)≥0,
于是ak+1+bk+1≥akb+abk.
當n=k+1時,()k+1=()k·≤·=
≤=,
即當n=k+1時,不等式也成立.
綜合(1),(2)知,對于a>0,b>0,n>1, n∈N*,不等式≥()n總成立.