高中數(shù)學(xué)蘇教版必修4學(xué)案：第2章 章末分層突破 Word版含解析

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1、 精品資料 章末分層突破 [自我校對(duì)] ①坐標(biāo) ②平行四邊形 ③|a|＝ ④cos θ＝ 向量的線性運(yùn)算 向量的線性運(yùn)算包括向量的加法運(yùn)算、減法運(yùn)算及數(shù)乘運(yùn)算，其中平面向量基本定理及向量共線定理是考查的重點(diǎn)，解題時(shí)要結(jié)合圖形靈活構(gòu)造三角形或平行四邊形． 　如圖2­1所示，在△ABC中，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，且＝，與相交于點(diǎn)E，設(shè)＝a，＝b，試以a，b為基底表示. 圖2­1 【精彩點(diǎn)撥】　先由C，E，M三點(diǎn)共線?＝μ＋(1－μ)，由B，E，N三點(diǎn)共線?＝λ＋(1－λ)，再由，不共線

2、求λ，μ的值． 【規(guī)范解答】　∵＝＝b，＝＝a，由N，E，B三點(diǎn)共線知存在實(shí)數(shù)λ滿足＝λ＋(1－λ)＝λb＋(1－λ)a. 由C，E，M三點(diǎn)共線知存在實(shí)數(shù)μ滿足＝μ＋(1－μ)＝a＋(1－μ)b. ∴解得 ∴＝a＋b. [再練一題] 1．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，若ka＋2b與2a－4b平行，求實(shí)數(shù)k的值． 【解】　∵ka＋2b＝(k－6,2k＋4)，2a－4b＝(14，－4)， 由(ka＋2b)∥(2a－4b)得 (k－6)×(－4)－(2k＋4)×14＝0， 解得k＝－1. 向量的數(shù)量積運(yùn)算 數(shù)量積的運(yùn)算是向量運(yùn)算的核心，利用向量

3、的數(shù)量積可以解決以下問(wèn)題： 1．設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 平行問(wèn)題 a∥b?x1y2－x2y1＝0 垂直問(wèn)題 a⊥b?x1x2＋y1y2＝0 2.求向量的模及夾角問(wèn)題， (1)設(shè)a＝(x，y)，則|a|2＝x2＋y2或|a|＝； (2)兩向量a，b夾角θ的余弦(0≤θ≤π)， cos θ＝＝. 　設(shè)向量＝a，＝b，且||＝||＝4，∠AOB＝60°. (1)求|a＋b|，|a－b|； (2)求a＋b與a的夾角θ1，a－b與a的夾角θ2. 【精彩點(diǎn)撥】　利用|a±b|＝求解；利用cos θ＝求夾角． 【規(guī)范解答】　(1)∵|a＋b

4、|2＝(a＋b)(a＋b)＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝16＋2×4×4cos 60°＋16＝48， ∴|a＋b|＝4， ∴|a－b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝16， ∴|a－b|＝4. (2)∵(a＋b)·a＝|a|2＋a·b＝16＋4×4cos 60°＝24， ∴cos θ1＝＝＝. ∵θ∈[0°，180°]，∴θ1＝30°. ∵(a－b)·a＝|a|2－a·b＝16－4×4cos 60°＝8， ∴cos

5、θ2＝＝＝. ∵θ2∈[0°，180°]，∴θ2＝60°. [再練一題] 2．已知c＝ma＋nb，c＝(－2，2)，a⊥c，b與c的夾角為，b·c＝－4，|a|＝2，求實(shí)數(shù)m，n的值及a與b的夾角． 【解】　∵c＝(－2，2)，∴|c|＝4， 又a⊥c，∴a·c＝0. ∵b·c＝|b||c|cos ＝|b|×4×＝－4， ∴|b|＝2， 又c＝ma＋nb，∴c2＝ma·c＋n·b·c， ∴16＝－4n，∴n＝－4. 又a·c＝ma2＋na·b，

