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第七節(jié) 拋 物 線
[全盤(pán)鞏固]
1．拋物線x2＝(2a－1)y的準(zhǔn)線方程是y＝1，則實(shí)數(shù)a＝( )
A. B. C．－ D．－
解析：選D 把拋物線方程化為x2＝－2y，則p＝－a，故拋物線的準(zhǔn)線方程是y＝＝，則＝1，解得a＝－.[來(lái)源:數(shù)理化網(wǎng)]
2．直線4kx－4y－k＝0與拋物線y2＝x交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|＝4，則弦AB的中點(diǎn)到直線x＋＝0的距離等于( )
A. B．2 C. D．4
解析：選C 直線4kx－4y－k＝0，即y＝k
2、，即直線4kx－4y－k＝0過(guò)拋物線y2＝x的焦點(diǎn).設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝x1＋x2＋＝4，故x1＋x2＝，則弦AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，所以弦AB的中點(diǎn)到直線x＋＝0的距離是＋＝.
3．(2013江西高考)已知點(diǎn)A(2,0)，拋物線C：x2＝4y的焦點(diǎn)為F，射線FA與拋物線C相交于點(diǎn)M，與其準(zhǔn)線相交于點(diǎn)N，則|FM|∶|MN|＝( )
A．2∶ B．1∶2 C．1∶ D．1∶3
解析：選C FA：y＝－x＋1，與x2＝4y聯(lián)立，得xM＝－1，F(xiàn)A：y＝－x＋1，與y＝－1聯(lián)立，得N(4，－1)，由三角形相似知＝＝.
4．設(shè)F為拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)
3、，A，B，C為該拋物線上三點(diǎn)，若＋＋＝0，則||＋||＋||＝( )
A．9 B．6 C．4 D．3
解析：選B 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，
又F(1,0)，由＋＋＝0知，
(x1－1)＋(x2－1)＋(x3－1)＝0，即x1＋x2＋x3＝3，
||＋||＋||＝x1＋x2＋x3＋p＝6.
5．已知點(diǎn)M(1,0)，直線l：x＝－1，點(diǎn)B是l上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B垂直于y軸的直線與線段BM的垂直平分線交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡是( )
A．拋物線 B．橢圓
C．雙曲線的一支
4、 D．直線
解析：選A 由點(diǎn)P在BM的垂直平分線上，故|PB|＝|PM|.又PB⊥l，因而點(diǎn)P到直線l的距離等于點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離，所以點(diǎn)P的軌跡是拋物線．
6．(2013新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，若|PF|＝4，則△POF的面積為( )
A．2 B．2 C．2 D．4
解析：選C 設(shè)P(x0，y0)，根據(jù)拋物線定義得|PF|＝x0＋，所以x0＝3，
代入拋物線方程求得y2＝24，解得|y|＝2，
所以△POF的面積等于|OF||y|＝2＝2.
7．(2013北京高考)若拋物線y2＝2px
5、的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，則p＝________，準(zhǔn)線方程為_(kāi)_______．
解析：∵拋物線y2＝2px的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，∴＝1，解得p＝2，∴準(zhǔn)線方程為x＝－1.
答案：2 x＝－1
8．(2014麗水模擬)設(shè)Q為圓C：x2＋y2＋6x＋8y＋21＝0上任意一點(diǎn)，拋物線y2＝8x的準(zhǔn)線為l.若拋物線上任意一點(diǎn)P到直線l的距離為m，則m＋|PQ|的最小值為_(kāi)_______．
解析：如圖由拋物線定義可得，點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離等于其到焦點(diǎn)F的距離，故問(wèn)題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離與到圓上點(diǎn)的距離之和的最小值，由圓的知識(shí)可知當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P為圓心C和焦點(diǎn)F的連線與拋物線的交點(diǎn)，Q取CF的連線與
6、圓的交點(diǎn)時(shí)，距離之和取得最小值，即m＋|PQ|≥|CF|－r＝－2＝－2.
答案：－2.
9．拋物線y＝－x2上的點(diǎn)到直線4x＋3y－8＝0距離的最小值是________．
解析：
如圖，設(shè)與直線4x＋3y－8＝0平行且與拋物線y＝－x2相切的直線為4x＋3y＋b＝0，切線方程與拋物線方程聯(lián)立得消去y整理得3x2－4x－b＝0，則Δ＝16＋12b＝0，解得b＝－，所以切線方程為4x＋3y－＝0，拋物線y＝－x2上的點(diǎn)到直線4x＋3y－8＝0距離的最小值是這兩條平行線間的距離d＝＝.
答案：
10．已知以向量v＝為方向向量的直線l過(guò)點(diǎn)，拋物線C：y2＝2px(p>0)的頂點(diǎn)關(guān)于直
7、線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在該拋物線的準(zhǔn)線上．
(1)求拋物線C的方程；
(2)設(shè)A，B是拋物線C上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)A作平行于x軸的直線m，直線OB與直線m交于點(diǎn)N，若＋p2＝0(O為原點(diǎn)，A，B異于原點(diǎn))，試求點(diǎn)N的軌跡方程．[來(lái)源:
解：(1)由題意可得直線l的方程為y＝x＋，①
過(guò)原點(diǎn)垂直于l的直線方程為y＝－2x.②
解①②得x＝－.
∵拋物線的頂點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在該拋物線的準(zhǔn)線上，
∴－＝－2，p＝2.
∴拋物線C的方程為y2＝4x.
