【創(chuàng)新設計】高考數學北師大版一輪訓練：選修45 第2講 不等式的證明

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1、 高考數學精品復習資料 2019.5 第2講　不等式的證明 基礎鞏固題組 (建議用時：40分鐘) 一、填空題 1．(20xx江蘇卷改編)已知a≥b＞0，M＝2a3－b3，N＝2ab2－a2b，則M、N的大 小關系為________． 解析　2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2) ＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)． 因為a≥b＞0，所以a－b≥0，a＋b＞0,2a＋b＞0， 從而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，故2a3－b3≥2ab2－a2b

2、. 答案　M≥N 2．已知x＋y＝1，那么2x2＋3y2的最小值是________． 解析　由柯西不等式(2x2＋3y2) ≥2＝(x＋y)2＝1， ∴2x2＋3y2≥，當且僅當2x＝3y，即x＝，y＝時，等號成立． 答案　 3．若直線3x＋4y＝2，則x2＋y2的最小值為________，最小值點為________． 解析　由柯西不等式(x2＋y2)(32＋42)≥(3x＋4y)2， 得25(x2＋y2)≥4，所以x2＋y2≥. 當且僅當＝時等號成立，為求最小值點， 需解方程組∴ 因此，當x＝，y＝時，x2＋y2取得最小值，最小值為，最小值點為. 答案　　 4．若

3、a，b均為正實數，且a≠b，M＝＋，N＝＋，則M、N的大小 關系為________． 解析　∵a≠b，∴＋＞2，＋＞2， ∴＋＋＋＞2＋2， ∴＋＞＋.即M＞N. 答案　M ＞N 5．設a、b、c是正實數，且a＋b＋c＝9，則＋＋的最小值為________． 解析　∵(a＋b＋c) ＝[()2＋()2＋()2] ≥2＝18. ∴＋＋≥2.∴＋＋的最小值為2. 答案　2 6．已知a，b，c為正實數，且a＋2b＋3c＝9，則＋＋的最大值為________． 解析?。?＋＋ ≤＝，故最大值為. 答案　 7．(20xx陜西卷)已知a，b，m，n均為正數，且a＋b＝1

4、，mn＝2，則(am＋bn)(bm＋an)的最小值為________． 解析　由柯西不等式(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，當且僅當ad＝bc時“＝”成立，得(am＋bn)(bm＋an)≥(＋)2＝mn(a＋b)2＝2. 答案　2 8．已知x2＋2y2＋3z2＝，則3x＋2y＋z的最小值為________． 解析　∵(x2＋2y2＋3z2) ≥(3x＋y＋z)2＝(3x＋2y＋z)2， 當且僅當x＝3y＝9z時，等號成立． ∴(3x＋2y＋z)2≤12，即－2≤3x＋2y＋z≤2. 當x＝－，y＝－，z＝－時， 3x＋2y＋z＝－2，∴最小值為－2. 答案　－

5、2 9．已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，則＋＋的最大值為________． 解析　法一　利用基本不等式 (＋＋)2＝(3a＋1)＋(3b＋1)＋(3c＋1)＋2＋2＋2≤(3a＋1)＋(3b＋1)＋(3c＋1)＋[(3a＋1)＋(3b＋1)]＋[(3b＋1)＋(3c＋1)]＋[(3a＋1)＋(3c＋1)] ＝3[(3a＋1)＋(3b＋1)＋(3c＋1)]＝18， ∴＋＋≤3， ∴(＋＋)max＝3. 法二　利用柯西不等式 ∵(12＋12＋12)[()2＋()2＋()2]≥(1＋1＋1)2 ∴(＋＋)2≤3[3(a＋b＋c)＋3]． 又∵a＋b＋c＝1，∴(＋＋)2≤

6、18， ∴＋＋≤3. 當且僅當＝＝時，等號成立． ∴(＋＋)max＝3. 答案　3 二、解答題 10．設a，b，c為正數，且a＋b＋c＝1，求證：＋＋≥9. 證明　法一　∵a，b，c均為正數，∴1＝a＋b＋c≥ 3.又＋＋≥3＝， ∴1≥33＝9. 即＋＋≥9. 法二　構造兩組數：， ， ；，，. 因此根據柯西不等式有 [()2＋()2＋()2] ≥2. 即(a＋b＋c)≥32＝9. (當且僅當＝＝，即a＝b＝c時取等號) 又a＋b＋c＝1，所以＋＋≥9. 11．設不等式|2x－1|＜1的解集為M. (1)求集合M； (2)若a，b∈M，試比較ab＋1與

7、a＋b的大?。? 解　(1)由|2x－1|＜1得－1＜2x－1＜1， 解得0＜x＜1. 所以M＝{x|0＜x＜1}． (2)由(1)和a，b∈M可知0＜a＜1,0＜b＜1， 所以(ab＋1)－(a＋b)＝(a－1)(b－1)＞0. 故ab＋1＞a＋b. 12．(20xx福建卷)已知函數f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集 為[－1,1]． (1)求m的值； (2)若a，b，c大于0，且＋＋＝m，求證：a＋2b＋3c≥9. (1)解　∵f(x＋2)＝m－|x|， ∴f(x＋2)≥0等價于|x|≤m. 由|x|≤m有解，得m≥0且其解集為{x|－m≤x≤m}． 又f(x＋2)≥0的解集為[－1,1]，故m＝1. (2)證明　由(1)知＋＋＝1，且a，b，c大于0， a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c) ＝3＋＋＋ ≥3＋2＋2＋2＝9. 當且僅當a＝2b＝3c＝時，等號成立．因此a＋2b＋3c≥9.