6、 ∴0＝8m－4a·b.① 又b·c＝ma·b＋n·b2， ∴ma·b＝12.② 由①②得m＝±， ∴a·b＝±2 ∴cos θ＝＝±，∵θ∈[0，π] ∴θ＝或. 向量的應(yīng)用 平面向量的應(yīng)用主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面：一是在平面幾何中的應(yīng)用，向量的加減運(yùn)算、向量的相等、平行、數(shù)乘向量、距離、夾角和向量的數(shù)量積之間有密切的聯(lián)系，因此利用向量方法可以解決平面幾何中的相關(guān)問(wèn)題；二是在物理學(xué)中的應(yīng)用，主要解決力、位移、速度等問(wèn)題． 　如圖2­2，在等腰直角△ABC中，角C是直角，CA＝C

7、B，D是CB的中點(diǎn)，E是AB上的一點(diǎn)，且AE＝2EB，求證：AD⊥CE. 圖2­2 【精彩點(diǎn)撥】　欲證AD⊥CE，即證·＝0.由于已有·＝0，故考慮選此兩向量為基底，從而應(yīng)用此已知條件．另外，如果進(jìn)一步考慮到此組基底是垂直關(guān)系，還可以建立直角坐標(biāo)系． 【規(guī)范解答】　法一：記＝a，＝b， 則＝b－a，且a·b＝0，|a|＝|b|. 因?yàn)椋剑絙－a. ＝－＝(b－a)＋a＝b＋a，所以 ·＝·＝b2－a2＝0. 可得AD⊥CE. 法二：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)AC＝BC＝2， 則C(0,0)，A(2,

8、0)，B(0,2)， 因?yàn)镈是CB的中點(diǎn)，則D(0,1)． 所以＝(－2,1)，＝(－2,2) 又＝＋＝＋＝(2,0)＋(－2,2)＝，所以·＝(－2,1)·＝(－2)×＋＝0，因此AD⊥CE. [再練一題] 3.如圖2­3，在細(xì)繩O處用水平力F2緩慢拉起所受重力G的物體，繩子與鉛垂方向的夾角為θ，繩子所受到的拉力為F1，求： 圖2­3 (1)|F1|，|F2|隨角θ的變化而變化的情況． (2)當(dāng)|F1|≤2|G|時(shí)，θ角的取值范圍． (3)當(dāng)|F1|＝2|F2|時(shí)，求角θ的值． 【解】　(1)由力的平衡原理知，G＋F1

9、＋F2＝0，作向量＝F1，＝F2，＝－G，則＋＝，∴四邊形OACB為平行四邊形，如圖． 由已知∠AOC＝θ，∠BOC＝， ∴||＝，||＝||＝||tan θ. 即|F1|＝，|F2|＝|G|tan θ，θ∈. 由此可知，當(dāng)θ從0逐漸增大趨向于時(shí)，|F1|，|F2|都逐漸增大． (2)當(dāng)|F1|≤2|G|時(shí)，有≤2|G|， ∴cos θ≥，又θ∈.∴θ∈. (3)當(dāng)|F1|＝2|F2|時(shí)，＝2|G|tan θ，∴＝，∴sin θ＝. ∴θ＝. 數(shù)形結(jié)合思想 平面向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算的定義及運(yùn)算法則、運(yùn)算律的推導(dǎo)中都滲透了數(shù)形結(jié)合思想．引入向量的坐標(biāo)表示，使向量運(yùn)算

10、代數(shù)化，將“數(shù)”和“形”緊密地結(jié)合起來(lái)．運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想可解決共線、平行、垂直、夾角、距離、面積等問(wèn)題． 　已知向量＝(2,0)，＝(2,2)，＝(cos α，sin α)，則與夾角的范圍是________． 【精彩點(diǎn)撥】　結(jié)合的坐標(biāo)給出點(diǎn)A的軌跡，并由直線與圓的知識(shí)求與夾角的范圍． 【規(guī)范解答】　建立如圖所示的直角坐標(biāo)系． ∵＝(2,2)，＝(2,0)，＝(cos α，sin α)， ∴點(diǎn)A的軌跡是以C(2,2)為圓心，為半徑的圓． 過(guò)原點(diǎn)O作此圓的切線，切點(diǎn)分別為M，N，連結(jié)CM，CN，如圖所示，則向量與的夾角范圍是∠MOB≤〈，〉≤∠NOB. ∵||＝2， ∴||＝|

