專題42 不等式法求系數最大最小項(解析版)

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1、 專題42 不等式法求系數最大最小項 一、單選題 1．經檢測有一批產品合格率為，現從這批產品中任取5件，設取得合格產品的件數為，則取得最大值時的值為（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】 隨機變量，，若取得最大值時,則有，，求出的值. 【詳解】 由題意，隨機變量，， 若取得最大值時，則: 則，解得，則． 故選：． 【點睛】 本題考查二項分布的性質和應用，解含組合數的不等式，考查了學生的分析能力，運算能力，屬于中檔題. 2．已知不等式（且）的解集為，則二項式的展開式中系數最大項的系數為（ ） A．16 B．80 C．

2、240 D．480 【答案】C 【分析】 按和分類討論,解出對數不等式并求出的值,設二項式展開式中第項系數最大,則有(),解不等式求出的值并代回可得系數最大項的系數. 【詳解】 由題意，當時，，當時，，所以.故，，因為，系數為正，所以，故展開式中系數最大項的系數為. 故選: C. 【點睛】 本題考查二項式展開式的應用,考查對數函數的性質,考查組合數的計算,考查學生邏輯推理能力和運算求解能力,屬于中檔題. 3．若的二項展開式中，只有含項的系數最大，則等于（ ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】 根據二項展開式的通項公式，寫出通項，再由題意

3、，得到，求解，即可得出結果. 【詳解】 因為二項式的展開式的第項為， 又展開式中，只有含項的系數最大， 所以有，即，即，解得， 又，所以. 故選：B. 【點睛】 本題主要考查由系數最大的項求參數的問題，熟記二項式定理即可，屬于?？碱}型. 4．已知展開式的二項式系數的最大值為，系數的最大值為，則的值（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根據二項式系數的性質求得，系數的最大值為求得，從而求得的值． 【詳解】 由題意可得，又展開式的通項公式為， 設第項的系數最大，則，即， 求得或6，此時，，， 故選：B． 【點睛】 本題主要考查二項式系數

4、的性質，第項的二項式系數與第項的系數之間的關系，屬于中檔題． 5．在的展開式中，系數的絕對值最大的項為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根據最大的系數絕對值大于等于其前一個系數絕對值；同時大于等于其后一個系數絕對值；列出不等式求出系數絕對值最大的項； 【詳解】 二項式展開式為： 設系數絕對值最大的項是第項， 可得 可得，解得 在的展開式中， 系數的絕對值最大的項為： 故選：D. 【點睛】 本題考查二項展開式中絕對值系數最大項的求解，涉及展開式通項的應用，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題． 6．若的展開式中各項的二項式

5、系數之和為512，且第6項的系數最大，則a的取值范圍為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 計算，計算，，，根據系數的大小關系得到，解得答案. 【詳解】 ，，，，， 第6項的系數最大，，則. 故選：. 【點睛】 本題考查了二項式定理，意在考查學生的計算能力和應用能力 7．若展開式中只有第6項的系數最大，則常數項是（ ） A．第5項 B．第6項 C．第7項 D．第8項 【答案】B 【分析】 由條件求得，在其展開式的通項公式中，令的冪指數等于0，求得的值，可得常數項，求得結果. 【詳解】 若展開式中只有第6項的系數最大， 則，它的展開

6、式的通項公式為：， 令，解得， 所以常數項是第6項， 故選B. 【點睛】 該題考查的是有關二項式定理的問題，涉及到的知識點有二項展開式中二項式系數最大項，二項展開式的通項，屬于簡單題目. 8．(x+2y)7展開式中系數最大的項是（ ） A．68y7 B．112x3y4 C．672x2y5 D．1344x2y5 【答案】C 【解析】 試題分析：設r+1項系數最大，則有C7r?2r≥C7r?1?2r?1C7r?2r≥C7r+1?2r+1，即7!r!(7?r)!?2r≥7!(r?1)!(7?r+1)!?2r?17!r!(7?r)!?2r≥7!(r+1)!(7?r

