一輪優(yōu)化探究理數(shù)蘇教版練習：第三章 第一節(jié)　導數(shù)的概念及其運算 Word版含解析

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1、 高考數(shù)學精品復習資料 2019.5 一、填空題 1．已知曲線y＝上一點A(1,1)，則該曲線在點A處的切線方程為________． 解析：y′＝()′＝－，故曲線在點A(1,1)處的切線的斜率為－1，故所求的切線方程為y－1＝－(x－1)，即為x＋y－2＝0. 答案：x＋y－2＝0 2．已知f(x)＝x2＋3xf′(2)，則f′(2)＝________. 解析：由題意得f′(x)＝2x＋3f′(2)， ∴f′(2)＝22＋3f′(2)， ∴f′(2)＝－2. 答案：－2 3．若曲線f(x)＝x4－x在點

2、P處的切線平行于直線3x－y＝0，則點P的坐標為________． 解析：設(shè)P(x0，y0)，∵f′(x)＝4x3－1， ∴f′(x0)＝4x－1，由題意知4x－1＝3， ∴x0＝1，則y0＝0.即P(1,0)． 答案：(1,0) 4．點P是曲線x2－y－2ln ＝0上任意一點，則點P到直線y＝x－2的最短距離為________． 解析：y＝x2－2ln＝x2－ln x，y′＝2x－， 令y′＝1，即2x－＝1，解得x＝1或x＝－(舍去)，故過點(1,1)且斜率為1的切線為：y＝x，其到直線y＝x－2的距離即為所求． 答案： 5．已知函數(shù)f(x)＝f′()cos x＋sin

3、x，則f()的值為________． 解析：因為f′(x)＝－f′()sin x＋cos x，所以f′()＝－f′()sin＋cos ?f′()＝－1， 故f()＝f′()cos ＋sin ?f()＝1. 答案：1 6．設(shè)直線y＝－3x＋b是曲線y＝x3－3x2的一條切線，則實數(shù)b的值是________． 解析：求導可得y′＝3x2－6x，由于直線y＝－3x＋b是曲線y＝x3－3x2的一條切線，所以3x2－6x＝－3，解得x＝1，所以切點為(1，－2)，同時該切點也在直線y＝－3x＋b上，所以代入直線方程可得b＝1. 答案：1 7．等比數(shù)列{an}中，a1＝2，a8＝4，函數(shù)f(

4、x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，則f′(0)＝________. 解析：f′(x)＝x′[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]＋[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]′x ＝(x－a1)(x－a2)…(x－a8)＋[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]′x 所以f′(0)＝(0－a1)(0－a2)…(0－a8)＋[(0－a1)(0－a2)…(0－a8)]′0＝a1a2…a8. 因為數(shù)列{an}為等比數(shù)列，所以a2a7＝a3a6＝a4a5＝a1a8＝8，所以f′(0)＝84＝212. 答案：212 8．設(shè)函數(shù)f(x)＝x3＋x2＋tan θ，其中θ∈[0，

5、]，則導數(shù)f′(1)的取值范圍是________． 解析：f′(1)＝(sin θx2＋cos θx)|x＝1 ＝sin θ＋cos θ＝2sin(θ＋)． ∵θ∈[0，]， ∴θ＋∈[，]， ∴sin(θ＋)∈[，1]， ∴f′(1)∈[，2]． 答案：[，2] 9．如圖中，有一個是函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，a≠0)的導函數(shù)f′(x)的圖象，則f(－1)＝________. 解析：∵ f′(x)＝x2＋2ax＋(a2－1)， ∴導函數(shù)f′(x)的圖象開口向上． 又∵a≠0，∴其圖象必為第(3)個圖． 由圖象特征知f′(0)＝0，且－a

6、>0，∴a＝－1. 故f(－1)＝－－1＋1＝－. 答案：－ 二、解答題 10．求下列函數(shù)的導數(shù)． (1)y＝(2x2＋3)(3x－1)； (2)y＝(－2)2； (3)y＝x－sin cos . 解析：(1)y′＝(2x2＋3)′(3x－1)＋(2x2＋3)(3x－1)′＝4x(3x－1)＋3(2x2＋3)＝18x2－4x＋9. (2)∵y＝(－2)2＝x－4＋4， (3)∵y＝x－sin cos ＝x－sin x， ∴y′＝x′－(sin x)′＝1－cos x. 11．設(shè)函數(shù)f(x)＝ax＋(a，b∈Z)，曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處的切線方程為y＝

7、3. (1)求y＝f(x)的解析式； (2)證明曲線y＝f(x)上任一點處的切線與直線x＝1和直線y＝x所圍三角形的面積為定值，并求出此定值． 解析：(1)f′(x)＝a－， 于是， 解得或. 由a，b∈Z，故f(x)＝x＋. (2)在曲線上任取一點(x0，x0＋)． 由f′(x0)＝1－知，過此點的切線方程為y－＝[1－](x－x0)． 令x＝1得y＝，切線與直線x＝1的交點為(1，)． 令y＝x得y＝2x0－1，切線與直線y＝x的交點為(2x0－1,2x0－1)． 直線x＝1與直線y＝x的交點為(1,1)． 從而所圍三角形的面積為|－1||2x0－1－1|＝|||2

8、x0－2|＝2. 所以所圍三角形的面積為定值2. 12．設(shè)函數(shù)f(x)＝x2－aln x與g(x)＝x－的圖象分別交直線x＝1于點A，B，且曲線y＝f(x)在點A處的切線與曲線y＝g(x)在點B處的切線斜率相等． (1)求函數(shù)f(x)，g(x)的解析式； (2)當a>1時，求函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)的最小值； (3)當a<1時，不等式f(x)≥mg(x)在x∈[，]上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍． 解析：(1)由f(x)＝x2－aln x， 得f′(x)＝. 由g(x)＝x－， 得g′(x)＝. 又由題意可得f′(1)＝g′(1)， 即2－a＝， 故a＝2或a＝.

9、 所以當a＝2時，f(x)＝x2－2ln x， g(x)＝x－； 當a＝時，f(x)＝x2－ln x， g(x)＝2x－. (2)當a>1時， h(x)＝f(x)－g(x) ＝x2－2ln x－x＋， 所以h′(x)＝2x－－＋ ＝－ ＝(－1)[]． 由x>0，得>0. 故當x∈(0,1)時，h′(x)<0，h(x)單調(diào)遞減； 當x∈(1，＋∞)時，h′(x)>0，h(x)單調(diào)遞增， 所以函數(shù)h(x)的最小值為 h(1)＝1－2ln 1－＋1＝. (3)當a＝時，f(x)＝x2－ln x， g(x)＝2x－. 當x∈[，]時， f′(x)＝2x－＝<0， f(x)在[，]上為減函數(shù)， f(x)≥f()＝＋ln 2>0. 當x∈[，]時，g′(x)＝2－＝>0，g(x)在[，]上為增函數(shù)， g(x)≤g()＝1－， 且g(x)≥g()＝0. 要使不等式f(x)≥mg(x)在x∈[，]上恒成立， 當x＝時，m為任意實數(shù)；當x∈(，]時，m≤. 而[]min＝＝ln(4e)， 所以m≤ln(4e)． 實數(shù)m的取值范圍為(－∞，ln 4e)