高一數學 人教版必修4：第一章 三角函數的概念 含解析

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1、（人教版）精品數學教學資料重點列表：重點列表：重點名稱重要指數重點 1弧度制及任意角的三角函數重點 2同角三角函數的基本關系及誘導公式重點詳解：重點詳解：一、弧度制及任意角的三角函數一、弧度制及任意角的三角函數1 1任意角(1)角的概念角可以看成平面內一條_繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所成的圖形我們規(guī)定：按_方向旋轉形成的角叫做正角，按_方向旋轉形成的角叫做負角如果一條射線沒有作任何旋轉，我們稱它形成了一個_(2)象限角使角的頂點與_重合，角的始邊與x軸的_重合角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限角是第一象限角可表示為|2k0)，則 sin，cos，tan(x0)cotxy(y0)，

2、secrx(x0)，cscry(y0)(2)正弦、余弦、正切函數的定義域三角函數定義域sincostan(3)三角函數值在各象限的符號sincostan4 4特殊角的三角函數值角030456090120135150180270360角的弧度數sincostansin156 24，sin756 24，tan152 3，tan752 3，由余角公式易求 15，75的余弦值和余切值【答案】1 1(1)射線逆時針順時針零角(2)原點非負半軸|2k22k，kZ Z|2k2k32，kZ Z|2k322k2，kZ Z或|2k22k，kZ Z(3)坐標軸|2k，kZ Z|2k2，kZ Z|2k32，kZ Z|

3、k，kZ Z|k2，kZ Z|k2，kZ Z(4)|2k，kZ Z或|k360，kZ Z2 2(1)半徑長lr(2)2180180 (3)|r12|r212lr3 3(1)yrxryx(2)R RR R|k2，kZ Z4 4. .角030456090120135150180270360角的弧度數06432233456322sin01222321322212010cos13222120122232101tan03313不存在 31330不存在0二、同角三角函數的關系及誘導公式二、同角三角函數的關系及誘導公式1 1同角三角函數的基本關系(1)由三角函數的定義，同角三角函數間有以下兩個等式：_；_(

4、2)同角三角函數的關系式的基本用途：根據一個角的某一三角函數值，求出該角的其他三角函數值；化簡同角的三角函數式；證明同角的三角恒等式2 2三角函數的誘導公式(1)誘導公式的內容：x函數sinxcosxtanxsincostan2cot32cot2(2)誘導公式的規(guī)律：三角函數的誘導公式可概括為：奇變偶不變，符號看象限其中“奇變偶不變”中的奇、偶分別是指2的奇數倍和偶數倍，變與不變是指函數名稱的變化.若是奇數倍，則正、余弦互變，正、余切互變；若是偶數倍，則函數名稱_“符號看象限”是把當成_時，原三角函數式中的角如2所在_原三角函數值的符號注意把當成銳角是指不一定是銳角，如 sin(360120)

5、sin120，sin(270120)cos120，此時把 120當成了銳角來處理“原三角函數”是指等號左邊的函數(3)誘導公式的作用：誘導公式可以將任意角的三角函數轉化為_三角函數，因此常用于化簡和求值，其一般步驟是：任意負角的三角函數去負（化負角為正角）任意正角的三角函數脫周脫去k3600到 360的三角函數化銳（把角化為銳角）銳角三角函數3 3sinsincoscos，sinsincoscos，sinsincoscos三者之間的關系(sincos)2_；(sincos)2_；(sincos)2(sincos)2_；(sincos)2(sincos)2_.【參考答案】1 1(1)sin2co

6、s21sincostan2 2(1)x函數sinxcosxtanxsincostan2cossincotsincostan32cossincot2sincostan(2)不變銳角象限(3)銳角3 312sincos12sincos24sincos重點重點 1 1：弧度制及任意角的三角函數：弧度制及任意角的三角函數【要點解讀】1 1將角的概念推廣后，要注意銳角與第一象限角的區(qū)別，銳角的集合為|090，第一象限角的集合為|k360k36090，kZ Z，顯然銳角的集合僅是第一象限角的集合的一個真子集，即銳角是第一象限角，但第一象限角不一定是銳角2 2角度制與弧度制可利用 180 rad 進行換算，