7、?1)!?2r+1，2r≥18?r17?r≥2r+1，解得r≤163r≥133，又∵ 0≤r≤7，∴ r=5．∴系數最大項為Τ6=C75x2?25y5=672x2y5．故應選C． 考點：二項展開式的通項與系數及組合式的運算. 二、多選題 9．已知在的展開式中，前3項的系數成等差數列，則下列結論正確的是（ ） A．展開式中所有項的系數之和為256 B．展開式中含的一次項為 C．展開式中有3項有理項 D．展開式中系數最大項為第3項和第4項 【答案】BCD 【分析】 由題意寫出該二項式展開式的通項公式，由等差數列的性質可得；令即可判斷A；令，代入即可判斷B；令為整數，即

8、可判斷C；令，解不等式即可判斷D；即可得解. 【詳解】 由題意展開式的通項公式為 ， 所以，解得或（舍去）， 所以，， 對于A，令，則，所以展開式中所有項的系數之和為，故A錯誤； 對于B，令即，此時，所以展開式中含的一次項為，故B正確； 對于C，若要使為有理項，則為4的倍數，當、、時，為有理項，所以展開式中有3項有理項，故C正確； 對于D，令，解得，所以展開式中系數最大項為第3項和第4項，故D正確. 故選：BCD. 【點睛】 本題考查了二項式定理的應用，考查了運算求解能力，合理賦值、細心計算是解決本題的關鍵，屬于中檔題. 三、解答題 10．已知的展開式中只有第五項的

9、二項式系數最大. （1）求該展開式中有理項的項數； （2）求該展開式中系數最大的項. 【答案】（1）；（2）和 【分析】 （1）先求出，再寫出二項式展開式的通項，令即可求解； （2）設第項系數最大，則，即可解得的值，進而可得展開式中系數最大的項. 【詳解】 （1）由題意可得：，得， 的展開式通項為，， 要求展開式中有理項，只需令， 所以 所以有理項有5項， （2）設第項系數最大，則 ， 即，即，解得：， 因為， 所以或 所以， 所以展開式中系數最大的項為和. 【點睛】 解二項式的題關鍵是求二項式展開式的通項，求有理項需要讓的指數位置是整數，求展開式中系

10、數最大的項需要滿足第項的系數大于等于第項的系數，第項的系數大于等于第項的系數，屬于中檔題 11．（1）求展開式中系數最大項； （2）求展開式中系數最大項． 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）本題要求二項式中系數最大的項，設出第項系數最大，則這一項不小于它的前一項且不小于它的后一項，列出不等式組，解不等式組，根據是正整數得到結果． （2）根據（1）可得展開式系數絕對值最大項，結合系數的正負，即可得出結論． 【詳解】 解：（1）設第項系數最大，則有， 即，即， 且，， ． 系數最大項為； （2）展開式中系數的絕對值等于展開式中對應項的系數， 根據（1）可得展開式

11、中系數的絕對值為第六項， 而第6項的系數為負數，所以展開式中系數最大為第5項或第7項， 只需比較和兩項系數大小即可． ，， 系數最大的項是第五項為． 【點睛】 本題是一個典型的二項式問題，主要考查二項式的性質，注意二項式系數和項的系數之間的關系，這是容易出錯的地方，本題考查展開式的通項式，這是解題的關鍵，屬于中檔題． 12．已知的展開式中前三項的系數成等差數列． （1）求的值； （2）如果第項和第項的二項式系數相等，試求的值； （3）求展開項中最大的系數． 【答案】（1）8；（2）1或2；（3）7． 【分析】 （1）根據等差數列的性質列出方程求解n；（2）當時，成立；

12、當時，根據二項式的單調性和對稱性可列出等式求解k；（3）設第項的系數最大，由求解r的值，代入展開式的通項即可得解. 【詳解】 （1）根據題意，，，成等差數列， 所以，即，或(舍去). （2）當時，即顯然成立； 當時，由二項式的單調性和對稱性得：. （3）設第項的系數最大， 則，解得或， 所以展開項中系數最大為. 【點睛】 本題考查二項式定理，含參二項式的相關問題、二項展開式中系數最值問題，涉及等差中項的應用，屬于中檔題. 13．在二項式的展開式中. （1）求該二項展開式中含項的系數； （2）求該二項展開式中系數最大的項. 【答案】（1）160；（2）. 【分析】

