《高中數(shù)學人教A版選修11學業(yè)分層測評12 拋物線的簡單幾何性質 Word版含解析》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高中數(shù)學人教A版選修11學業(yè)分層測評12 拋物線的簡單幾何性質 Word版含解析（9頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。
1、（人教版）精品數(shù)學教學資料
學業(yè)分層測評
(建議用時：45分鐘)
[學業(yè)達標]
一、選擇題
1．過拋物線y2＝4x的焦點作一條直線與拋物線相交于A，B兩點，它們的橫坐標之和等于5，則這樣的直線( )
A．有且僅有一條 B．有且僅有兩條
C．有無窮多條 D．不存在
【解析】 由定義，知|AB|＝5＋2＝7，因為|AB|min＝4，所以這樣的直線有且僅有兩條．
【答案】 B
2．過點(1,0)作斜率為－2的直線，與拋物線y2＝8x交于A，B兩點，則弦AB的長為( )
A．2 B．2
C．2 D．2
【解析】 設A，B兩點坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)
2、，由直線AB斜率為－2，且過點(1,0)得直線AB的方程為y＝－2(x－1)，代入拋物線方程y2＝8x得4(x－1)2＝8x，整理得x2－4x＋1＝0，則x1＋x2＝4，x1x2＝1，|AB|＝＝＝2.故選B.
【答案】 B
3．(2014全國卷Ⅰ)已知拋物線C：y2＝x的焦點為F，A(x0，y0)是C上一點，|AF|＝x0，則x0＝( )
A．1 B．2 C．4 D．8
【解析】 由y2＝x得2p＝1，即p＝，因此焦點F，準線方程為l：x＝－，設A點到準線的距離為d，由拋物線的定義可知d＝|AF|，從而x0＋＝x0，解得x0＝1，故選A.
【答案】 A
4．已知
3、拋物線y2＝2px(p>0)，過其焦點且斜率為1的直線交拋物線于A，B兩點，若線段AB的中點的縱坐標為2，則該拋物線的準線方程為( )
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝2 D．x＝－2
【解析】 設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由A，B兩點在拋物線上，得y＝2px1，①
y＝2px2，②
由①－②，得(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2)．又線段AB的中點的縱坐標為2，即y1＋y2＝4，直線AB的斜率為1，故2p＝4，p＝2，因此拋物線的準線方程為x＝－＝－1.
【答案】 B
5．設O為坐標原點，F(xiàn)為拋物線y2＝4x的焦點，A為拋物線上一點，若OA＝－4，則點
4、A的坐標為( ) 【導學號：26160061】
A．(2，2) B．(1，2)
C．(1,2) D．(2,2)
【解析】 設A(x，y)，則y2＝4x，①
O＝(x，y)，A＝(1－x，－y)，OA＝x－x2－y2＝－4，②
由①②可解得x＝1，y＝2.
【答案】 B
二、填空題
6．拋物線y2＝4x上的點到直線x－y＋4＝0的最小距離為________．
【解析】 可判斷直線y＝x＋4與拋物線y2＝4x相離，
設y＝x＋m與拋物線y2＝4x相切，
則由消去x得y2－4y＋4m＝0.
∴Δ＝16－16m＝0，m＝1.
又y＝x＋4與y＝x＋1的距離d＝＝，
則所求
5、的最小距離為.
【答案】
7．已知拋物線y2＝4x，過點P(4,0)的直線與拋物線相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，則y＋y的最小值是________．
【解析】 設AB的方程為x＝my＋4，代入y2＝4x得y2－4my－16＝0，則y1＋y2＝4m，y1y2＝－16，
∴y＋y＝(y1＋y2)2－2y1y2＝16m2＋32，
當m＝0時，y＋y最小為32.
【答案】 32
8．過拋物線y2＝2x的焦點F作直線交拋物線于A，B兩點，若|AB|＝，|AF|＜|BF|，則|AF|＝________.
【解析】 設過拋物線焦點的直線為y＝k，
聯(lián)立得
整理得k2x2
6、－(k2＋2)x＋k2＝0，
x1＋x2＝，x1x2＝.
|AB|＝x1＋x2＋1＝＋1＝，得k2＝24，
代入k2x2－(k2＋2)x＋k2＝0
得12x2－13x＋3＝0，
解之得x1＝，x2＝，又|AF|＜|BF|，
故|AF|＝x1＋＝.
