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1、
高考數(shù)學精品復習資料
2019.5
課時分層訓練(五十六) 直線與圓錐曲線的位置關系
A組 基礎達標
一、選擇題
1.若直線y=kx與雙曲線-=1相交,則k的取值范圍是( )
A. B.
C. D.∪
C [雙曲線-=1的漸近線方程為y=x,若直線與雙曲線相交,數(shù)形結合,得k∈.]
2.已知直線y=2(x-1)與拋物線C:y2=4x交于A,B兩點,點M(-1,m),若=0,則m=( )
A. B.
C. D.0
B [由得A(2,2),B.
又∵M(-1,m)且=0,
∴2m2-2m+
2、1=0,解得m=.]
3.直線y=kx+2與拋物線y2=8x有且只有一個公共點,則k的值為( )
【導學號:79140306】
A.1 B.1或3
C.0 D.1或0
D [由得k2x2+(4k-8)x+4=0,若k=0,則y=2,符合題意.
若k≠0,則Δ=0,
即64-64k=0,解得k=1,
所以直線y=kx+2與拋物線y2=8x有且只有一個共公點時,k=0或1.]
4.(20xx河南重點中學聯(lián)考)已知直線l:y=2x+3被橢圓C:+=1(a>b>0)截得的弦長為7,則下列直線中被橢圓C截得的弦長一定為7的有( )
①y=2x-3;②y=2x+1;③y=-2x-
3、3;④y=-2x+3.
A.1條 B.2條
C.3條 D.4條
C [直線y=2x-3與直線l關于原點對稱,直線y=-2x-3與直線l關于x軸對稱,直線y=-2x+3與直線l關于y軸對稱,故有3條直線被橢圓C截得的弦長一定為7.]
5.已知橢圓E:+=1(a>b>0)的右焦點為F(3,0),過點F的直線交E于A,B兩點.若AB的中點坐標為(1,-1),則E的方程為( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
A [因為直線AB過點F(3,0)和點(1,-1),所以直線AB的方程為y=(x-3),代入橢圓方程+=1消去y,得x2-a2x+a2-a2b2=0,
4、所以AB的中點的橫坐標為=1,即a2=2b2.又a2=b2+c2,所以b=c=3,a=3,
所以E的方程為+=1.]
二、填空題
6.已知傾斜角為60的直線l通過拋物線x2=4y的焦點,且與拋物線相交于A,B兩點,則弦AB的長為__________.
16 [直線l的方程為y=x+1,
由得y2-14y+1=0.
設A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=14,
所以|AB|=y(tǒng)1+y2+p=14+2=16.]
7.已知(4,2)是直線l被橢圓+=1所截得的線段的中點,則l的方程是__________.
x+2y-8=0 [設直線l與橢圓相交于A(x1,y1),B(
5、x2,y2).
則+=1,且+=1,
兩式相減得=-.
又x1+x2=8,y1+y2=4,
所以=-,故直線l的方程為y-2=-(x-4),即x+2y-8=0.]
8.已知橢圓+=1(0
6、的離心率為.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)過點P(0,1)的直線與該橢圓交于A、B兩點,O為坐標原點,若=2,求△AOB的面積.
[解] (1)設橢圓方程為+=1,a>b>0,
由題意可得c=,又橢圓的離心率為,得a=2.
∴b2=a2-c2=2,
∴所求方程為+=1.
(2)設A(x1,y1),B(x2,y2),
由=2得
設直線方程為y=kx+1,代入橢圓方程整理,
得(2k2+1)x2+4kx-2=0,
∴x1+x2=,x1x2=.
由x1=-2x2代入上式可得2=.
∴k2=.
∴△AOB的面積S=|OP||x1-x2|==.
10. (20xx江蘇高
7、考改編)如圖892,在平面直角坐標系xOy中,已知直線l:x-y-2=0,拋物線C:y2=2px(p>0).
圖892
(1)若直線l過拋物線C的焦點,求拋物線C的方程;
(2)當p=1時,若拋物線C上存在關于直線l對稱的相異兩點P和Q.求線段PQ的中點M的坐標.
[解] (1)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為.
由點在直線l:x-y-2=0上,
得-0-2=0,即p=4.
所以拋物線C的方程為y2=8x.
(2)當p=1時,曲線C:y2=2x.
設P(x1,y1),Q(x2,y2),線段PQ的中點M(x0,y0).
因為點P和Q關于直線l對稱,所以直線l垂直平
8、分線段PQ,
于是直線PQ的斜率為-1,則可設其方程為y=-x+b.
由消去x,得y2+2y-2b=0.
因為P和Q是拋物線C的兩相異點,則y1≠y2.
從而Δ=4-41(-2b)=8b+4>0.(*)
因此y1+y2=-2,所以y0=-1.
又M(x0,y0)在直線l上,所以x0=1.
所以點M(1,-1),此時b=0滿足(*)式.
故線段PQ的中點M的坐標為(1,-1).
