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第四節(jié) 二次函數(shù)與冪函數(shù)
[全盤鞏固]
1.二次函數(shù)y=-x2+4x+t圖象的頂點在x軸上,則t的值是( )
A.-4 B.4 C.-2 D.2
解析:選A 二次函數(shù)圖象的頂點在x軸上,所以Δ=42-4(-1)t=0,解得t=-4.
2.下面給出4個冪函數(shù)的圖象,則圖象與函數(shù)大致對應的是 ( )
A.①y=x,②y=x2,③y=x,④y=x-1
B.①y=x3,②y=x2,③y=x,④y=x-1
C.①y=x2,②y=x3,③y=x,④y=x-1[來源:]
D.①y=x,②y=x,③y=x2,④y=
2、x-1
解析:選B 函數(shù)y=x2的定義域、值域分別為R和[0,+∞),且其圖象關于y軸對稱,故該函數(shù)應與圖象②對應;函數(shù)y=x=的定義域、值域都是[0,+∞),故該函數(shù)應與圖象③對應;函數(shù)y=x-1=,該函數(shù)應與圖象④對應,故排除選項C,D.對于函數(shù)y=x,隨著x的增大,函數(shù)圖象向x軸彎曲;而對于函數(shù)y=x3,隨著x的增大,函數(shù)圖象向y軸彎曲,故圖象①應與函數(shù)y=x3對應.
3.已知函數(shù)y=ax2+bx+c,如果a>b>c,且a+b+c=0,則它的圖象是( )
A B C D
解析:選D ∵a>b>c,a+b+c=0,
∴a>0,c<0,
∴y
3、=ax2+bx+c的開口向上,且與y軸的交點(0,c)在負半軸上.
4.若函數(shù)f(x)=x2+ax+b的圖象與x軸的交點為(1,0)和(3,0),則函數(shù)f(x)( )
A.在(-∞,2]上單調(diào)遞減,在[2,+∞)上單調(diào)遞增
B.在(-∞,3)上單調(diào)遞增
C.在[1,3]上單調(diào)遞增
D.單調(diào)性不能確定
解析:選A 由已知可得該函數(shù)的圖象的對稱軸為x=2,又二次項系數(shù)為1>0,所以f(x)在(-∞,2]上是單調(diào)遞減的,在[2,+∞)上是單調(diào)遞增的.
5.方程x2+ax-2=0在區(qū)間[1,5]上有解,則實數(shù)a的取值范圍為( )
A. B.(1,+∞)
C.
4、 D.
解析:選C 令f(x)=x2+ax-2,
由題意,知f(x)圖象與x軸在[1,5]上有交點,[來源:數(shù)理化網(wǎng)]
則解得-≤a≤1.
6.(2014衢州模擬)已知函數(shù)f(x)=ax2+2ax+4(0<a<3),若x1<x2,x1+x2=1-a,則( )
A.f(x1)=f(x2)
B.f(x1)<f(x2)
C.f(x1)>f(x2)
D.f(x1)與f(x2)的大小不能確定
解析:選B 函數(shù)的對稱軸為x=-1,
設x0=,
由0<a<3,得到-1<<,
又x1<x2,[來源:]
用單調(diào)性和離對稱軸的遠近作判斷,故選B.
7.若y=xa2-4a-9是
5、偶函數(shù),且在(0,+∞)內(nèi)是減函數(shù),則整數(shù)a的值是________.
解析:∵函數(shù)在(0,+∞)內(nèi)是減函數(shù),
∴a2-4a-9<0.
∴2-<a<2+,
又函數(shù)是偶函數(shù),
∴a2-4a-9是偶數(shù),
∴整數(shù)a的值可以是-1,1,3或5.
答案:-1,1,3或5
8.二次函數(shù)的圖象過點(0,1),對稱軸為x=2,最小值為-1,則它的解析式為________.
解析:依題意可設f(x)=a(x-2)2-1,
又其圖象過點(0,1),∴4a-1=1,∴a=.
∴f(x)=(x-2)2-1.
答案:f(x)=(x-2)2-1
9.(2014??谀M)二次函數(shù)f(x)的二次項系數(shù)
6、為正,且對任意x恒有f(2+x)=f(2-x),若f(1-2x2)<f(1+2x-x2),則x的取值范圍是________.
解析:由f(2+x)=f(2-x),知x=2為對稱軸,由于二次項系數(shù)為正的二次函數(shù)中距對稱軸較近的點的縱坐標較小,∴|1-2x2-2|<|1+2x-x2-2|,即|2x2+1|<|x2-2x+1|,∴2x2+1<x2-2x+1,∴-2<x<0.
答案:(-2,0)
10.設f(x)是定義在R上以2為最小正周期的周期函數(shù).當-1≤x<1時,y=f(x)的表達式是冪函數(shù),且經(jīng)過點.求函數(shù)在[2k-1,2k+1)(k∈Z)上的表達式.
解:設在[-1,1)上,f(x)
7、=xn,由點在函數(shù)圖象上,求得n=3.