(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(x0，y0)，由題意知y0＝y(tǒng)1.
由＋p2＝0，得x1x2＋y1y2＋4＝0，
又y＝4x1
8、，y＝4x2，解得y1y2＝－8，③
直線ON：y＝x，即y0＝x0.④
由③④及y0＝y(tǒng)1得點(diǎn)N的軌跡方程為x＝－2(y≠0)．
11．已知定點(diǎn)A(1,0)和直線x＝－1上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)，且⊥，動(dòng)點(diǎn)P滿足∥，∥ (其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))．
(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)B(0,2)的直線l與(1)中的軌跡C相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)M，N，若<0，求直線l的斜率的取值范圍．
解：(1)設(shè)P(x，y)，E(－1，yE)，F(xiàn)(－1，yF)，
∵＝(－2，yE)(－2，yF)＝y(tǒng)EyF＋4＝0，
∴yEyF＝－4，①
又＝(x＋1，y－yE)，＝(1，－yF)，
且∥，∥，
9、
∴y－yE＝0且x(－yF)－y＝0，
∴yE＝y(tǒng)，yF＝－，
代入①得y2＝4x(x≠0)，
∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為y2＝4x(x≠0)．
(2)設(shè)l：y－2＝kx(易知k存在，且k≠0)，
聯(lián)立消去x，得ky2－4y＋8＝0，
Δ＝42－32k>0，即k<.
令M(x1，y1)，N(x2，y2)，
則y1＋y2＝，y1y2＝，
＝(x1－1，y1)(x2－1，y2)
＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2[來(lái)源:數(shù)理化網(wǎng)]
＝－＋1＋y1y2
＝2－＋y1y2＋1
＝＋1<0，
∴－12
10、珠海模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)點(diǎn)F，直線l：x＝－，點(diǎn)P在直線l上移動(dòng)，R是線段PF與y軸的交點(diǎn)，RQ⊥FP，PQ⊥l.
(1)求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡C的方程；
(2)設(shè)圓M過(guò)A(1,0)，且圓心M在曲線C上，TS是圓M在y軸上截得的弦，當(dāng)M運(yùn)動(dòng)時(shí)，弦長(zhǎng)|TS|是否為定值？請(qǐng)說(shuō)明理由．
解：
(1)依題意知，點(diǎn)R是線段FP的中點(diǎn)，且RQ⊥FP，
∴RQ是線段FP的垂直平分線．
∵|PQ|是點(diǎn)Q到直線l的距離．
點(diǎn)Q在線段FP的垂直平分線上，
∴|PQ|＝|QF|.
故動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是以F為焦點(diǎn)，l為準(zhǔn)線的拋物線，
其方程為y2＝2x(x>0)．
(2)弦長(zhǎng)|TS|為定值
11、．理由如下：取曲線C上點(diǎn)M(x0，y0)，M到y(tǒng)軸的距離為d＝|x0|＝x0，
圓的半徑r＝|MA|＝，
則|TS|＝2＝2，
因?yàn)辄c(diǎn)M在曲線C上，所以x0＝，
所以|TS|＝2＝2，是定值．
[沖擊名校]
已知直線y＝－2上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)Q作直線l1垂直于x軸，動(dòng)點(diǎn)P在l1上，且滿足OP⊥OQ(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，記點(diǎn)P的軌跡為C.
(1)求曲線C的方程；
(2)若直線l2是曲線C的一條切線，當(dāng)點(diǎn)(0,2)到直線l2的距離最短時(shí)，求直線l2的方程．
解：(1)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x，－2)．
∵OP⊥OQ，
∴當(dāng)x＝0時(shí)，P，O，Q三點(diǎn)共線，不符合
12、題意，故x≠0.
當(dāng)x≠0時(shí)，得kOPkOQ＝－1，[來(lái)源:]
即＝－1，化簡(jiǎn)得x2＝2y，
∴曲線C的方程為x2＝2y(x≠0)．
(2)∵直線l2與曲線C相切，
∴直線l2的斜率存在．
設(shè)直線l2的方程為y＝kx＋b，
由得x2－2kx－2b＝0.
∵直線l2與曲線C相切，
∴Δ＝4k2＋8b＝0，即b＝－.
點(diǎn)(0,2)到直線l2的距離
d＝[來(lái)源:]
＝
＝
≥2＝.
當(dāng)且僅當(dāng)＝，即k＝時(shí)，等號(hào)成立．
此時(shí)b＝－1.
∴直線l2的方程為x－y－1＝0或x＋y＋1＝0.
[高頻滾動(dòng)]
1．(2014宜賓模擬)已知點(diǎn)F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)，動(dòng)點(diǎn)P
13、
滿足|PF2|－|PF1|＝2，當(dāng)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是時(shí)，點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離是( )
A. B. C. D．2
解析：選A 由已知可得c＝，a＝1，∴b＝1.
∴雙曲線方程為x2－y2＝1(x≤－1)．
將y＝代入，可得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x＝－.
∴點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離為 ＝.
2．(2014上海模擬)已知雙曲線－＝1的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)M在雙曲線上且MF1⊥x軸，則F1到直線F2M的距離為_(kāi)_______．
解析：由題意知F1(－3,0)，設(shè)M(－3，y0)，代入雙曲線方程求得|y0|＝，即|MF1|＝.又|F1F2|＝6，利用直角三角形性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合得F1到直線F2M的距離為d＝＝＝.
答案：
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高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：第八章 ：第七節(jié)拋物線演練知能檢測(cè)
