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1、△+△2019年數(shù)學(xué)高考教學(xué)資料△+△
第九節(jié) 函數(shù)模型及其應(yīng)用
[全盤鞏固]
1.(2014日照模擬)物價上漲是當(dāng)前的主要話題,特別是菜價,我國某部門為盡快穩(wěn)定菜價,提出四種綠色運(yùn)輸方案.據(jù)預(yù)測,這四種方案均能在規(guī)定的時間T內(nèi)完成預(yù)測的運(yùn)輸任務(wù)Q0,各種方案的運(yùn)輸總量Q與時間t的函數(shù)關(guān)系如圖所示,在這四種方案中,運(yùn)輸效率(單位時間的運(yùn)輸量)逐步提高的是( )[來源:]
解析:選B 由運(yùn)輸效率(單位時間的運(yùn)輸量)逐步提高得曲線上的點(diǎn)的切線斜率應(yīng)該逐漸增大.
2.客車從甲地以60 km/h的速度勻速行駛1小時到達(dá)乙地,在乙地停留了半小時,然后以80 km/h的速度
2、勻速行駛1小時到達(dá)丙地.下列描述客車從甲地出發(fā),經(jīng)過乙地,最后到達(dá)丙地所經(jīng)過的路程s與時間t之間的關(guān)系式正確的是 ( )
A.s(t)=60t,0≤t≤ B.s(t)=
C.s(t)= D.s(t)=
解析:選D 由題意可得路程s與時間t之間的關(guān)系式為s(t)=
3.在一次數(shù)學(xué)試驗(yàn)中,采集到如下一組數(shù)據(jù):[來源:]
x
-2
-1
0
1
2
3
y
0.24
0.51
1
2.02
3.98
8.02
則下列函數(shù)與x,y的函數(shù)關(guān)系最接近的是(其中a,b為待定系數(shù))( )
A.y=a+bx B.y=a+bx
C.y=
3、ax2+b D.y=a+
解析:選B 由數(shù)據(jù)可知x,y之間的函數(shù)關(guān)系近似為指數(shù)型.
4.一個人以6米/秒的速度去追停在交通燈前的汽車,當(dāng)他離汽車25米時,交通燈由紅變綠,汽車以1米/秒2的加速度勻加速開走,那么( )
A.人可在7秒內(nèi)追上汽車
B.人可在10秒內(nèi)追上汽車
C.人追不上汽車,其間距最少為5米
D.人追不上汽車,其間距最少為7米
解析:選D 設(shè)汽車經(jīng)過t秒行駛的路程為s米,則s=t2,車與人的間距d=(s+25)-6t=t2-6t+25=(t-6)2+7,當(dāng)t=6時,d取得最小值為7.
5.圖形M(如圖所示)是由底為1,高為1的等腰三角形及高
4、為2和3的兩個矩形所構(gòu)成,函數(shù)S=S(a)(a≥0)是圖形M介于平行線y=0及y=a之間的那一部分面積,則函數(shù)S(a)的圖象大致是( )
解析:選C 法一:依題意,當(dāng)0≤a≤1時,S(a)=+2a=-a2+3a;
當(dāng)13時,S(a)=+2+3=,[來源:]
于是S(a)=
由解析式可知選C.
法二:直線y=a在[0,1]上平移時S(a)的變化量越來越小,故可排除選項(xiàng)A、B.而直線y=a在[1,2]上平移時S(a)的變化量比在[2,3]上的變化量大,故可排除選項(xiàng)D.
6.(2014溫州模擬
5、)某輛汽車購買時的費(fèi)用是15萬元,每年使用的保險費(fèi)、路橋費(fèi)、汽車費(fèi)等約為1.5萬元.年維修保養(yǎng)費(fèi)用第一年3 000元,以后逐年遞增3 000元,則這輛汽車報廢的最佳年限(即使用多少年的年平均費(fèi)用最少)是( )
A.8年 B.10年 C.12年 D.15年
解析:選B 當(dāng)這輛汽車使用n年時,相應(yīng)的年平均費(fèi)用為=≥,當(dāng)且僅當(dāng)=0.3n,即n=10時取等號,因此這輛汽車使用10年時,相應(yīng)的年平均費(fèi)用最少.故這輛汽車報廢的最佳年限是10年.
