文科數(shù)學(xué)北師大版練習(xí):第二章 第八節(jié) 函數(shù)與方程及應(yīng)用 Word版含解析
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1、 高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 課時作業(yè) A組——基礎(chǔ)對點(diǎn)練 1.(20xx烏魯木齊模擬)函數(shù)f(x)=ex+2x-3的零點(diǎn)所在的一個區(qū)間是( ) A.(-,0) B.(0,) C.(,1) D.(1,) 解析:因?yàn)閒()=e-2<0,f(1)=e-1>0,所以零點(diǎn)在區(qū)間(,1)上. 答案:C 2.函數(shù)f(x)=2x6-x4-1的零點(diǎn)個數(shù)是( ) A.4 B.2 C.1 D.0 解析:函數(shù)f(x)=2x6-x4-1的零點(diǎn)個數(shù),就是方程2x6-x4-1=0的實(shí)根的個數(shù),變形為
2、2x6=x4+1,顯然x=0不是方程的根;當(dāng)x≠0時,等價于2x2=1+,令g(x)=2x2,h(x)=1+,作出函數(shù)g(x)和h(x)的圖像如圖所示,數(shù)形結(jié)合知函數(shù)g(x)和h(x)的圖像有2個交點(diǎn),即函數(shù)f(x)有2個零點(diǎn). 答案:B 3.已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x≥0時,f(x)=x2-3x.則函數(shù)g(x)=f(x)-x+3的零點(diǎn)的集合為( ) A.{1,3} B.{-3,-1,1,3} C.{2-,1,3} D.{-2-,1,3} 解析:當(dāng)x≥0時,f(x)=x2-3x, 令g(x)=x2-3x-x+3=0, 得x1=3,x2=1. 當(dāng)x<0時,-x>
3、0,∴f(-x)=(-x)2-3(-x), ∴-f(x)=x2+3x,∴f(x)=-x2-3x. 令g(x)=-x2-3x-x+3=0, 得x3=-2-, x4=-2+>0(舍), ∴函數(shù)g(x)=f(x)-x+3的零點(diǎn)的集合是{-2-,1,3},故選D. 答案:D 4.(20xx云南省檢測)已知a,b,c,d都是常數(shù),a>b,c>d.若f(x)=2 017-(x-a)(x-b)的零點(diǎn)為c,d,則下列不等式正確的是( ) A.a(chǎn)>c>b>d B.a(chǎn)>b>c>d C.c>d>a>b D.c>a>b>d 解析:f(x)=2 017-(x-a)(x-b)=-x2+(a+b)
4、x-ab+2 017,又f(a)=f(b)=2 017,c,d為函數(shù)f(x)的零點(diǎn),且a>b,c>d,所以可在平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)f(x)的大致圖像,如圖所示,由圖可知c>a>b>d,故選D. 答案:D 5.(20xx德州模擬)已知函數(shù)y=f(x)是周期為2的周期函數(shù),且當(dāng)x∈[-1,1]時,f(x)=2|x|-1,則函數(shù)F(x)=f(x)-|lg x|的零點(diǎn)個數(shù)是( ) A.9 B.10 C.11 D.18 解析:由F(x)=0得f(x)=|lg x|分別作f(x)與y=|lg x|的圖像,如圖, 所以有10個零點(diǎn),故選B. 答案:B 6.已知函數(shù)f(x)=
5、(a∈R),若函數(shù)f(x)在R上有兩個零點(diǎn),則a的取值范圍是( ) A.(-∞,-1) B.(-∞,0) C.(-1,0) D.[-1,0) 解析:當(dāng)x>0時,f(x)=3x-1有一個零點(diǎn)x=,所以只需要當(dāng)x≤0時,ex+a=0有一個根即可,即ex=-a.當(dāng)x≤0時,ex∈(0,1],所以-a∈(0,1],即a∈[-1,0),故選D. 答案:D 7.(20xx長沙市模擬)對于滿足0<b≤3a的任意實(shí)數(shù)a,b,函數(shù)f(x)=ax2+bx+c總有兩個不同的零點(diǎn),則的取值范圍是( ) A.(1,] B.(1,2] C.[1,+∞) D.(2,+∞) 解析:依題意對方程ax
