《高中數(shù)學蘇教版選修21學案:第1章 章末分層突破 Word版含解析》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高中數(shù)學蘇教版選修21學案:第1章 章末分層突破 Word版含解析(9頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、 精品資料
章末分層突破
[自我校對]
①逆否命題
②必要條件
③p?q
④且q
⑤或
⑥全稱命題
⑦存在量詞
四種命題及其相互關(guān)系
四種命題是指原命題、逆命題、否命題和逆否命題.一般地,用p和q分別表示原命題的條件和結(jié)論,用非p和非q分別表示p和q的否定,于是四種命題的形式就是:原命題:若p,則q;逆命題:若q,則p;否命題:若非p,則非q;逆否命題:若非q,則非p.
原命題與它的逆命題、否命題之間的真假是不確定的,而原命題與它的逆否命題(或它的逆命題與它的否命題)之間在真假上是始終保持一致
2、的,即同真同假.正是因為原命題與逆否命題的真假一致,所以對某些命題的證明可轉(zhuǎn)化為證明其逆否命題.
已知a,b,c∈R,寫出命題“若ac<0,則方程ax2+bx+c=0有兩個不相等的實數(shù)根”的逆命題、否命題、逆否命題,并判斷這三個命題的真假.
【精彩點撥】 按照四種命題的定義寫出命題,只需判定原命題及逆命題的真假,利用互為逆否命題的命題是等價命題,可知否命題與逆否命題的真假.
【規(guī)范解答】 逆命題:“若方程ax2+bx+c=0(a,b,c∈R)有兩個不相等的實數(shù)根,則ac<0”,是假命題.
如當a=1,b=-3,c=2時,方程x2-3x+2=0有兩個不等實根x1=1,x2=2,但ac=
3、2>0.
否命題:“若ac≥0,則方程ax2+bx+c=0(a,b,c∈R)沒有兩個不相等的實數(shù)根”,是假命題.
這是因為它和逆命題互為逆否命題,而逆命題是假命題.
逆否命題:“若方程ax2+bx+c=0(a,b,c∈R)沒有兩個不相等的實數(shù)根,則ac≥0”,是真命題.
因為原命題是真命題,而逆否命題與原命題等價.
[再練一題]
1.給出下列命題:
①已知a=(3,4),b=(0,-1),則a在b方向上的投影為-4.
②函數(shù)y=tan的圖象關(guān)于點成中心對稱.
③命題“如果ab=0,則a⊥b”的否命題和逆命題都是真命題.
④若a≠0,則ab=ac是b=c成立的必要不充分條件.
4、
其中正確命題的序號是________.(將所有正確的命題序號都填上)
【解析】 ①∵|a|=5,|b|=1,ab=-4,∴cos〈a,b〉=-,
∴a在b方向上的投影為|a|cos〈a,b〉=-4,①正確.
②當x=時,tan無意義,
由正切函數(shù)y=tan x的圖象的性質(zhì)知,②正確.
③∵原命題的逆命題為“若a⊥b,則ab=0”為真,
∴其否命題也為真.∴③正確.
④當a≠0,b=c時,ab=ac成立.
(當a≠0,ab=ac時不一定有b=c)
∴④正確.
【答案】?、佗冖邰?
充分條件與必要條件的判斷
關(guān)于充分條件、必要條件與充要條件的判定,實際上是對命題真假的
5、判定;
若“p?q”,且“pDq”,則p是q的“充分不必要條件”,同時q是p的“必要不充分條件”;
若“p?q”,則p是q的“充要條件”,同時q是p的“充要條件”;
若“pDq”,則p是q的“既不充分也不必要條件”,同時q是p的“既不充分也不必要條件”.
設(shè)p:實數(shù)x滿足x2-4ax+3a2<0,a<0.
q:實數(shù)x滿足x2-x-6≤0或x2+2x-8>0.
且非p是非q的必要不充分條件,求實數(shù)a的取值范圍.
【精彩點撥】 非p是非q的必要不充分條件也就是p是q的充分不必要條件(q是p的必要不充分條件).利用集合之間關(guān)系列不等式組求解.
【規(guī)范解答】 設(shè)A={x|p}={x|
6、x2-4ax+3a2<0,a<0}={x|3a0}
={x|x<-4或x≥-2}.