【答案】
三、解答題
9．求過定點P(0,1)，且與拋物線y2＝2x只有一個公共點的直線方程．
【解】 如圖所示，若直線的斜率不存在，
則過點P(0,1)的直線方程為x＝0，
由得
即直線x＝0與拋物線只有一個公共點．
若直線的斜率存在，
則設直線為y＝kx＋1，代入y2＝2x得：
k2x2＋(2k－2)x＋1＝
7、0，
當k＝0時，直線方程為y＝1，與拋物線只有一個交點．
當k≠0時，Δ＝(2k－2)2－4k2＝0?k＝.此時，直線方程為y＝x＋1.
可知，y＝1或y＝x＋1為所求的直線方程．
故所求的直線方程為x＝0或y＝1或y＝x＋1.
10．已知拋物線的焦點F在x軸上，直線l過F且垂直于x軸，l與拋物線交于A，B兩點，O為坐標原點，若△OAB的面積等于4，求此拋物線的標準方程．
【解】 由題意，拋物線方程為y2＝2px(p≠0)，
焦點F，直線l：x＝，
∴A，B兩點坐標為，，
∴|AB|＝2|p|.
∵△OAB的面積為4，
∴2|p|＝4，∴p＝2.
∴拋物線方程為y2＝
8、4x.
[能力提升]
1．(2014全國卷Ⅱ)設F為拋物線C：y2＝3x的焦點，過F且傾斜角為30的直線交C于A，B兩點，則|AB|＝( )
A. B．6
C．12 D．7
【解析】 ∵F為拋物線C：y2＝3x的焦點，
∴F，
∴AB的方程為y－0＝tan 30，
即y＝x－.
聯(lián)立得x2－x＋＝0.
∴x1＋x2＝－＝，即xA＋xB＝.
由于|AB|＝xA＋xB＋p，所以|AB|＝＋＝12.
【答案】 C
2．已知AB是拋物線y2＝2px(p>0)上的兩點，O為原點，若||＝||，且拋物線的焦點恰好為△AOB的垂心，則直線AB的方程是( )
A．x＝p B．x
9、＝p
C．x＝p D．x＝3p
【解析】 ∵||＝|O|，
∴A，B關于x軸對稱．
設A(x0，)，B(x0，－)．
∵AF⊥OB，F(xiàn)，
∴＝－1，
∴x0＝p.
【答案】 C
3．(2014湖南高考)平面上一機器人在行進中始終保持與點F(1,0)的距離和到直線x＝－1的距離相等．若機器人接觸不到過點P(－1,0)且斜率為k的直線，則k的取值范圍是________．
【解析】 由題意知機器人行進軌跡為以F(1,0)為焦點，x＝－1為準線的拋物線，其方程為y2＝4x.設過點(－1,0)且斜率為k的直線方程為y＝k(x＋1)．代入y2＝4x，得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝
10、0.∵機器人接觸不到該直線，∴Δ＝(2k2－4)2－4k4<0，∴k2>1.∴k>1或k<－1.
【答案】 (－∞，－1)∪(1，＋∞)
4．已知直線l：y＝x＋，拋物線C：y2＝2px(p>0)的頂點關于直線l的對稱點在該拋物線的準線上．
(1)求拋物線C的方程；
(2)設A，B是拋物線C上兩個動點，過A作平行于x軸的直線m，直線OB與直線m交于點N，若OO＝0(O為原點，A，B異于原點)，試求點N的軌跡方程. 【導學號：26160062】
【解】 (1)直線l：y＝x＋.①
過原點且垂直于l的直線方程為y＝－2x.②
由①②，得x＝－.
∵拋物線的頂點關于直線l的對稱點在該拋物線的準線上，
∴－＝－2，∴p＝2.
∴拋物線C的方程為y2＝4x.
(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(x，y)．
由OO＝0，得x1x2＋y1y2＝0.
又y＝4x1，y＝4x2，
解得y1y2＝－16.③
直線ON：y＝x，即y＝x.④
由③④及y＝y(tǒng)1，得點N的軌跡方程為x＝－4(y≠0)．
高中數(shù)學人教A版選修11學業(yè)分層測評12 拋物線的簡單幾何性質 Word版含解析