6、2+bx+c=0,有Δ=b2-4ac>0,于是c<,從而>=1+-()2,對滿足0<b≤3a的任意實(shí)數(shù)a,b恒成立.令t=,因?yàn)?<b≤3a,所以0<t≤3.因此-t2+t+1∈(1,2],故>2.選D. 答案:D 8.已知函數(shù)f(x)=若方程f(x)-a=0有三個不同的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為( ) A.(1,3) B.(0,3) C.(0,2) D.(0,1) 解析:畫出函數(shù)f(x)的圖像如圖所示, 觀察圖像可知,若方程f(x)-a=0有三個不同的實(shí)數(shù)根,則函數(shù)y=f(x)的圖像與直線y=a有3個不同的交點(diǎn),此時需滿足0<a<1,故選D. 答案:D 9.(20
7、xx汕頭模擬)設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為2的函數(shù),且對任意的實(shí)數(shù)x,恒有f(x)-f(-x)=0,當(dāng)x∈[-1,0]時,f(x)=x2,若g(x)=f(x)-logax在x∈(0,+∞)上有三個零點(diǎn),則a的取值范圍為( ) A.[3,5] B.[4,6] C.(3,5) D.(4,6) 解析:∵f(x)-f(-x)=0,∴f(x)=f(-x),∴f(x)是偶函數(shù),根據(jù)函數(shù)的周期性和奇偶性作出函數(shù)f(x)的圖像如圖所示: ∵g(x)=f(x)-logax在(0,+∞)上有三個零點(diǎn), ∴y=f(x)和y=logax的圖像在(0,+∞)上有三個交點(diǎn), 作出函數(shù)y=log
8、ax的圖像,如圖, ∴,解得3<a<5.故選C. 答案:C 10.(20xx湖北七校聯(lián)考)已知f(x)是奇函數(shù)且是R上的單調(diào)函數(shù),若函數(shù)y=f(2x2+1)+f(λ-x)只有一個零點(diǎn),則實(shí)數(shù)λ的值是( ) A. B. C.- D.- 解析:令y=f(2x2+1)+f(λ-x)=0,則f(2x2+1)=-f(λ-x)=f(x-λ),因?yàn)閒(x)是R上的單調(diào)函數(shù),所以2x2+1=x-λ只有一個根,即2x2-x+1+λ=0只有一個根,則Δ=1-8(1+λ)=0,解得λ=-.故選C. 答案:C 11.已知定義在R上的奇函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=1對稱,當(dāng)-1≤x<0時,f
9、(x)=-log(-x),則方程f(x)-=0在(0,6)內(nèi)的所有根之和為( ) A.8 B.10 C.12 D.16 解析:∵奇函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=1對稱,∴f(x)=f(2-x)=-f(-x),即f(x)=-f(x+2)=f(x+4),∴f(x)是周期函數(shù),其周期T=4.又當(dāng)x∈[-1,0)時,f(x)=-log(-x),故f(x)在(0,6)上的函數(shù)圖像如圖所示. 由圖可知方程f(x)-=0在(0,6)內(nèi)的根共有4個,其和為x1+x2+x3+x4=2+10=12,故選C. 答案:C 12.已知函數(shù)f(x)=e|x|+|x|.若關(guān)于x的方程f(x)=k有兩個
10、不同的實(shí)根,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________. 解析:易知函數(shù)f(x)=e|x|+|x|為偶函數(shù),故只需求函數(shù)f(x)在(0,+∞)上的圖像與直線y=k有唯一交點(diǎn)時k的取值范圍.當(dāng)x∈(0,+∞)時,f(x)=ex+x,此時f′(x)=ex+1>0,所以函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,從而當(dāng)x>0時,f(x)=ex+x>f(0)=1,所以要使函數(shù)f(x)在(0,+∞)上的圖像與直線y=k有唯一交點(diǎn),只需k>1,故所求實(shí)數(shù)k的取值范圍是(1,+∞). 答案:(1,+∞) 13.已知函數(shù)f(x)=若關(guān)于x的方程f(x)=k有兩個不等的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________.