∵非p是非q的必要不充分條件,
∴q是p的必要不充分條件.
∴AB,
∴或
解得-≤a<0或a≤-4.
[再練一題]
2.是的什么條件?請說明理由.
【解】 當x>2且y>2時,有x+y>4,xy>4,
即?
反之,當x=1<2,y=5時,有x+y=6>4,xy=5>4,
即D
∴是的必要不充分條件.
含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題
1.“且”“或”“非”這些詞叫邏輯聯(lián)結(jié)詞,不含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題叫簡單命題,由
7、簡單命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題有“p或q”、“p且q”、“非p”三種形式.
2.含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假判斷:“p或q”中有真為真,“p且q”有假為假,非p與p真假相反.
給出兩個命題:p:函數(shù)y=x2-x-1有兩個不同的零點,q:若<1,則x>1,那么在下列四個命題中,真命題是________. 【導學號:09390016】
①(非p)或q;②且q;③(非p)且 (非q);
④(非p)或(非q).
【精彩點撥】 →→
【規(guī)范解答】 ∵Δ=1+4=5>0,∴p真.
∵x<0時,<0<1但x>1不成立,∴q假,
∴非q真,∴①②③均為假命題,④為真命題.
【答案】?、?
[再
8、練一題]
3.(2016山東濰坊高三模擬)已知命題p:若a>1,則ax>logax恒成立;命題q:在等差數(shù)列{an}中,m+n=s+r是am+an=as+ar的充分不必要條件(m,n,s,r∈N*).則下面選擇項中的真命題是________.
①(非p)且(非q);②(非p)或(非q);
③p或(非q);④且q.
【解析】 當a=1.1,x=2時,ax=1.12=1.21,logax=log1.12>log1.11.12=2,此時,ax
9、n=s+r,故q是真命題.所以非p是真命題,非q是假命題.
【答案】?、?
全稱命題和存在性命題
1.全稱命題“?x∈M,p(x)”強調(diào)命題的一般性,因此,
(1)要證明它是真命題,需對集合M中每一個元素x,證明p(x)成立;
(2)要判斷它是假命題,只需在集合M中找到一個元素x,使p(x)不成立即可.
2.存在性命題“?x∈M,p(x)”強調(diào)結(jié)論的存在性,因此,
(1)要證明它是真命題,只需在集合M中找到一個元素x,使p(x)成立即可;
(2)要判斷它是假命題,需對集合M中每一個元素x,證明p(x)不成立.
判斷下列命題是全稱命題還是存在性命題,并判斷其真假.
(1)
10、對角互補的四邊形都內(nèi)接于一個圓;
(2)對于定義在區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)f(x),若f(a)f(b)<0,則函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)上至少有一個零點;
(3)?x∈,tan x>sin x;
(4)?x∈R,log2(3x+1)≤0;
【精彩點撥】 →→→
【規(guī)范解答】 (1)全稱命題,是真命題.
(2)存在性命題,是真命題.
(3)全稱命題,∵tan x=,x∈,
∴0<cos x<1,sin x>0,
∴>1,>sin x,即tan x>sin x,
∴是真命題.
(4)存在性命題,∵3x>0,∴3x+1>1,則log2(3x+1)>0,∴是假命題.
[再
11、練一題]
4.(2016河南洛陽高三模擬)下列命題中假命題是________.
①?x∈R,2x-1>0;②?x∈N*,(x-1)2>0;
③?x0∈R,lg x0<1;④?x0∈R,tan x0=2.
【解析】 對于①,∵x∈R,∴x-1∈R,由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得2x-1>0,故①正確;
對于②,∵x∈N*,∴當x=1時,(x-1)2=0與(x-1)2>0矛盾,故②錯誤;
對于③,當x=時,lg =-1<1,故③正確;
對于④,當x∈R,tan x∈R,∴?x0∈R,tan x0=2,故④正確.
【答案】?、?
含一個量詞的命題的否定
1.全稱命題的否定一定是存在性命題.
12、
p:?x∈M,p(x)成立;
非p:?x∈M,非p(x)成立.
2.存在性命題的否定一定是全稱命題.
p:?x∈M,p(x)成立;
非p:?x∈M,非p(x)成立.
