高考數(shù)學(xué)兵法10招2就地取材無中生有

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1、 高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 數(shù)學(xué)高考10招(2) 就地取材 無中生有 ●計(jì)名釋義 這一招是專門對(duì)付開放題的. 開放題有兩種類型:一是開放條件;二是開放結(jié)論. 條件開放的試題,結(jié)論明確、解題方向清楚,但條件不足,也就是條件不充分,屬于“必要不充分”的題型,我們的任務(wù)是補(bǔ)充能使結(jié)論成立的充分條件. 反之,結(jié)論開放的試題,條件充分,但結(jié)論不明確.我們的任務(wù)則是補(bǔ)充必要條件. ●典例示計(jì) 【例1】以下是武漢市某次高中調(diào)考中的一道數(shù)列題: 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,若(a1+a3)2=9,a

2、n<0(),則S10等于( ) 這道題從正面解,你會(huì)發(fā)現(xiàn)無論走哪條路,都“差條件”,陷入欲進(jìn)不得,欲罷不忍的困境.可是,你是否想到,也可以把選項(xiàng)作條件來用呢? 【解析】由于時(shí)恒有an<0,必S10<0,排除A、C;設(shè)若S10= -13,即有 10a1+×10×9d=-13,那么a1+d=. (1) 但由(a1+a3)2=9,an<0可得a1+a3= -3,也就是a1+ d= (2) (1)-(2):d=,于是d>0,這與時(shí)恒有an<0矛盾,故排除D,選B. 本解使用的,正是“就地取材”的計(jì)策.如果你感到題干中的“條件不夠”,陷入“山窮水

3、復(fù)疑無路”的困境,不妨在選項(xiàng)中就地發(fā)現(xiàn)“柳暗花明又一村”. 那么,什么又是“無中生有”呢?請(qǐng)看 【例2】06年湖南卷的文科10題: 如圖,OM∥AB,點(diǎn)P在由射線OM,線段OB幾AB的延長線圍成的陰影區(qū)域內(nèi)(不含邊界),且OP=x0A+yOB,則實(shí)數(shù)對(duì)(x,y)可以是 ( ) 【解析】如圖,設(shè)向量OP符合要求.過P作 PA1∥AB,交OA于A1,OB于B1,令 ,顯然0<k<1. 再令,∵點(diǎn)P在A1B1的延長線上, 必λ>1.于是 .于是 . 由(1)知x<0,排除A;由(1)+(2)得:x+y=k∈(

4、0,1),排除B,D,∴選C. 為了解題的需要,我們不僅添加了輔助線,還引入了k,λ這些參變量,這都是“無中生有”;又為了免除繁雜的計(jì)算,我們又在選項(xiàng)中“就地取材”. 再請(qǐng)看 【例3】06年湖南卷的理科15題: 如圖,OM∥AB,點(diǎn)P在由射線OM,線段OB幾AB的延長線圍成的陰影區(qū)域內(nèi)(不含邊界),且OP=x0A+yOB,則x的取值范圍是 當(dāng)時(shí),y的取值范圍是 【解析】同上題解法,得: 由于k∈(0,1)且λ>1,∴x<0.即 當(dāng)時(shí),∵x+y=k,∴y=k-x=k+∈(). 【評(píng)注】咋一看湖南這兩道題,的確有“樹高蔭深,叫樵夫難以下手”之感。因?yàn)閮H憑現(xiàn)有圖形,是無論如何也難

5、以找到正確答案的。唯一可行之路,就是“無中生有”了,于是筆者按要求隨意畫一條向量(即解圖中的OP)試試看,又想到關(guān)于向量的問題多能用平移解決,在作出平行線PA1后,已是豁然開朗,成竹在胸了.這難道不是“無中生有”的神奇麼? 例4題圖 【例4】如圖所示,在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中, E、F、G、H分別是棱CC1,C1D1,D1D,DC的中點(diǎn),N是BC 中點(diǎn),點(diǎn)M在四邊形EFGH及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng),則M只要滿足條件 時(shí),就有MN∥平面B1BDD1(請(qǐng)?zhí)钌夏阏J(rèn)為正確的一 個(gè)條件即可,不必考慮全部可能情況). 【思考】顯然HN∥BD,即得HN∥平面B1BDD1,

6、 為使點(diǎn)M在平面EFGH內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)總有B1BDD1∥MN,只需過HN 作平面,使之平行于平面在平面B1BDD1,將線面平行的問題轉(zhuǎn)化 為面面平行的問題. 【解析】連FH,當(dāng)點(diǎn)M在HF上運(yùn)動(dòng)時(shí),恒有 MN∥平面B1BDD1證明如下:連 NH ,HF,BD,B1D1, 且平面NHF交B1C1于P.則NH ∥BD,HF∥BB1,故 平面PNHF∥平面BB1D1D.MN平面PNHF, ∴MN∥平面B1BDD1 【例5】 知F(x)是二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)的二次函數(shù), 且對(duì)于任何x∈R,f(2-x)=f(2+x)總成立,問f(1-2x2)與 f(1+2x-x2)滿足什么條件時(shí),才能使-2&l