7、在同一個式子中，采用的度量制必須一致，不可混用如2k30(kZ Z)，k3602(kZ Z)的寫法都是不正確的3 3一般情況下，在弧度制下計算扇形的弧長和面積比在角度制下計算更方便、簡捷4 4已知角的終邊上一點的坐標可利用三角函數的定義求三角函數值，但要注意對可能情況的討論5 5牢記各象限三角函數值的符號，在計算或化簡三角函數關系時，要注意對角的范圍以及三角函數值的正負進行討論6 62k表示與終邊相同的角，其大小為與的偶數倍(而不是整數倍)的和，是的整數倍時，要分類討論如：(1)sin(2k)sin；(2)sin(k)sin（k為偶數） ，sin（k為奇數）(1)ksin.7 7在解簡單的三角

8、不等式時，利用單位圓及三角函數線是一個小技巧【考向 1】角的概念【例題】若是第二象限角，試分別確定 2，2，3的終邊所在位置(3)30k120360k120(kZ Z)，當k3n(nZ Z)時，30n360360n360，當k3n1(nZ Z)時，150n3603180n360，當k3n2(nZ Z)時，270n3603300n360.3的終邊在第一或第二或第四象限【評析】關于一個角的倍角、半角所在象限的討論，有些書上列有現(xiàn)成的結論表格，記憶較難解此類題一般步驟為先寫出的范圍求出 2，2，3的范圍分類討論求出 2，2，3終邊所在位置【考向 2】扇形的弧長與面積公式【例題】如圖所示，已知扇形AO

9、B的圓心角AOB120，半徑R6，求：(1)AB的長；(2)弓形ACB的面積解：(1)AOB12023，R6，lAB2364.【評析】直接用公式l|R可求弧長，利用S弓S扇S可求弓形面積關于扇形的弧長公式和面積公式有角度制與弧度制這兩種形式，其中弧度制不僅形式易記，而且好用，在使用時要注意把角度都換成弧度，使度量單位一致弧長、面積是實際應用中經常遇到的兩個量，應切實掌握好其公式并能熟練運用【考向 3】三角函數的定義【例題】已知角的終邊經過點P(a，2a)(a0)，求 sin，cos，tan的值解：因為角的終邊經過點P(a，2a)(a0)，所以r 5a，xa，y2a.sinyr2a5a2 55，

10、cosxra5a55，tanyx2aa2.【評析】若題目中涉及角終邊上一點P的相關性質或條件，往往考慮利用三角函數的定義求解重點重點 2 2：同角三角函數的基本關系及誘導公式：同角三角函數的基本關系及誘導公式【要點解讀】1 1誘導公式用角度制和弧度制表示都可，運用時應注意函數名稱是否要改變以及正負號的選取2 2已知一個角的某一個三角函數值，求這個角的其他三角函數值，這類問題用同角三角函數的基本關系式求解，一般分為三種情況：(1)一個角的某一個三角函數值和這個角所在的象限或終邊所在的位置都是已知的，此類情況只有一組解(2)一個角的某一個三角函數值是已知的，但這個角所在的象限或終邊所在的位置沒有給

11、出，解答這類問題，首先要根據已知的三角函數值確定這個角所在的象限或終邊所在的位置，然后分不同的情況求解(3)一個角的某一個三角函數值是用字母給出的，此類情況須對字母進行討論，并注意適當選取分類標準，一般有兩組解3 3計算、化簡三角函數式常用技巧(1)減少不同名的三角函數，或化切為弦，或化弦為切，如涉及 sin，cos的齊次分式問題，常采用分子分母同除以 cosn(nN N* *)，這樣可以將被求式化為關于 tan的式子(2)巧用“1”進行變形，如 1sin2cos2tancottan45sec2tan2等(3)平方關系式需開方時，應慎重考慮符號的選取(4)理解 sincos，sincos的內在