令x∈[2k-1,2k+1),則x-2k∈[-1,1),
∴f(x-2k)=(x-2k)3.又f(x)周期為2,
∴f(x)=f(x-2k)=(x-2k)3.
即f(x)=(x-2k)3(k∈Z).
11.已知函數(shù)f(x)=x2+(2a-1)x-3.
(1)當a=2,x∈[-2,3]時,求函數(shù)f(x)的值域;
(2)若函數(shù)f(x)在[-1,3]上的最大值為1,求實數(shù)a的值.
解:(1)當a=2時,f(x)=x2+3x-3,x∈[-2,3],
對稱軸x=-∈[-2,3],∴f(x)min=f=--3=-,f(x)max=f(3)=15,
8、
∴函數(shù)f(x)的值域為.
(2)函數(shù)f(x)的對稱軸為x=-.
①當-≤1,即a≥-時,f(x)max=f(3)=6a+3,
∴6a+3=1,即a=-滿足題意;
②當->1,即a<-時,
f(x)max=f(-1)=-2a-1,∴-2a-1=1,即a=-1滿足題意.
綜上可知a=-或-1.
12.(2014湖州模擬)已知函數(shù)f(x)=x2-2ax+5(a>1).
(1)若f(x)的定義域和值域均是[1,a],求實數(shù)a的值;
(2)若f(x)在區(qū)間(-∞,2]上是減函數(shù),且對任意的x1,x2∈[1,a+1],總有|f(x1)-f(x2)|≤4,求實數(shù)a的取值范圍.
解:(1
9、)∵f(x)=(x-a)2+5-a2(a>1),
∴f(x)在[1,a]上是減函數(shù).
又定義域和值域均為[1,a].
∴即解得a=2.
(2)∵f(x)在區(qū)間(-∞,2]上是減函數(shù),
∴a≥2.
又x=a∈[1,a+1],且(a+1)-a≤a-1,
∴f(x)max=f(1)=6-2a,f(x)min=f(a)=5-a2.
∵對任意的x1,x2∈[1,a+1],總有|f(x1)-f(x2)|≤4,
∴f(x)max-f(x)min≤4,得-1≤a≤3.
又a≥2,∴2≤a≤3.
故實數(shù)a的取值范圍是[2,3].
[沖擊名校]
1.對于任意a∈[-1,1],函數(shù)f(x)
10、=x2+(a-4)x+4-2a的值恒大于零,那么x的取值范圍是( )
A.(1,3) B.(-∞,1)∪(3,+∞)
C.(1,2) D.(3,+∞)
解析:選B f(x)=x2+(a-4)x+4-2a=(x-2)a+x2-4x+4,
令g(a)=(x-2)a+x2-4x+4,[來源:]
由題意知即[來源:]
解得x>3或x<1,故選B.
2.已知函數(shù)f(x)=ax2-(3-a)x+1,g(x)=x,若對于任意實數(shù)x,f(x)與g(x)至少有一個為正數(shù),則實數(shù)a的取值范圍是( )
A.[0,3) B.[3,9) C.[1
11、,9) D.[0,9)
解析:選D 據(jù)題意只需轉(zhuǎn)化為當x≤0時,ax2-(3-a)x+1>0恒成立即可.結(jié)合f(x)=ax2-(3-a)x+1的圖象,當a=0時驗證知符合條件;當a≠0時必有a>0,當x=≥0時,函數(shù)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,故要使原不等式恒成立,只需f(0)>0即可,解得0<a≤3;當x=<0時,只需f>0即可,解得3
12、f(x)為偶函數(shù)
C.f(x)+1為奇函數(shù) D.f(x)+1為偶函數(shù)
解析:選C 法一:根據(jù)題意,令x1=x2=0,則f(0)=f(0)+f(0)+1,所以f(0)=-1.令x1=x,x2=-x,則f(0)=f(x)+f(-x)+1,所以f(x)+1+f(-x)+1=0,即f(x)+1=-[f(-x)+1],故f(x)+1為奇函數(shù).
法二:(特殊函數(shù)法)由條件f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1可取f(x)=x-1,而f(x)+1=x是奇函數(shù).
2.設y=f(x)是定義在R上的偶函數(shù),滿足f(x+1)=-f(x),且在[-1,0]上是增函數(shù),給出下列關于函數(shù)y=f(x)的三個命題:
①y=f(x)是周期函數(shù);
②y=f(x)的圖象關于直線x=1對稱;
③y=f(x)在[0,1]上是增函數(shù).
其中正確命題的序號是________.
解析:因偶函數(shù)f(x)滿足f(x+1)=-f(x),令x=x-1,則f(x)=-f(x-1),故f(x+1)=f(x-1),所以f(x)是周期為2的周期函數(shù),①正確;又f(1-x)=f(x-1)=f(1+x),所以y=f(x)的圖象關于直線x=1對稱,②正確;又函數(shù)f(x)在[-1,0]上是增函數(shù),則f(x)在[0,1]是減函數(shù),③錯誤.
答案:①②
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