11、|＝||， 知∠COM＝∠CON＝，但∠COB＝. ∴∠MOB＝，∠NOB＝， 故≤〈，〉≤. 【答案】　 [再練一題] 4．已知船在靜水中的速度大小為5 m/s，且船在靜水中的速度大小大于水流速度大小，河寬為20 m，船垂直到達(dá)對(duì)岸用的時(shí)間為5 s，則水流速度大小為_(kāi)_______m/s. 【解析】　設(shè)船在靜水中的速度為v1，水流速度為v2，船的實(shí)際速度為v3，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．|v1|＝5 m/s， |v3|＝＝4 m/s，則v3＝(0,4)，v1＝(－3,4)， v2＝v3－v1＝(0,4)－(－3,4)＝(3,0)． ∴|v2|＝3 m/s，即水流的速度

12、大小為3 m/s. 【答案】　3 1．(2015·江蘇高考)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，則m－n的值為_(kāi)_____． 【解析】　∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)， ∴∴∴m－n＝2－5＝－3. 【答案】?。? 2．(2015·全國(guó)卷Ⅰ改編)已知點(diǎn)A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，則向量＝________. 【解析】　方法一：設(shè)C(x，y)，則＝(x，y－1)＝(－4，－3)， 所以從而＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)． 方法二：＝(3,2)－(0,

13、1)＝(3,1)， ＝－＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)． 【答案】　(－7，－4) 3．(2015·北京高考)在△ABC中，點(diǎn)M，N滿足＝2，＝.若＝x＋y，則x＝________；y＝________. 【解析】　∵＝2，∴＝. ∵＝，∴＝(＋)， ∴＝－＝(＋)－ ＝－. 又＝x＋y，∴x＝，y＝－. 【答案】　?。? 4．(2014·江蘇高考)如圖2­4，在平行四邊形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，則·的值是________． 圖2­4 【解析】　由＝3，得＝＝，＝＋＝＋

14、，＝－＝＋－＝－.因?yàn)?#183;＝2，所以·＝2，即2－·－2＝2.又因?yàn)?＝25，2＝64，所以·＝22. 【答案】　22 5．(2016·全國(guó)卷Ⅱ改編)已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，則m＝________. 【解析】　(方法1)因?yàn)閍＝(1，m)，b＝(3，－2)，所以a＋b＝(4，m－2)． 因?yàn)?a＋b)⊥b，所以(a＋b)·b＝0，所以12－2(m－2)＝0，解得m＝8. (方法2)因?yàn)?a＋b)⊥b，所以(a＋b)·b＝0，即a·b＋b2＝3－2m＋32＋(－2)2＝16

15、－2m＝0，解得m＝8. 【答案】　8 6．(2016·四川高考改編)在平面內(nèi)，定點(diǎn)A，B，C，D滿足||＝||＝||，·＝·＝·＝－2，動(dòng)點(diǎn)P，M滿足||＝1，＝，則||2的最大值是________． 圖(1) 【解析】　法一：∵||＝||＝||， ∴點(diǎn)A，B，C在以點(diǎn)D為圓心的圓上． 又∵·＝·＝·＝－2， ∴，，兩兩夾角相等，均為120°，如圖(1)所示． 設(shè)圓D的半徑為r，則·＝r·r·cos 120°＝－2，∴r＝2. ∵＝，∴M為PC的

16、中點(diǎn)． ∵||＝1， ∴點(diǎn)P在以點(diǎn)A為圓心，1為半徑的圓上． 由上知△ABC為等邊三角形，邊長(zhǎng)為2. 設(shè)AC的中點(diǎn)為O，連接DO，OM，則點(diǎn)B，D，O三點(diǎn)共線， 則||＝3，＝＋＝＋. ∴2＝2＝2＋·＋2 ＝9＋3×1×cos〈，〉＋＝＋3cos〈，〉 ≤＋3＝，當(dāng)與同向時(shí)取等號(hào)，即||2的最大值是. 法二：∵||＝||＝||， ∴點(diǎn)A，B，C在以點(diǎn)D為圓心的圓上． ∵·＝·＝·＝－2， ∴，，兩兩夾角相等，均為120°. 由·＝||2×cos 120°＝－2，得||