11、 解析:作出函數(shù)y=f(x)與y=k的圖像,如圖所示: 由圖可知k∈(0,1]. 答案:(0,1] 14.函數(shù)f(x)=的零點(diǎn)個數(shù)是________. 解析:當(dāng)x>0時,令ln x-x2+2x=0, 得ln x=x2-2x, 作y=ln x和y=x2-2x圖像, 顯然有兩個交點(diǎn). 當(dāng)x≤0時,令4x+1=0, ∴x=-. 綜上共有3個零點(diǎn). 答案:3 15.已知函數(shù)f(x)=|x-a|-+a,a∈R,若方程f(x)=1有且只有三個不同的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________. 解析:令g(x)=|x-a|+a,h(x)=+1,作出函數(shù)h(x)=+1的圖像
12、,易知直線y=x與函數(shù)h(x)=+1的圖像的兩交點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,-1)和(2,2),又函數(shù)g(x)=|x-a|+a的圖像是由函數(shù)y=|x|的圖像的頂點(diǎn)在直線y=x上移動得到的,且當(dāng)函數(shù)h(x)=+1的圖像和g(x)=|x-a|+a的圖像相切時,切點(diǎn)為(,1+),(-,1-),切線方程為y=-x+2+1或y=-x-2+1,又兩切線與y=x的交點(diǎn)分別為(,),(,),故a=,結(jié)合圖像可知a的取值范圍是(-∞,)∪(,2). 答案:(-∞,)∪(,2) B組——能力提升練 1.已知符號函數(shù)sgn(x)=設(shè)函數(shù)f(x)=f1(x)+f2(x),其中f1(x)=x2+1,f2(x)=-2x+4.若
13、關(guān)于x的方程[f(x)]2-3f(x)+m=0恒好有6個根,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( ) A.(-∞,) B.(-∞,] C.[2,] D.(2,) 解析:①若x>1,則f(x)=f1(x)+f2(x)=-2x+4.②若x=1,則f(x)=f1(x)+f2(x)==2.③若x<1,則f(x)=f1(x)+f2(x)=x2+1. 綜上,f(x)=作出其圖像如圖所示.若要使方程[f(x)]2-3f(x)+m=0恒好有6個根,令t=f(x),則關(guān)于t的方程t2-3t+m=0需有兩個不相等的實(shí)數(shù)根,故Δ=9-4m>0,得m<.數(shù)形結(jié)合知1<f(x)<2,所以函數(shù)g(t)=t2-3t+m在(
14、1,2)上有兩個不同的零點(diǎn),又函數(shù)g(t)圖像的對稱軸為t=∈(1,2),所以需即得2<m<,故選D. 答案:D 2.(20xx湘中名校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=-x3+ax2+bx+c有兩個極值點(diǎn)x1,x2,若x1<f(x1)<x2,則關(guān)于x方程[f(x)]2-2af(x)-b=0的實(shí)數(shù)根的個數(shù)不可能為( ) A.2 B.3 C.4 D.5 解析:由題意,得f′(x)=-x2+2ax+b.因?yàn)閤1,x2是函數(shù)f(x)的兩個極值點(diǎn),所以x1,x2是方程-x2+2ax+b=0的兩個實(shí)數(shù)根,所以由[f(x)]2-2af(x)-b=0,可得f(x)=x1或f(x)=x2.由題意,知
15、函數(shù)f(x)在(-∞,x1),(x2,+∞)上單調(diào)遞減,在(x1,x2)上單調(diào)遞增,又x1<f(x1)<x2,依題意作出簡圖,如圖所示,結(jié)合圖形可知,方程[f(x)]2-2af(x)-b=0的實(shí)根個數(shù)不可能為5,故選D. 答案:D 3.(20xx合肥市質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)=.方程[f(x)]2-af(x)+b=0(b≠0)有6個不同的實(shí)數(shù)解,則3a+b的取值范圍是( ) A.[6,11] B.[3,11] C.(6,11) D.(3,11) 解析:首先作出函數(shù)f(x)的圖像(如圖),對于方程[f(x)]2-af(x)+b=0,可令f(x)=t,那么方程根的個數(shù)就是f(x)
16、=t1與f(x)=t2的根的個數(shù)之和,結(jié)合圖像可知,要使總共有6個根,需要一個方程有4個根,另一個方程有2個根,從而可知關(guān)于t的方程t2-at+b=0有2個根,分別位于區(qū)間(0,1)與(1,2)內(nèi),進(jìn)一步由根的分布得出約束條件,畫出可行域(圖略),計(jì)算出目標(biāo)函數(shù)z=3a+b的取值范圍為(3,11). 答案:D 4.(20xx洛陽統(tǒng)考)已知x1,x2是函數(shù)f(x)=e-x-|ln x|的兩個零點(diǎn),則( ) A.<x1x2<1 B.1<x1x2<e C.1<x1x2<10 D.e<x1x2<10 解析:在同一直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=e-x與y=|ln x|的圖像(圖略),結(jié)合圖