B組 能力提升
11.(20xx全國卷Ⅱ)過拋物線C:y2=4x的焦點F,且斜率為的直線交C于點M(M在x軸的上方),l為C的準線,點N在l上,且MN⊥l,則M到直線NF的距離為( )
A. B.
9、2
C.2 D.3
C [拋物線y2=4x的焦點為F(1,0),準線方程為x=-1.由直線方程的點斜式可得直線MF的方程為y=(x-1).
聯(lián)立得方程組
解得或
∵點M在x軸的上方,
∴M(3,2).
∵MN⊥l,
∴N(-1,2).
∴|NF|==4,
|MF|=|MN|
==4.
∴△MNF是邊長為4的等邊三角形.
∴點M到直線NF的距離為2.
故選C.]
12.(20xx青島質檢)過雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的右焦點作一條與其漸近線平行的直線,交C于點P.若點P的橫坐標為2a,則C的離心率為__________.
2+ [如圖所示,不妨設與
10、漸近線平行的直線l的斜率為,又直線l過右焦點F(c,0),則直線l的方程為y=(x-c).
因為點P的橫坐標為2a,代入雙曲線方程得-=1,
化簡得y=-b或y=b(點P在x軸下方,故舍去).
故點P的坐標為(2a,-b),
代入直線方程得-b=(2a-c),
化簡可得離心率e==2+.]
13.(20xx廣州綜合測試(二))已知定點F(0,1),定直線l:y=-1,動圓M過點F,且與直線l相切.
(1)求動圓M的圓心軌跡C的方程;
(2)過點F的直線與曲線C相交于A,B兩點,分別過點A,B作曲線C的切線l1,l2兩條切線相交于點P,求△PAB外接圓面積的最小值.
【導學號
11、:79140308】
[解] (1)法一:設圓心M到直線l的距離為d,
由題意|MF|=d.
設圓心M(x,y),則有=|y+1|.
化簡得x2=4y.
所以點M的軌跡C的方程為x2=4y.
法二:設圓心M到直線l的距離為d,
由題意|MF|=d.
根據拋物線的定義可知,點M的軌跡為拋物線,
焦點為F(0,1),準線為y=-1.
所以點M的軌跡C的方程為x2=4y.
(2)法一:設lAB:y=kx+1,
代入x2=4y中,得x2-4kx-4=0.
設A(x1,y1),B(x2,y2),
則x1+x2=4k,x1x2=-4.
所以|AB|=|x1-x2|=4(k2+
12、1).
因為曲線C:x2=4y,即y=,所以y′=.
所以直線l1的斜率為k1=,
直線l2的斜率為k2=.
因為k1k2==-1,
所以PA⊥PB,即△PAB為直角三角形.
所以△PAB的外接圓的圓心為線段AB的中點,線段AB是外接圓的直徑.
因為|AB|=4(k2+1),所以當k=0時,線段AB最短,最短長度為4,此時圓的面積最小,最小面積為4π.
法二:設lAB:y=kx+1,
代入x2=4y中,得x2-4kx-4=0.
設A(x1,y1),B(x2,y2),
則x1+x2=4k,x1x2=-4.
所以|AB|=|x1-x2|=4(k2+1).
因為曲線C:x2
13、=4y,即y=,所以y′=.
所以直線l1的方程為y-y1=(x-x1),
即y=x-.①
同理可得直線l2的方程為y=x-.②
聯(lián)立①②,解得即P(2k,-1).
因為=(x1-2k,y1+1)(x2-2k,y2+1)
=x1x2-2k(x1+x2)+4k2+y1y2+(y1+y2)+1=0,
所以PA⊥PB,即△PAB為直角三角形.
所以△PAB的外接圓的圓心為線段AB的中點,線段AB是外接圓的直徑.
因為|AB|=4(k2+1),所以當k=0時,線段AB最短,最短長度為4,此時圓的面積最小,最小面積為4π.
法三:設lAB:y=kx+1,由對稱性不妨設點A在y軸的左
14、側,
代入x2=4y中,得x2-4kx-4=0.
解得A(2k-2,2k2-2k+1),
B(2k+2,2k2+2k+1).
所以|AB|=4(k2+1).
因為曲線C:x2=4y,即y=,所以y′=.
設A(x1,y1),B(x2,y2)
所以直線l1的方程為y-y1=(x-x1),
即y=x-. ①
同理可得直線l2的方程為y=x-. ②
聯(lián)立①②,解得即P(2k,-1).
因為AB的中點M的坐標為(2k,2k2+1),
所以AB的中垂線方程為y-(2k2+1)=-(x-2k),
因為PA的中垂線方程為y-(k2-k)=(k+)[x-(2k-)],
聯(lián)立上述兩個方程,解得其交點坐標為N(2k,2k2+1).
因為點M,N的坐標相同,
所以AB的中點M為△PAB的外接圓的圓心.
所以△PAB是直角三角形,且PA⊥PB,
所以線段AB是△PAB外接圓的直徑.
因為|AB|=4(k2+1),
所以當k=0時,線段AB最短,最短長度為4,此時圓的面積最小,最小面積為4π.