17、＝2. 以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系如圖(2)所示，則B(－1，)，C(－1，－)，A(2,0)． 圖(2) 由＝知M為PC的中點(diǎn)． ∵||＝1， ∴點(diǎn)P在以點(diǎn)A為圓心，1為半徑的圓上． 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2＋cos θ，sin θ)，其中θ為以點(diǎn)A為頂點(diǎn)，以x軸正方向?yàn)槭歼吥鏁r(shí)針旋轉(zhuǎn)到AP所成的角， 則M， ＝， ∴||2＝＋ ＝ ＝≤＝. ∴||2的最大值為. 【答案】　 7．(2016·全國(guó)卷Ⅲ改編)已知向量＝，＝，則∠ABC＝________. 【解析】　因?yàn)椋?，＝，所?#183;＝＋＝.又因?yàn)?#183;＝||||&

18、#183;cos∠ABC＝1×1×cos∠ABC，所以cos∠ABC＝.又0°≤∠ABC≤180°，所以∠ABC＝30°. 【答案】　30° 8．(2016·天津高考改編)已知△ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)D，E分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)到點(diǎn)F，使得DE＝2EF，則·的值為_(kāi)_______． 【解析】　如圖所示，＝＋. 又D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)， 且DE＝2EF，所以＝，＝＋＝， 所以＝＋. 又＝－， 則·＝·(－) ＝·－2＋2－·

19、 ＝2－2－·. 又||＝||＝1，∠BAC＝60°， 故·＝－－×1×1×＝. 【答案】　 9．(2016·山東高考改編)已知非零向量m，n滿足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝，若n⊥(tm＋n)，則實(shí)數(shù)t的值為_(kāi)_______． 【解析】　∵n⊥(tm＋n)，∴n·(tm＋n)＝0，即tm·n＋|n|2＝0， ∴t|m||n|cos〈m，n〉＋|n|2＝0. 又4|m|＝3|n|，∴t×|n|2×＋|n|2＝0， 解得t＝－4. 【答案】　－4 10．(

20、2016·江蘇高考)如圖2­5，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)是AD上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，·＝4，·＝－1，則·的值是________． 圖2­5 【解析】　由題意，得·＝(＋)·(＋) ＝(＋)·(－＋)＝2－2 ＝||2－||2＝－1，① ·＝(＋)·(＋) ＝(＋3)·(－＋3) ＝92－2 ＝9||2－||2＝4.② 由①②得||2＝，||2＝. ∴·＝(＋)·(＋) ＝(＋2)·(－＋2)＝42－2 ＝4|

21、|2－||2＝4×－＝. 【答案】　 章末綜合測(cè)評(píng)(二)　平面向量 (時(shí)間120分鐘，滿分160分) 一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分．請(qǐng)把答案填寫在題中橫線上) 1．已知作用在點(diǎn)A(1,1)的三個(gè)力F1＝(3,4)，F(xiàn)2＝(2，－5)，F(xiàn)3＝(3,1)，則合力F＝F1＋F2＋F3的終點(diǎn)坐標(biāo)是________． 【解析】　∵F＝(8,0)，∴終點(diǎn)坐標(biāo)為(8,0)＋(1,1)＝(9,1)． 【答案】　(9,1) 2.－＋＋＝________. 【解析】　原式＝＋＋＝0＝ . 【答案】　 3．若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)

22、，若c＝λa＋μb，則λ，μ的值分別是________． 【解析】　∵c＝λa＋μb， ∴(－1,2)＝(λ，λ)＋(μ，－μ)， ∴∴ 【答案】　，－ 4．已知兩點(diǎn)A(4,1)，B(7，－3)，則與向量同向的單位向量的坐標(biāo)是________． 【解析】?。?3，－4)，||＝5，∴e＝＝(3，－4)＝. 【答案】　 5．(2016·鎮(zhèn)江高一檢測(cè))已知向量a＝(3x,1)，b＝(2，－5)，若a∥b，則x＝________. 【解析】　∵a∥b，∴－15x＝2，x＝－. 【答案】?。? 6．若|a|＝1，|b|＝2，a·b＝－1，則|a－b|＝_____