17、像不難看出,在x1,x2中,其中一個屬于區(qū)間(0,1),另一個屬于區(qū)間(1,+∞).不妨設(shè)x1∈(0,1),x2∈(1,+∞),則有e-x1=|ln x1|=-ln x1∈(e-1,1),e-x2=|ln x2|=ln x2∈(0,e-1),e-x2-e-x1=ln x2+ln x1=ln(x1x2)∈(-1,0),于是有e-1<x1x2<e0,即<x1x2<1,故選A. 答案:A 5.設(shè)函數(shù)f(x)=ex+x-2,g(x)=ln x+x2-3.若實(shí)數(shù)a,b滿足f(a)=0,g(b)=0,則( ) A.g(a)<0<f(b) B.f(b)<0<g(a) C.0<g(a)<f(b)
18、 D.f(b)<g(a)<0 解析:∵f(x)=ex+x-2, ∴f′(x)=ex+1>0, 則f(x)在R上為增函數(shù), 且f(0)=e0-2<0,f(1)=e-1>0, 又f(a)=0,∴0<a<1. ∵g(x)=ln x+x2-3, ∴g′(x)=+2x. 當(dāng)x∈(0,+∞)時,g′(x)>0, 得g(x)在(0,+∞)上為增函數(shù), 又g(1)=ln 1-2=-2<0, g(2)=ln 2+1>0,且g(b)=0, ∴1<b<2,即a<b, ∴故選A. 答案:A 6.對于函數(shù)f(x)和g(x),設(shè)α∈{x|f(x)=0},β∈{x|g(x)=0},若存在α,β
19、,使得|α-β|≤1,則稱f(x)與g(x)互為“零點(diǎn)相鄰函數(shù)”.若函數(shù)f(x)=ex-1+x-2與g(x)=x2-ax-a+3互為“零點(diǎn)相鄰函數(shù)”,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( ) A.[2,4] B. C. D.[2,3] 解析:函數(shù)f(x)=ex-1+x-2的零點(diǎn)為x=1,設(shè)g(x)=x2-ax-a+3的零點(diǎn)為b,若函數(shù)f(x)=ex-1+x-2與g(x)=x2-ax-a+3互為“零點(diǎn)相鄰函數(shù)”,則|1-b|≤1,∴0≤b≤2.由于g(x)=x2-ax-a+3的圖像過點(diǎn)(-1,4),∴要使其零點(diǎn)在區(qū)間[0,2]上,則g≤0,即2-a-a+3≤0,解得a≥2或a≤-6(舍去),易知
20、g(0)≥0,即a≤3,此時2≤a≤3,滿足題意. 答案:D 7.設(shè)x0為函數(shù)f(x)=sin πx的零點(diǎn),且滿足|x0|+f<33,則這樣的零點(diǎn)有( ) A.61個 B.63個 C.65個 D.67個 解析:依題意,由f(x0)=sin πx0=0得,πx0=kπ,k∈Z,即x0=k,k∈Z.當(dāng)k是奇數(shù)時,f=sin π=sin=-1,|x0|+f=|k|-1<33,|k|<34,滿足這樣條件的奇數(shù)k共有34個;當(dāng)k是偶數(shù)時,f=sin π=sin=1,|x0|+f=|k|+1<33,|k|<32,滿足這樣條件的偶數(shù)k共有31個.綜上所述,滿足題意的零點(diǎn)共有34+31=65(
21、個),選C. 答案:C 8.設(shè)函數(shù)f(x)=,設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)-4mx-m,其中m≠0.若函數(shù)g(x)在區(qū)間(-1,1)上有且僅有一個零點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( ) A.m≥或m=-1 B.m≥ C.m≥或m=-1 D.m≥ 解析:f(x)= 作函數(shù)y=f(x)的圖像,如圖所示. 函數(shù)g(x)零點(diǎn)的個數(shù)?函數(shù)y=f(x)的圖像與直線y=4mx+m交點(diǎn)的個數(shù). 當(dāng)直線y=4mx+m過點(diǎn)(1,1)時,m=; 當(dāng)直線y=4mx+m與曲線y=-1(-1<x<0)相切時,可求得m=-1. 根據(jù)圖像可知,當(dāng)m≥或m=-1時,函數(shù)g(x)在區(qū)間(-1,1)上有且僅有一個零
22、點(diǎn). 答案:C 9.已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且x>0時,f(x)=ln x-x+1,則函數(shù)g(x)=f(x)-ex(e為自然對數(shù)的底數(shù))的零點(diǎn)個數(shù)是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析:當(dāng)x>0時,f(x)=ln x-x+1,f′(x)=-1=,所以x∈(0,1)時,f′(x)>0,此時f(x)單調(diào)遞增;x∈(1,+∞)時,f′(x)<0,此時f(x)單調(diào)遞減.因此,當(dāng)x>0時,f(x)max=f(1)=ln 1-1+1=0.根據(jù)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)作出函數(shù)y=f(x)與y=ex的大致圖像,如圖,觀察到函數(shù)y=f(x)與y=ex的圖像有兩個交點(diǎn)
23、,所以函數(shù)g(x)=f(x)-ex(e為自然對數(shù)的底數(shù))有2個零點(diǎn).故選C.