7.一個容器裝有細(xì)沙a cm3,細(xì)沙從容器底下一個細(xì)微的小孔慢慢地勻速漏出,t min后剩余的細(xì)沙量為y=ae-bt(cm3),經(jīng)過8
6、min后發(fā)現(xiàn)容器內(nèi)還有一半的沙子,則再經(jīng)過________min,容器中的沙子只有開始時的八分之一.
解析:依題意有ae-b8=a,
∴b=,
∴y=ae- t
若容器中只有開始時的八分之一,
則有ae-t=a.
解得t=24,
所以再經(jīng)過的時間為24-8=16 min.
答案:16
8.某公司在甲、乙兩地銷售一種品牌車,利潤(單位:萬元)分別為L1=5.06x-0.15x2和L2=2x,其中x為銷售量(單位:輛).若該公司在這兩地共銷售15輛車,則能獲得的最大利潤為________萬元.
解析:設(shè)該公司在甲地銷售x輛,則在乙地銷售(15-x)輛,利潤為L(x)=5.06x
7、-0.15x2+2(15-x)=-0.15x2+3.06x+30=-0.152+0.15+30,由于x為整數(shù),所以當(dāng)x=10時,L(x)取最大值L(10)=45.6,即能獲得的最大利潤為45.6萬元.
答案:45.6
9.某商場宣傳在節(jié)假日對顧客購物實(shí)行一定的優(yōu)惠,商場規(guī)定:
①如一次購物不超過200元,不予以折扣;
②如一次購物超過200元,但不超過500元,按標(biāo)價予以九折優(yōu)惠;
③如一次購物超過500元的,其中500元給予九折優(yōu)惠,超過500元的給予八五折優(yōu)惠.
某人兩次去購物,分別付款176元和432元,如果他只去一次購買同樣的商品,則應(yīng)付款________元.
解析:由題
8、意知付款432元,實(shí)際標(biāo)價為432=480元,如果一次購買標(biāo)價176+480=656元的商品應(yīng)付款5000.9+1560.85=582.6元.
答案:582.6
10.設(shè)某旅游景點(diǎn)每天的固定成本為500元,門票每張為30元,變動成本與購票進(jìn)入旅游景點(diǎn)的人數(shù)的算術(shù)平方根成正比.一天購票人數(shù)為25時,該旅游景點(diǎn)收支平衡;一天購票人數(shù)超過100時,該旅游景點(diǎn)須另交保險費(fèi)200元.設(shè)每天的購票人數(shù)為x,盈利額為y元.
(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系;
(2)該旅游景點(diǎn)希望在人數(shù)達(dá)到20人時就不出現(xiàn)虧損,若用提高門票價格的措施,則每張門票至少要多少元(取整數(shù))?(參考數(shù)據(jù):≈1.41,≈1.73,
9、≈2.24)
解:(1)根據(jù)題意,當(dāng)購票人數(shù)不多于100時,可設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系為
y=30x-500-k(k為常數(shù),k∈R且k≠0).
∵人數(shù)為25時,該旅游景點(diǎn)收支平衡,
∴3025-500-k=0,
解得k=50.
∴y=
(2)設(shè)每張門票價格提高為m元,根據(jù)題意,
得m20-50-500≥0,
∴m≥25+5≈36.2,[來源:]
故每張門票最少要37元.
11.為了保護(hù)環(huán)境,發(fā)展低碳經(jīng)濟(jì),某單位在國家科研部門的支持下,進(jìn)行技術(shù)攻關(guān),采用了新工藝,把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品.已知該單位每月的處理量最少為400噸,最多為600噸,月處理成本y(元)與月
10、處理量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為y=x2-200x+80 000,且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品的價值為100元.
(1)該單位每月處理量為多少噸時,才能使每噸的平均處理成本最低?
(2)該單位每月能否獲利?如果獲利,求出最大利潤;如果不獲利,則國家至少需要補(bǔ)貼多少元才能使該單位不虧損?
解:(1)由題意可知,二氧化碳的每噸平均處理成本為
=x+-200≥2 -200=200,
當(dāng)且僅當(dāng)x=,即x=400時,上式取等號,
即當(dāng)每月處理量為400噸時,才能使每噸的平均處理成本最低,最低成本為200元.
(2)設(shè)該單位每月獲利為S,
則S=100x-y=100x
11、-=-x2+300x-80 000=-(x-300)2-35 000,
因?yàn)?00≤x≤600,
所以當(dāng)x=400時,S有最大值-40 000.
故該單位不獲利,需要國家每月至少補(bǔ)貼40 000元,才能不虧損.