23、___. 【解析】　∵|a|＝1，|b|＝2，a·b＝－1 ∴|a－b|＝＝＝. 【答案】　 7．平面向量a，b中，若a＝(4，－3)，|b|＝1，且a·b＝5，則向量b＝________. 【解析】　設(shè)b＝(x，y)，則 ∴即b＝. 【答案】　 8．(2016·揚(yáng)州高一檢測(cè))下列5個(gè)說(shuō)法： ①共線的單位向量是相等向量； ②若a，b，c滿足a＋b＝c時(shí)，則以|a|，|b|，|c|為邊一定能構(gòu)成三角形； ③對(duì)任意的向量，必有|a＋b|≤|a|＋|b|； ④(a·b)c＝c(b·c)； ⑤(a＋b)·c＝a

24、83;c＋b·c.其中正確的是________． 【解析】　共線也有可能反向，故①不正確；若|a|＝0，顯然不能構(gòu)成三角形，故②不正確；由數(shù)量積的性質(zhì)知④不正確；由向量加法的三角形法則知③正確；由數(shù)量積的性質(zhì)知⑤正確． 【答案】?、邰? 9．(2016·南京高一檢測(cè))已知a＝(1，n)，b＝(－1，n)，且2a－b與b垂直，則|a|等于________． 【解析】　2a－b＝(3，n)，∵(2a－b)·b＝0，∴n2－3＝0，∴n2＝3，∴|a|2＝1＋n2＝4，∴|a|＝2. 【答案】　2 10．已知向量a＝(2，－1)，b＝(x，－2)，c＝(3，y

25、)，若a∥b，(a＋b)⊥(b－c)，M(x，y)，N(y，x)，則向量的模為_(kāi)_______． 【解析】　∵a∥b，∴2×(－2)－(－1)x＝0，解得x＝4， ∴b＝(4，－2)，∴a＋b＝(6，－3)，b－c＝(1，－2－y)． ∵(a＋b)⊥(b－c)，∴(a＋b)·(b－c)＝0， 即6－3(－2－y)＝0，解得y＝－4， ∴＝(y－x，x－y)＝(－8,8)，∴||＝8. 【答案】　8 11．(2016·泰州高一檢測(cè))△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，已知向量a，b滿足＝2a，＝2a＋b，則下列結(jié)論正確的是________． (1)|b|

26、＝1；(2)a⊥b；(3)a·b＝1；(4)(4a＋b)⊥. 【解析】　如圖△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形． 由已知b＝－2a＝－＝， 顯然(1)(2)(3)錯(cuò)，(4a＋b)·＝2·＋||2＝2×2×2×cosπ＋22＝0，∴(4a＋b)⊥. 【答案】　(4) 12．如圖1，非零向量＝a，＝b，且BC⊥OA，C為垂足，若＝λa，則λ＝________. 圖1 【解析】?。剑溅薬－b，∵⊥，∴a·(λa－b)＝0，則λ＝. 【答案】　 13．已知向量a＝(6,2)，b＝，直線l過(guò)點(diǎn)A(3，－1)且與向量

27、a＋2b垂直，則直線l的方程為_(kāi)_______． 【解析】　∵a＋2b＝(－2,3)， 在l上任取一點(diǎn)P(x，y)，則有⊥(a＋2b)， ∴·(a＋2b)＝0， ∴(x－3，y＋1)·(－2,3)＝0， ∴2x－3y－9＝0. 【答案】　2x－3y－9＝0 14．已知＝(2,2)，＝(4,1)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，在x軸上求一點(diǎn)P，使·有最小值，則P點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_______． 【解析】　設(shè)P(x,0)，∴·＝(x－2，－2)·(x－4，－1)＝(x－2)(x－4)＋2＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，當(dāng)x＝3時(shí)，·有最小

28、值，∴P(3,0)． 【答案】　(3,0) 二、解答題(本大題共6小題，共90分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟) 15．(本小題滿分14分)在平行四邊形ABCD中，＝a，＝b， (1)如圖①，如果E，F(xiàn)分別是BC，DC的中點(diǎn)，試用a，b分別表示，. (2)如圖②，如果O是AC與BD的交點(diǎn)，G是DO的中點(diǎn)，試用a，b表示. 圖2 【解】　(1)＝＋＝＋＝－＝－a＋b. ＝＋＝－＝a－b. (2)＝－＝b－a， ∵O是BD的中點(diǎn)，G是DO的中點(diǎn)， ∴＝＝(b－a)， ∴＝＋＝a＋(b－a) ＝a＋b. 16．(本小題滿分14分)已知平面向量a＝(1，x)