13、 （1）在通項公式中，令的冪指數等于3，求得的值，可得含項的系數． （2）根據，求得的值，可得結論． 【詳解】 （1）二項展開式中，通項公式為，令，求得， 故含項的系數為. （2）設第項的系數最大，由，解得，故 故該二項展開式中系數最大的項為 【點睛】 本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，二項式系數的性質，屬于中檔題． 14．已知，的展開式的各二項式系數的和等于128， （1）求的值； （2）求的展開式中的有理項； （3）求的展開式中系數最大的項． 【答案】（1）7；（2），，；（3）. 【分析】 （1）根據的展開式的各二項式系數的和等于求解．

14、（2）先得到的展開式中的通項公式，再令為整數求解． （3）由通項公式知：第項的系數為．直接假設第r+1項系數最大，比前一項大且比后一項大，聯(lián)立解不等式組即可. 【詳解】 解：（1）已知， 的展開式的各二項式系數的和等于，． （2）的展開式中的通項公式為， 令為整數，可得，3，6， 故展開式的有理項為，，． （3）第項的系數為， ，且， 解得，故， 故的展開式中系數最大的項為第6項． 【點睛】 本題主要考查二項展開式的通項公式，二項式系數的性質，項的系數，還考查了運算求解的能力；屬于中檔題. 15．已知展開式中前三項的二項式系數之和為37，求展開式中： （1）所有x

15、的有理項； （2）系數最大的項． 【答案】（1），，；（2）系數最大的項為和 【分析】 （1）根據系數和得到，再利用二項式定理計算有理項得到答案. （2）設第項系數最大，則，解得答案. 【詳解】 （1），∴（舍）． ，令，∴． ∴所有有理項為，，. （2）設第項系數最大，則，解得． 所以系數最大的項為和. 【點睛】 本題考查了利用二項式定理求有理項，系數最大項，意在考查學生的計算能力和應用能力. 16．已知的展開式的二項式系數和比的展開式的二項式系數和大992，求的展開式中. （1）二項式系數最大的項， （2）系數的絕對值最大的項.

16、【答案】（1）（2） 【分析】 （1）根據的展開式的二項式系數和比的展開式的二項式系數和大992，即可得到關于的方程：，求出，根據二項式系數的性質即可求出二項式系數最大的項 （2）利用兩邊夾定理，設出第項為系數的絕對值最大的項，即可列出關于的不等式，即可求解 【詳解】 解：依題意可得，即，解得 （1）的展開式中第6項的二項式系數最大 （2）設第項的系數的絕對值最大 所以 故第4項的系數的絕對值最大， 【點睛】 本題通過賦值法求出，根據二項式系數的性質，同時利用兩邊夾定理進行求解，屬于中檔題． 17．在二項式的展開式中， （1）若展開式中第5項、第6

17、項與第7項的二項式系數成等差數列，求展開式中二項式系數最大的項的系數；（最后結果用算式表達，不用計算出數值） （2）若展開式前三項的二項式系數的和等于79，求展開式中系數最大的項．（最后結果用算式表達，不用計算出數值） 【答案】(1) 當時，最大項系數為和；當時最大項系數為.(2) . 【分析】 (1)由成等差數列可求出或，進而可求出展開式中二項式系數最大的項的系數； (2)由可求出，令可求出，從而可求其系數. 【詳解】 解：展開式中第項為. (1) 則第5項、第6項與第7項的二項式系數為成等差數列，則， 即，即，解得或. 當時，二項式系數最大項為，此時系數為和. 當時

18、，二項式系數最大項為，此時系數為. (2) 前三項的二項式系數為，其和為79.即，即 ，整理得，，解得或(舍去). 設展開式中第項系數最大，即，解得，， 因為，所以，即展開式中第9項系數最大，系數為. 【點睛】 本題考查了二項式定理，考查了二項式系數最值問題，考查了系數的最值問題，考查了等差中項的應用.本題的關鍵是由已知條件求出的值.本題的易錯點是混淆了二項式系數和系數的概念. 18．已知的展開式中前三項的系數為等差數列. （1）求展開式中含的項； （2）求展開式中系數最大的項. 【答案】（1）含的項為（2）系數最大的項為和 【分析】 列出二項展開式的通項公式，利用前三