3.含有一個量詞的命題的否定首先要改變量詞,把全稱量詞改為存在量詞;把存在量詞改為全稱量詞,然后再把判斷詞加以否定.
寫出下列命題的否定,并判斷它們的真假.
(1)p:?x∈R,x2+x+≥0;
(2)q:?x是質(zhì)數(shù),x不是奇數(shù);
(3)r:至少有一個實數(shù)x,使x> ;
(4)s:所有的周期函數(shù)都有最小正周期.
【精彩點撥】 →→→
【規(guī)范解答】 (1)非p:?x∈R,使x2+x+<0.由于對任意的實
13、數(shù)x,x2+x+=2≥0,故p是真命題,非p是假命題.
(2)非q:?x是質(zhì)數(shù),x是奇數(shù).
由于2是質(zhì)數(shù),且2不是奇數(shù),故q是真命題,非q是假命題.
(3)非r:?x∈R,x≤.
由于對任意的實數(shù)x,x≤|x|=<,故r是假命題,非r是真命題.
(4)非s:有的周期函數(shù)沒有最小正周期.
由于f(x)=0(x∈R)是周期函數(shù)但沒有最小正周期,
故s是假命題,非s是真命題.
[再練一題]
5.(2016哈爾濱高二檢測)命題“?x∈R,x2+2x+3≥0”的否定為________.
【解析】 由于全稱命題的否定是存在性命題,所以命題“?x∈R,x2+2x+3≥0”的否定為:?x∈
14、R,x2+2x+3<0.
【答案】 ?x∈R,x2+2x+3<0
1.(2015山東高考改編)設(shè)m∈R,命題“若m>0,則方程x2+x-m=0有實根”的逆否命題是________.
【解析】 “若p則q”的逆否命題是“若非q則非p”.
【答案】 若方程x2+x-m=0沒有實根,則m≤0
2.(2015湖北高考改編)命題“?x0∈(0,+∞),ln x0=x0-1”的否定是________.
【解析】 存在性命題“?x0∈M,p(x0)”的否定是全稱命題“?x∈M,非p(x)”.
【答案】 ?x∈(0,+∞),ln x≠x-1
3.(2015北京高考改編)設(shè)a,b是非零向量,
15、“ab=|a||b|”是“a∥b”的________條件.
【解析】 因為a,b是非零向量,當ab=|a||b|時,a與b共線且同向,但當a∥b時,ab=|a||b|或ab=-|a||b|.
則“ab=|a||b|”是“a∥b”的充分不必要條件.
【答案】 充分不必要
4.(2016四川高考)在平面直角坐標系中,當P(x,y)不是原點時,定義P的“伴隨點”為P′;當P是原點時,定義P的“伴隨點”為它自身.現(xiàn)有下列命題:
①若點A的“伴隨點”是點A′,則點A′的“伴隨點”是點A;
②單位圓上的點的“伴隨點”仍在單位圓上;
③若兩點關(guān)于x軸對稱,則它們的“伴隨點”關(guān)于y軸對稱;
④
16、若三點在同一條直線上,則它們的“伴隨點”一定共線.
其中的真命題是________(寫出所有真命題的序號).
【解析】?、僭O(shè)A(2,1),則其伴隨點為A′,而A′的伴隨點為(-2,-1),故①錯.
②設(shè)P(x,y),其中x2+y2=1,則其伴隨點為(y,-x),該點也在圓x2+y2=1上,故②正確.
③設(shè)A(x,y),B(x,-y),則它們的伴隨點分別為A′,B′,A′與B′關(guān)于y軸對稱,故③正確.
④設(shè)共線的三點A(-1,0),B(0,1),C(1,2),則它們的伴隨點分別為A′(0,1),B′(1,0),C′,此三點不共線,故④錯.
【答案】?、冖?
5.(2014重慶高考改編)已知命題p:對任意x∈R,總有|x|≥0;q:x=1是方程x+2=0的根.則下列命題為真命題的是________.
①p且(非q) ;②(非p)且q;③(非p)且(非q);
④p且q.
【解析】 由題意知命題p是真命題,命題q是假命題,故非p是假命題,非q是真命題,由含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真值表可知且(非q)是真命題.
【答案】?、?