29、，b＝(2x＋3，－x)，x∈R. (1)若a⊥b，求x的值； (2)若a∥b，求|a－b|. 【解】　(1)若a⊥b，則a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x)＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0. 整理得x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3. (2)若a∥b，則有1×(－x)－x(2x＋3)＝0，即x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2. 當(dāng)x＝0時(shí)，a＝(1,0)，b＝(3,0)， ∴a－b＝(－2,0)，|a－b|＝2. 當(dāng)x＝－2時(shí)，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，a－b＝(2，－4)，|a－b|＝＝2. 17．(本小題

30、滿分14分)(2016·無(wú)錫高一檢測(cè))在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)． (1)求以線段AB，AC為鄰邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)； (2)設(shè)實(shí)數(shù)t滿足(－t)·＝0，求t的值． 【解】　(1)由題設(shè)，知＝(3,5)，＝(－1,1)，則＋＝(2,6)，－＝(4,4)． 所以|＋|＝2，|－|＝4.故所求的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別為4，2. (2)由題設(shè)，知＝(－2，－1)，－t＝(3＋2t,5＋t)． 由(－t)·＝0，得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0， 從而5t＝－11，所以t＝－.

31、18．(本小題滿分16分)設(shè)兩個(gè)向量e1，e2滿足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夾角為60°，若向量2te1＋7e2與e1＋te2的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)t的取值范圍． 【解】　由向量2te1＋7e2與e1＋te2的夾角為鈍角， 得＜0， 即(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＜0. 整理得：2te＋(2t2＋7)e1·e2＋7te＜0.(*) ∵|e1|＝2，|e2|＝1，〈e1，e2〉＝60°. ∴e1·e2＝2×1×cos 60°＝1 ∴(*)式化簡(jiǎn)得：2t2＋15t＋7＜0. 解得：

32、－7＜t＜－. 當(dāng)向量2te1＋7e2與e1＋te2夾角為180°時(shí)， 圖3 設(shè)2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)(λ＜0)． 對(duì)比系數(shù)得， ∴ ∴所求實(shí)數(shù)t的取值范圍是 ∪. 19．(本小題滿分16分)設(shè)作用于同一點(diǎn)O的三個(gè)力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3處于平衡狀態(tài)，若|F1|＝1，|F2|＝2，F(xiàn)1與F2的夾角為π，如圖3所示． 求：(1)F3的大小； (2)∠F3OF2的大?。? 【解】　(1)F1、F2、F3三個(gè)力處于平衡狀態(tài)， 故F1＋F2＋F3＝0. 即F3＝－(F1＋F2)． ∴|F3|＝|F1＋F2|＝ ＝ ＝＝. (2)如圖所示，以F2所在

33、直線為x軸，合力作用點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，將向量F1，F(xiàn)3正交分解，設(shè)∠MOF3＝θ， 由受力平衡知 即 將數(shù)值代入得 ∴θ＝. 于是得∠F3OF2＝π－＝π. 20．(本小題滿分16分)在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知向量a＝(－1,2)，且點(diǎn)A(8,0)，B(n，t)，C(ksin θ，t)，θ∈. (1)若⊥a，且||＝||，求向量； (2)若向量與向量a共線，當(dāng)k＞4，且tsin θ取最大值4時(shí)，求·. 【解】　(1)因?yàn)椋?n－8，t)，且⊥a， 所以8－n＋2t＝0，即n＝8＋2t. 又||＝||， 所以5×64＝(n－8)2＋t2＝5t2，解得t＝±8. 則n＝24或－8， 所以＝(24,8)或(－8，－8)． (2)因?yàn)椋?ksin θ－8，t)，與a共線， 所以t＝－2ksin θ＋16. 又tsin θ＝(－2ksin θ＋16)sin θ ＝－2k2＋， 當(dāng)k＞4時(shí)，1＞＞0， 所以當(dāng)sin θ＝時(shí)，tsin θ取得最大值； 由＝4，得k＝8，此時(shí)θ＝， 故＝(4,8)， 所以·＝8×4＋8×0＝32.