19、項系數成等差可求得；(1) 根據展開式通項公式可知，當時為所求項，代入通項公式求得結果； (2) 設系數最大的項是第項，則，求解計算即可得出結果. 【詳解】 解：（1）由題意可知，的展開式的通項 ， 則，，. 因為前三項的系數為等差數列，則有 ， 解得或（舍去），則， 則的展開式的通項 . 令，解得， 則， 所以展開式中含的項為. （2）由（1）得的展開式的通項 ， 設系數最大的項是第項， 則 化簡得 解得， 所以或， 所以，， 所以系數最大的項為和. 【點睛】 本題考查組合數的運算、求指定項和系數最大項的問題，考查對于二項式定理的知識的掌握，屬

20、于中檔型. 19．已知n為給定的正整數，t為給定的實數，設(t＋x)n=a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn. （1）當n=8時. ①若t=1，求a0＋a2＋a4＋a6＋a8的值； ②若t=，求數列{an}中的最大值； （2）若t=，當時，求的值. 【答案】（1）①128，②；（2） 【分析】 （1）①設f（x）=(1＋x)8=a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，f（1）=28=a0＋a1＋a2＋…＋a8，f（-1）=0=a0-a1＋a2-…＋a8，a0＋a2＋a4＋a6＋a8= [f（1）+ f（-1）] 2即可得解； ②，通過不等式組即可得解； （2）處理，利用二項式

21、定理逆用即可得解. 【詳解】 （1）設f（x）=(t＋x)n=a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn， 當n=8時. ①若t=1，f（x）=(1＋x)8=a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8， f（1）=28=a0＋a1＋a2＋…＋a8，f（-1）=0=a0-a1＋a2-…＋a8， a0＋a2＋a4＋a6＋a8= [f（1）+ f（-1）]2=128 ②若t=，(＋x)n=a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn， 所以，設第r項最大，則， 解得，所以 數列{an}中的最大值 （2）若t=，當時，求的值. (＋x)n=a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn， 當時，

22、 ， 當n=1時也滿足，所以. 【點睛】 此題考查二項式定理的應用，根據展開式求解系數關系，涉及組合數計算公式，二項式定理的逆用，綜合性強. 20．為抗擊新冠疫情，某企業(yè)組織員工進行用款捐物的愛心活動.原則上每人以自愿為基礎，捐款不超過400元.現項目負責人統(tǒng)計全體員工數據后，下表為隨機抽取的10名員工.的捐款數額. 員工編號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 捐款數額 124 86 215 53 132 195 400 90 300 225 （1）若從這10名員工中任意選取3人，記選到的3人中捐款數額大于200

23、元的人數為X，求X的分布列和數學期望： （2）以表中選取的10人作為樣本.估計該企業(yè)全體員工的捐款情況，現從企業(yè)員工中依次抽取8人，若抽到k人的捐款數額小于200元的可能性最大，求k的值. 【答案】（1）分布列見詳解， ；（2）5 【分析】 （1）由題中的隨機分布表可知，10名員工中，捐款數額大于200元的有4人，的所有可能取值為0，1，2，3，服從超幾何分布，由此能求出的概率分布列及數學期望； （2）從8人中抽取的捐款數額小于200元的人數為隨機變量，則，假設最大，可列出不等式組，求出的值. 【詳解】 解：（1）由題知，10名員工中，捐款數額大于200元的有4人， 則隨機變量

24、服從超幾何分布，的所有可能取值為0，1，2，3 ， ， ， ， 則的分布列為 X 0 1 2 3 P ； （2）以樣本估計總體的捐款金額小于200的概率， 設為從8人中抽取的捐款數額小于200元的人數，， ， 要使其取得最大值，則需： ， 解得 ， 又，故， 即依次抽取8人，若抽到5人的捐款數額小于200元的可能性最大. 【點睛】 本題考查了服從超幾何分布的離散型隨機變量的分布列以及期望的求法，二項分布等基礎知識，考查了組合數的計算公式、不等式的性質，考查了數據分析能力、推理能力及計算能力.屬于中檔題. 21．已知在的展開式中

25、，第6項的系數與第4項的系數之比是. （1）求展開式中的系數； （2）求展開式中系數絕對值最大的項； （3）求的值. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】 （1）利用二項展開式的通項公式求出展開式的通項，求出展開式中的第6項的系數與第4項的系數，列出方程求出的值，代入二項展開式的通項公式即可求解； （2）利用兩邊夾定理，設第項系數的絕對值最大，列出關于的不等式即可求解； （3）利用二項式定理求解即可. 【詳解】 （1）由，得， 通項， 令，解得， 展開式中的系數為. （2）設第項系數的絕對值最大， 則，所以， 系數絕對值最大的項為. （3）原式. 【點