12、聯(lián)系，必要時可用方程思想或整體代換方法解決【考向 1】利用同角三角函數的基本關系式進行化簡和求值【例題】(1)已知 sin13，且為第二象限角，求 tan；(2)已知 sin13，求 tan；(3)已知 sinm(m0，m1)，求 tan.(3)sinm(m0，m1)，cos 1sin2 1m2(當為第一、四象限角時取正號，當為第二、三象限角時取負號)當為第一、四象限角時，tanm1m2；當為第二、三象限角時，tanm1m2.【評析】解題時要注意角的取值范圍，分類討論，正確判斷函數值的符號【考向 2】誘導公式的應用【例題】(1)化簡sin（2）cos（）cos2cos112cos（）sin（3

13、）sin（）sin92；(2)已知是第三象限角，且f()sin（）cos（2）tan()tan（）sin（）.若 cos3215，求f()的值；若1860，求f()的值【評析】三角式的化簡通常先用誘導公式，將角度統(tǒng)一后再用同角三角函數關系式，這可以避免交錯使用公式時導致的混亂在運用公式時正確判斷符號至關重要三角函數的化簡、求值是三角函數中的基本問題，也是高考?？嫉膯栴}，要予以重視難點列表：難點列表：難點名稱難度指數難點 1三角函數線的應用難點 2關于 sin，cos的齊次式問題難點詳解：難點詳解：三角函數線如圖，角的終邊與單位圓交于點P.過點P作x軸的垂線，垂足為M，過點A(1，0)作單位圓的

14、切線，設它與的終邊(當為第一、四象限角時)或其反向延長線(當為第二、三象限角時)相交于點T.根據三角函數的定義，有OMx_，MPy_，AT_.像OM，MP，AT這種被看作帶有方向的線段，叫做有向線段，這三條與單位圓有關的有向線段MP，OM，AT，分別叫做角的、，統(tǒng)稱為三角函數線【答案】cossinyxtan正弦線余弦線正切線難點難點 1 1：三角函數線的應用：三角函數線的應用【要點解讀】(1)已知角終邊上一點P的坐標求三角函數值，先求出點P到原點的距離r，然后利用三角函數定義求解(2)已知角的終邊與單位圓的交點坐標求三角函數值，可直接根據三角線求解(3)已知角的終邊所在的直線方程求三角函數值，

15、先設出終邊上一點的坐標，求出此點到原點的距離，然后利用三角函數定義求解相關問題，同時注意分類討論(4)判斷三角函數值的符號問題，先判斷角所在的象限，再根據各象限的符號規(guī)律判斷【考向 1】三角函數線的概念【例題】用單位圓證明角的正弦絕對值與余弦絕對值之和不小于 1，即已知 02，求證：|sin|cos|1.證明：作平面直角坐標系xOy和單位圓(1)當角的終邊落在坐標軸上時， 不妨設為Ox軸， 設它交單位圓于A點， 如圖 1， 顯然 sin0，cosOA1，所以|sin|cos|1.圖 1圖 2【評析】三角函數線是任意角的三角函數的幾何表示，利用單位圓中的三角函數線可以直觀地表示三角函數值的符號及

16、大小， 并能從任意角的旋轉過程中表示三角函數值的變化規(guī)律 在求三角函數的定義域、解三角不等式、證明三角不等式等方面，三角函數線具有獨特的簡便性【考向 2】利用三角函數線進行證明【例題】求證：當0，2 時，sintan.證明：如圖所示，設角的終邊與單位圓相交于點P，單位圓與x軸正半軸的交點為A，過點A作圓的切線交OP的延長線于T，過P作PMOA于M，連接AP，則在 RtPOM中，sinMP，在 RtAOT中，tanAT，又根據弧度制的定義，有APOP， 易 知SPOAS扇 形PO ASAOT， 即12OAMP12APOA12OAAT，即 sintan.難點難點 2 2：關于 sin，cos的齊次