7、t;x<0成立. 【思考】 根據(jù)已知條件很容易得到f(x)是開口向下且對(duì)稱軸為x=2的二次函數(shù),然后可通過函數(shù)單調(diào)區(qū)間進(jìn)行分類討論. 【解答】 由題設(shè)知:函數(shù)f(x)的圖象是開口向下且對(duì)稱軸為直線x=2的拋物線. 故函數(shù)f(x)在上是增函數(shù);在上是減函數(shù). ∵1-2x2≤1<2,1+2x-x2=-(x-1)2+2≤2,∴1-2x2∈,1+2x-x2∈. 當(dāng)f(1-2x2)<f(1+2x-x2)時(shí),1-2x2<1+2x-x2, 即x2+2x>0,解得x<-2或x>0,不能使-2<x<0成立. 當(dāng)f(1-2x2)>f(1+2

8、x-x2)時(shí),1-2x2>1+2x-x2, 即x2+2x<0,解得-2<x<0,符合題意,當(dāng)f(1-2x2)=f(1+2x-x2)時(shí), 可得x=-2或0,不能使-2<x<0成立. ∴當(dāng)f(1-2x2)>f(1+2x-x2)時(shí),才能使-2<x<0成立. 【例1】 能否構(gòu)造一個(gè)等比數(shù)列{an},使其同時(shí)滿足三個(gè)條件:①a1+a6=11;②a3a4=;③至少存在 一個(gè)自然數(shù)m,使依次成等差數(shù)列.若能,請(qǐng)寫出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式. 【解答】 先考慮前兩個(gè)條件.設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q. ∵a3a4=a1a6,∴由. 即滿足條件①,

9、②的等比數(shù)列,其通項(xiàng)公式為an=. (1)如an=·2n-1,設(shè)存在題設(shè)要求的m∈N,則2×. 化簡得:22m-7·2m-8=02m=8,∴m=3. (2)如設(shè)存在m∈N, 使. 化簡得: 4(26-m)2-11·26-m-8=0,這里Δ=112+16×8=249不是完全平方數(shù).∴符合條件的m不存在. 綜上所述,能構(gòu)造出滿足條件①,②,③的等比數(shù)列,該自然數(shù)m=3,數(shù)列的通項(xiàng)公式為: . 【例6】 將二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c對(duì)應(yīng)于一次函數(shù)g(x)=2ax+b. (1)求f(x)=x2+2x+1對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)

10、g(x). (2)觀察后請(qǐng)寫出這個(gè)對(duì)應(yīng)法則. (3)可以用g(x)的某些性質(zhì)來研究f(x)的性質(zhì):當(dāng)g(x)>0時(shí),對(duì)應(yīng)的f(x)的性質(zhì)有哪些? (4)你還能研究另外的某些性質(zhì)嗎? (5)設(shè)g(x)=x,寫出與g(x)對(duì)應(yīng)的f(x)的三個(gè)不同的解析式. 【思考】 本例是結(jié)論開放型試題,解題時(shí)要求根據(jù)已知條件將結(jié)論(必要條件)補(bǔ)充完整.f(x)與g(x)是什么關(guān)系?我們?nèi)菀子蒮′(x)=2ax+b,知f′(x)=g(x),可見,只有當(dāng)g(x)=f′(x)時(shí),才有可能用g(x)的性質(zhì)來研究f(x)的某些性質(zhì). 【解答】 (1)∵a=1,b=2,∴g(x)=2x+2. (2)①

11、g(x)的一次項(xiàng)系數(shù)是f(x)的二次項(xiàng)系數(shù)與其次數(shù)的積; ②g(x)的常數(shù)項(xiàng)等于f(x)的一次項(xiàng)系數(shù). (3)g(x)>0,即2ax+b>0,當(dāng)a>0時(shí),x>-,而x=-是f(x)的對(duì)稱軸,故這時(shí)f(x)是單調(diào)增函數(shù);a<0時(shí),x<-,f(x)仍為單調(diào)增函數(shù)(前者單調(diào)區(qū)間為.后者單調(diào)區(qū)間為). (4)當(dāng)g(x)<0時(shí),f(x)是單調(diào)減函數(shù)(請(qǐng)仿照(3)證明之). (5)g(x)=x時(shí),2ax+b=x,知a=,b=0.只須在f(x)=ax2+bx+c中,命a=,b=0,c取任意值即可,如f(x)= x2+1,f(x)=x2+,f(x)= x2

12、+5. 【小結(jié)】 指導(dǎo)開放題解法的理論依據(jù)是充分必要條件,即若AB,則稱A為B的充分條件,B為A的必要條件. ●考前預(yù)演 第1題圖 1.如圖所示,在四棱錐P—ABCD中,O為CD上的動(dòng)點(diǎn), 四邊形ABCD滿足條件 時(shí),VP—AOB恒為定 值(寫出你認(rèn)為正確的一個(gè)條件即可).    2.對(duì)于x∈R,試確定y=的所有可能的值. 3.已知|a|=3,|b|=2,a與b的夾角為120°,當(dāng)k為何值時(shí), (1)ka-b與a-kb垂直? (2)|ka-2b|取得最小值? 4.已知圓O′過定點(diǎn)A(0,P)(P>0),圓心O′在拋物線x2=2Py上運(yùn)動(dòng),MN為圓O′在x軸上截得的弦,令|AM|=d1,|AN|=d2,∠MAN=θ. (1)當(dāng)O′運(yùn)動(dòng)時(shí),|MN|是否有變化,并證明你的結(jié)論; (2)求的最大值,并求取得最大值的θ的值.

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