26、睛】 本題考查二項式定理的應用、二項展開式的通項公式和系數最大項的求解；考查運算求解能力和邏輯推理能力；熟練掌握二項展開式的通項公式是求解本題的關鍵；屬于中檔題、?？碱}型. 22．已知的展開式的各項二項式系數之和為512. （1）求展開式中所有的有理項； （2）求展開式中系數最大的項. 【答案】（1），，，（或）；（2） 【分析】 （1）根據二項式定理求出通項，處理指數冪的指數即可得解； （2）設第項的系數最大，則，解不等式組即可得解. 【詳解】 （1）由題意可得，則 故通項， 由題意可得為整數，則是3的倍數， 因為，所以的值為0或3或6或9， 則有理項為，，，（或

27、）. （2）設第項的系數最大，則 因為， 所以， 則解得， 因為為整數，所以 故展開式中系數最大的項 【點睛】 此題考查二項式定理的應用，涉及求指定項和求解系數最大的項，關鍵在于熟練掌握通項，根據通項進行計算. 23．己知的展開式前三項中x的系數的絕對值成等差數列. （Ⅰ）求n的值及展開式中的常數項； （Ⅱ）求展開式系數最大的項. 【答案】（Ⅰ），常數項為第三項為7（Ⅱ）系數最大的項為第三項為7 【分析】 （Ⅰ）先求寫出二項式展開式的通項，求出前三項系數的絕對值，即可求出，從而求出常數項； （Ⅱ）先求所有項的系數加上絕對值，轉化為正系數，假設第項系數的絕對值最大，

28、 則有，求得的值，即可可得系數最大的項． 【詳解】 解：（Ⅰ）因為二項式展開式的通項為 所以展開式前三項的系數的絕對值分別為，，. 由題設知：，解得：或（舍去）. 當時， 當時，即常數項為第三項為7 （Ⅱ）先求所有項的系數加上絕對值，轉化為正系數，假設第項系數的絕對值最大， 則有 由， ，， 同理可得， 系數絕對值最大項為和 所以系數最大的項為第三項為7 【點睛】 本題主要考查等差數列的定義，二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，二項式系數的性質，屬于中檔題． 24．已知展開式的二項式系數和比展開式的偶數項的二項式系數和大48，求的展開式中： （1）二項式

29、系數最大的項； （2）系數的絕對值最大的項. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）分別求出展開式的二項式系數和，展開式的偶數項的二項式系數和，利用兩者差列方程，解方程求出的值，二項式系數最大項為第，即可求解； （2）設第項系數絕對值最大，化簡二項展開式的通項公式，利用系數絕對值最大項比前后兩項的系數絕對值都大列不等式組，解不等式組求得的取值范圍，由此求得的值 【詳解】 （1）依題意， 的展開式中第6項二項式系數最大， 即； （2）設第項的系數的絕對值最大， 則， ，得， 即，， 所以系數的絕對值最大的是第8項， 即. 【點睛】 本題考查二項式系數和、二項

30、式系數最大項、系數絕對值最大項，考查計算求解能力，屬于中檔題. 25．已知的展開式的二項式系數和比的展開式的系數和大992，求的展開式中： （1）二項式系數最大的項； （2）系數的絕對值最大的項. 【答案】（1）（2） 【分析】 （1）由題意對賦值，令，則有，解方程求出的值，然后根據二項式系數的性質即可求出二項式系數最大的項； （2）利用兩邊夾定理，設第項為系數的絕對值最大的項，則有 解不等式組可得結果. 【詳解】 ，解得，， （1）二項式系數最大的項為第51項，； （2），其系數的絕對值為，解不等式組，得，，， 系數的絕對值最大的項為第34項，. 【點睛】

31、此題考查二項式定理的有關知識，通過賦值，利用二項式系數的性質求解，屬于基礎題. 26．（1）已知，求的值. （2）已知的展開式中，各項的系數和比各項的二項式系數和大992.求展開式中系數最大的項. 【答案】（1）-13；（2） 【分析】 （1）可令，，兩式相減，計算即可得到所求和； （2）由題意可得，求得，設第項的系數最大，則有，解得．再由，可得的值． 【詳解】 解：（1）， 令可得， 可令可得， 兩式相減可得，； （2）令可得各項系數和為，二項式系數和為， 由題意可得，即， 解得 （舍去），解得． 設第項的系數最大，則有，解得． 再由，可得． 故系數最大