17、式問題【要點解讀】(1)已知 sin(或 cos)的值， 求 cos(或 sin)、 tan的值時， 先利用平方關系 sin2cos21，再利用商數關系 tansincos，其中利用平方關系進行開方時要注意根據角所在的象限選擇恰當的符號(2)已知 tan的值，求 sin和 cos的值時，通常利用兩個基本關系式建立方程組求解【考向 1】一次變換【例題】已知tantan11，求下列各式的值(1)sin3cossincos；(2)sin2sincos2.【評析】(1)形如asinbcos和asin2bsincosccos2的式子分別稱為關于sin，cos的一次齊次式和二次齊次式，對涉及它們的三角變換

18、通常轉化為正切(分子分母同除以 cos或 cos2)求解如果分母為 1，可考慮將 1 寫成 sin2cos2.(2)已知 tanm的條件下， 求解關于 sin， cos的齊次式問題， 必須注意以下幾點： 一定是關于 sin，cos的齊次式(或能化為齊次式)的三角函數式 因為 cos0， 所以可以用 cosn(nN N* *)除之，這樣可以將被求式化為關于 tan的表示式，可整體代入 tanm的值，從而完成被求式的求值運算注意 1sin2cos2的運用【考向 2】高次變換【例題】已知 tan3，求 sin23sincos1 的值解法一：sin23sincos1sin23sincossin2cos

19、21tan23tan1tan21323313211.解法二：tan30，是第一、三象限角由sin2cos21，sin3cos，有sin31010，cos1010(為第一象限角)，或sin31010，cos1010(為第三象限角)sincos310.sin23sincos1910331011.【趁熱打鐵】【趁熱打鐵】1 1sin585的值為()A22B.22C32D322 2若 sin35，2，則 tan的值為()A34B34C43D433 3下列關系式中正確的是()Asin11cos10sin168Bsin168sin11cos10Csin11sin168cos10Dsin168cos10si

20、n114 4已知f(cosx)cos2x，則f(sin15)的值等于()A12B12C32D325 5若 sin是 5x27x60 的根，則sin32sin32tan2（2）cos2cos2sin（）()A35B53C45D546 6已知 sincos 2，(0，)，則 tan()A1B22C.22D17 7已知 sincos18，且42，則 cossin的值是_8 8若一扇形的周長為 60cm，那么當它的半徑和圓心角各為_cm 和_rad 時，扇形的面積最大9 9若是第三象限角，則 2，2分別是第幾象限角？1 10 0已知角的終邊經過點P(x， 2)(x0)且 cos36x，求 sintan

21、的值第一章第一章1 解：sin585sin(90645)sin4522.故選 A A. .2 解：sin35，2，cos45.tansincos34.故選 B B. .3解 ： cos10 sin80 ， sin168 sin(18012) sin12 ， sin11sin168cos10.故選 C C. .4 解：f(sin15)f(cos75)cos15032.故選 D D. .5 解 ： 由 5x2 7x 6 0 得x 35或x 2. sin 35. 原 式 cos（cos）tan2sin（sin）（sin）1sin53.故選 B B. .6 解：將 sincos2兩端平方，整理得 2s

22、incos1，2sincos2sincossin2cos22tantan211，即(tan1)20，解得 tan1.故選 A A. .7 解：42，sincos.12sincos(cossin)234，cossin32.故填3 32 2. .9 解：是第三象限角，2k2k32，kZ Z.4k224k3，kZ Z.2是第一、二象限角，或角的終邊在y軸非負半軸上又k22k34，kZ Z，當k2m(mZ Z)時，2m222m34(mZ Z)，則2是第二象限角；當k2m1(mZ Z)時，2m3222m74(mZ Z)，則2是第四象限角故2是第二、四象限角10 解：P(x， 2)(x0)，點P到原點的距離rx22.又 cosxx2236x，x 10，r2 3.當x 10時，點P( 10， 2)，由三角函數定義知 sin66，tan 21055.sintan66555 66 530.當x 10時，同理可求得 sintan6 55 630.