答案:C
10.已知函數(shù)f(x)=ln x-ax2+x有兩個零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.(-∞,1) B.(0,1)
C. D.
解析:依題意,關(guān)于x的方程ax-1=有兩個不等的正根.記g(x)=,則g′(x)=,當(dāng)0 24、.在坐標(biāo)平面內(nèi)畫出直線y=ax-1(該直線過點(diǎn)(0,-1)、斜率為a)與函數(shù)g(x)的大致圖像,結(jié)合圖像可知,要使直線y=ax-1與函數(shù)g(x)的圖像有兩個不同的交點(diǎn),則a的取值范圍是(0,1),選B.
答案:B
11.已知f′(x)為函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),且f(x)=x2-f(0)x+f′(1)ex-1,g(x)=f(x)-x2+x,若方程g-x=0在(0,+∞)上有且僅有一個根,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.(-∞,0)∪{1} B.(-∞,-1]
C.(0,1] D.[1,+∞)
解析:∵f(x)=x2-f(0)x+f′(1)ex-1,∴f(0)=f′(1)e-1,f′ 25、(x)=x-f(0)+f′(1)ex-1,
∴f′(1)=1-f′(1)e-1+f′(1)e1-1,∴f′(1)=e,∴f(0)=f′(1)e-1=1,∴f(x)=x2-x+ex,∴g(x)=f(x)-x2+x=x2-x+ex-x2+x=ex,∵g-x=0,
∴g=x=g(ln x),∴-x=ln x,∴=x+ln x.當(dāng)a>0時,只有y=(x>0)和y=x+ln x的圖像相切時,滿足題意,作出圖像如圖所示,由圖像可知,a=1,當(dāng)a<0時,顯然滿足題意,∴a=1或a<0,故選A.
答案:A
12.已知函數(shù)y=f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù).當(dāng)x≥0時,f(x)=,若關(guān)于x的方程5[f(x 26、)]2-(5a+6)f(x)+6a=0(a∈R)有且僅有6個不同的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.(0,1)∪ B.[0,1]∪
C.(0,1]∪ D.∪{0}
解析:作出f(x)=的大致圖像如圖所示,又函數(shù)y=f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù),且關(guān)于x的方程5[f(x)]2-(5a+6)f(x)+6a=0(a∈R)有且僅有6個不同的實(shí)數(shù)根,等價于f(x)=和f (x)=a(a∈R)有且僅有6個不同的實(shí)數(shù)根.由圖可知方程f(x)=有4個不同的實(shí)數(shù)根,所以必須且只需方程f(x)=a(a∈R)有且僅有2個不同的實(shí)數(shù)根,由圖可知0
27、面直角坐標(biāo)系xOy中,若直線y=2a與函數(shù)y=|x-a|-1的圖像只有一個交點(diǎn),則a的值為________.
解析:若直線y=2a與函數(shù)y=|x-a|-1的圖像只有一個交點(diǎn),則方程2a=|x-a|-1只有一解,即方程|x-a|=2a+1只有一解,故2a+1=0,所以a=-.
答案:-
14.函數(shù)f(x)=|x-1|+2cos πx(-4≤x≤6)的所有零點(diǎn)之和為________.
解析:問題可轉(zhuǎn)化為y=|x-1|與y=-2cos πx在-4≤x≤6的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和,因?yàn)閮蓚€函數(shù)圖像均關(guān)于x=1對稱,所以x=1兩側(cè)的交點(diǎn)對稱,那么兩對應(yīng)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和為2,分別畫出兩個函數(shù)的圖像(圖略 28、),易知x=1兩側(cè)分別有5個交點(diǎn),所以所求和為52=10.
答案:10
15.已知函數(shù)f(x)=,則函數(shù)g(x)=2|x|f(x)-2的零點(diǎn)個數(shù)為________.
解析:由g (x)=2|x|f(x)-2=0得,f(x)=|x|-1,作出y=f(x),y=|x|-1的圖像,由圖像可知共有2個交點(diǎn),故函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為2.
答案:2
16.已知函數(shù)f(x)=,若方程f(x)=ax+1恰有一個解,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.
解析:如圖,當(dāng)直線y=ax+1過點(diǎn)B(2,2)時,a=,滿足方程有兩個解;當(dāng)直線y=ax+1與f(x)=2(x≥2)的圖像相切時,a=,滿足方程有兩個解;當(dāng)直線y=ax+1過點(diǎn)A(1,2)時,a=1,滿足方程恰有一個解.故實(shí)數(shù)a的取值范圍為∪.
答案:∪
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