32、的項為． 【點睛】 本題考查二項式定理的運用：求指定項的系數和，注意運用賦值法，同時考查二項式展開式的通項公式，二項式系數的性質，考查運算能力，屬于中檔題． 27．已知二項式的展開式中第五項為常數項. （1）求展開式中二項式系數最大的項； （2）求展開式中有理項的系數和. 【答案】（1）；（2）121 【分析】 （1），為常數項，所以，可求出的值，進而求得二項式系數最大的項； （2）由題意為有理項，直接計算即可. 【詳解】 （1），∵為常數項， ∴，∴ 二項式系數最大的項為第3項和第4項.∴， . （2）由題意為有理項， 有理項系數和為. 【點睛】 本題

33、考查了二項式的展開式，需熟記二項式展開式的通項，屬于基礎題. 28．已知二項式． （1）若它的二項式系數之和為512．求展開式中系數最大的項； （2）若，求二項式的值被7除的余數． 【答案】（1）；（2）2. 【分析】 （1）由題意利用二項式系數的性質求得的值，再根據通項公式可得展開式中第項的系數，從而求得展開式中系數最大的項． （2）二項式即，按照二項式定理展開，問題化為被7除的余數．再根據，按照二項式定理展開，可得它被7除的余數． 【詳解】 （1）二項式的二項式系數之和為512，，． 由，解得：， 展開式中系數最大的項為第8項，為． （2）若，， 問題轉化

34、為被7除的余數， ，即余數為2． 【點睛】 本題考查二項式定理的應用、整除的余數問題，考查函數與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力，求解時注意連續(xù)兩次使用二項展開式求余數. 29．已知數列（）的通項公式為（）. （1）分別求的二項展開式中的二項式系數之和與系數之和； （2）求的二項展開式中的系數最大的項； （3）記（），求集合的元素個數（寫出具體的表達式）. 【答案】（1），0；（2），；（3）. 【分析】 （1）根據二項展開式直接得二項式系數之和為，利用賦值法求二項展開式中的系數之和； （2）根據二項展開式通項公式得系數，再列方程組解得系數最大

35、的項； （3）先根據二項式定理將展開成整數與小數，再根據奇偶性分類討論元素個數，最后根據符號數列合并通項. 【詳解】 （1）二項展開式中的二項式系數之和為， 令得二項展開式中的系數之和為； （2） 設二項展開式中的系數最大的項數為 則 因此二項展開式中的系數最大的項為， （3） 所以當為偶數時，集合的元素個數為 當為奇數時，集合的元素個數為 綜上，元素個數為 【點睛】 本題考查二項式系數之和、二項式展開式各項系數之和、二項式展開式中系數最大項以及利用二項式展開式計數，考查綜合分析求解與應用能力，屬較難題. 30．已知展開式的所有二項式系數和為．

36、 （1）求展開式的所有有理項的系數之和； （2）求展開式的系數最大項． 【答案】（1）；（2）和. 【分析】 由二項式系數和為求得，進而得出二項式展開式的通項為. （1）由通項可知當取、、時，對應項為有理項，將這些項的系數相加即可得出結果； （2）令，設展開式中項的最大系數為，由求出自然數的值，由此可得出結果. 【詳解】 所有二項式系數和為，即，得， 該二項式展開式的通項為． （1）由題可知，展開式的有理項為第項，第項，第項， 則，，， 因此，所有有理項的系數和為； （2）令，設展開式中項的最大系數為， 則，即，得，解得， ，或. 因此，展開式的系數最大項為第

37、項和第項. 【點睛】 本題考查利用二項式系數和求參數，二項展開式中有理項系數問題和系數最大項的求解，考查二項式定理的應用，屬于中等題. 31．函數角度看，可以看成是以為自變量的函數，其定義域是. （1）證明： （2）試利用1的結論來證明：當為偶數時，的展開式最中間一項的二項式系數最大；當為奇數時的展開式最中間兩項的二項式系數相等且最大. 【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析. 【分析】 （1）先根據組合數公式求出、，計算的值，從而證得結論； （2）設，由（1）可得，令，可得 （等號不成立），故有當時，成立； 當時，成立.故最大， 當為奇數時，同理可證，從而證得結論