12.某特許專營店銷售西安世界園藝博覽會紀(jì)念章,每枚進(jìn)價為5元,同時每銷售一枚這種紀(jì)念章還需向世博會管理處交特許經(jīng)營管理費(fèi)2元,預(yù)計這種紀(jì)念章以每枚20元的價格銷售時該店一年可銷售2 000枚,經(jīng)過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)每枚紀(jì)念章的銷售價格在每枚20元的基礎(chǔ)上每減少一元則增加銷售400枚,而每增加一元則減少銷售100枚,現(xiàn)設(shè)每枚紀(jì)念章的銷售價格為x(元).
(1)寫出該特許專營店一年內(nèi)
12、銷售這種紀(jì)念章所獲得的利潤y(元)與每枚紀(jì)念章的銷售價格x的函數(shù)關(guān)系式(并寫出這個函數(shù)的定義域);
(2)當(dāng)每枚紀(jì)念章銷售價格x為多少元時,該特許專營店一年內(nèi)利潤y(元)最大,并求出這個最大值.
解:(1)依題意
y=
∴y=
此函數(shù)的定義域?yàn)?0,40).
(2)y=
若0<x≤20,則當(dāng)x=16時,ymax=32 400(元).[來源:]
若20
13、針對學(xué)生高考成績的高低對任課教師進(jìn)行獎勵的.獎勵公式為f(n)=k(n)(n-10),n>10(其中n是任課教師所在班級學(xué)生參加高考該任課教師所任學(xué)科的平均成績與該科省平均分之差,f(n)的單位為元),而k(n)=現(xiàn)有甲、乙兩位數(shù)學(xué)任課教師,甲所教的學(xué)生高考數(shù)學(xué)平均分超出省平均分18分,而乙所教的學(xué)生高考數(shù)學(xué)平均分超出省平均分21分.則乙所得獎勵比甲所得獎勵多( )
A.600元 B.900元
C.1 600元 D.1 700元
解析:選D k(18)=200,∴f(18)=200(18-10)=1 600.又∵k(21)=300,∴f(2
14、1)=300(21-10)=3 300,∴f(21)-f(18)=3 300-1 600=1 700.
故乙所得獎勵比甲所得獎勵多1 700元.
2.某市居民自來水收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下:每戶每月用水不超過4噸時,每噸為1.80元,當(dāng)用水超過4噸時,超過的部分為每噸3.00元.若甲、乙兩戶某月共交水費(fèi)y元,且甲、乙兩戶該月用水量分別為5x噸、3x噸,則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為________.
解析:依題意可知,當(dāng)甲、乙兩戶用水量都不超過4噸,即0≤x≤時,y=1.8(5x+3x)=14.4x;當(dāng)甲戶用水量超過4噸,乙戶用水量不超過4噸,即
15、x-4.8;當(dāng)甲、乙兩戶用水量都超過4噸,即x>時,y=3(5x-4+3x-4)+41.82=24x-9.6.
故y=
答案:y=
[高頻滾動]
1.定義域?yàn)镽的奇函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱,當(dāng)x∈[0,1]時,f(x)=x,方程f(x)=log2 013x的實(shí)數(shù)根的個數(shù)為( )
A.1 006 B.1 007 C.2 012 D.2 014
解析:選A 因?yàn)閒(x)在R上是奇函數(shù),其圖象關(guān)于直線x=1對稱,且當(dāng)x∈[0,1]時,f(x)=x,所以f(x)在[-1,1]上單調(diào)遞增,
16、在[1,3]上單調(diào)遞減,且f(x)為周期函數(shù),周期T=4.令log2 013x=1,得x=2 013,故f(x)=log2 013x的實(shí)根有2503=1 006個.
2.對實(shí)數(shù)a和b,定義運(yùn)算“?”:a?b=設(shè)函數(shù)f(x)=(x2-2)?(x-1),x∈R.若函數(shù)y=f(x)-c的圖象與x軸恰有兩個公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)c的取值范圍是( )
A.(-1,1]∪(2,+∞) B.(-2,-1]∪(1,2]
C.(-∞,-2)∪(1,2] D.[-2,-1]
解析:選B 由題設(shè)知f(x)=畫出函數(shù)f(x)的圖象,如圖,A(2,1)、B(2,2)、C(-1,-1)、D(-1,-2).從圖象中可以看出,直線y=c與函數(shù)的圖象有且只有兩個公共點(diǎn)時,實(shí)數(shù)c的取值范圍是(-2,-1]∪(1,2].
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