38、. 【詳解】 （1）因為，又因為， 所以. 則成立. （2）設，因為，， 所以.令，所以， 則（等號不成立），所以時，成立， 反之，當時，成立. 所以最大，即展開式最中間一項的二項式系數最大； 當為奇數時，設，其最中間有兩項且， 由（1）知，顯然， ，令，可得， ，當時，，且這兩項為二項展開式最中間兩項的系數， 所以時，成立； 由對稱性可知：當時，成立， 又，故當為奇數時，的展開式最中間兩項的二項式系數相等且最大. 【點睛】 本題主要考查組合及組合數公式，二項式定理的應用以及二項式系數的性質，令，求出的范圍是解本題的關鍵，考查學生的計算能力和邏輯推理能力，屬

39、于中檔題. 32．在二項式的展開式中，前三項系數的絕對值成等差數列. （1）求展開式中二項式系數最大的項； （2）求展開式中所有有理項的系數之和. 【答案】（1）（2）- 【分析】 （1）由二項式定理展開式中的通項公式求出前三項，由前三項系數的絕對值成等差數列列方程即可求得，問題得解． （2）由，對賦值，使得的指數為正數即可求得所有理項，問題得解． 【詳解】 （1）由二項式定理得展開式中第項為 ， 所以前三項的系數的絕對值分別為1，，， 由題意可得，整理得， 解得或（舍去）， 則展開式中二項式系數最大的項是第五項， （2）因為， 若該項為有理項，則是整數，

40、 又因為， 所以或或， 所以所有有理項的系數之和為 【點睛】 本題主要考查了二項式定理及其展開式的通項公式，考查分析能力，轉化能力及計算能力，屬于基礎題． 33．已知(1+x2)2n的展開式的系數和比(3x-1)n的展開式的系數和大992,求的展開式中: (1)二項式系數最大的項; (2)系數的絕對值最大的項. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 先令分別求得兩個二項式展開式的系數和，利用兩者的差為列方程，解方程求得的值.所求二項式為.（1）由于，故二項式系數最大的為第六項，根據二項式展開式的通項公式求得這個項.（2）設第項的系數的絕對值最大，化簡二項式展開式的通項公式，利

41、用系數絕對值最大項比前后兩項的系數的絕對值都大列不等式組，解不等式組求得的取值范圍，由此求得的值. 【詳解】 由題意得22n-2n=992,解得n=5. (1)的展開式中第6項的二項式系數最大,即T6=(2x)5=-8 064. (2)設第k+1項的系數的絕對值最大, 則Tk+1=(2x)10-k=(-1)k210-kx10-2k, 得 即 k, ∵k∈N,∴k=3, 故系數的絕對值最大的是第4項T4=(-1)327x4=-15 360x4. 【點睛】 本小題主要考查二項式展開式的系數，考查二項式展開式中二項式系數的最大值，考查系數的絕對值最大的項的求法，屬于中檔題

42、. 34．已知的展開式的二項式系數和比的展開式系數和大992． 求的展開式中；（1）二項式系數最大的項；（2）系數的絕對值最大的項． 【答案】（1）-8064（2） 【分析】 （1）先根據二項式系數和列方程求，再根據組合數性質確定二項式系數最大的項，最后根據二項展開式通項公式求結果，（2）先根據二項展開式通項公式得各項系數，根據條件列方程組，解得系數的絕對值最大的項的項數，再代入二項展開式通項公式得結果 【詳解】 解：由題意 （1）的展開式中第6項的二項式系數最大， 即 （2）設第項的系數的絕對值最大， 因為 ，， 【點睛】 本題考查二項式系數和以及二項展開式系數，考查基本分析求解能力，屬中檔題. 35．已知的展開式中前三項的系數成等差數列． （Ⅰ）求n的值； （Ⅱ）求展開式中系數最大的項． 【答案】（1）8（2）， 【詳解】 解：（Ⅰ）由題設，得， 即，解得n＝8，n＝1（舍去）． （Ⅱ）設第r＋1的系數最大，則 即解得r＝2或r＝3． 所以系數最大的項為，．