精編高中數學 第五章 數系的擴充與復數的引入綜合測試 北師大版選修22

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1、精編北師大版數學資料 【成才之路】2015-2016學年高中數學 第五章 數系的擴充與復數的引入綜合測試 北師大版選修2-2 時間120分鐘，滿分150分． 一、選擇題(本大題共10個小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的) 1．下列命題中，正確的是(　　) A．復數的?？偸钦龑崝? B．復數集與復平面內所有向量組成的集合一一對應 C．如果與復數z對應的點在第一象限，則與該復數對應的向量的終點也一定會在第一象限 D．相等的向量對應著相等的復數 [答案]　D [解析]　復數的模大于等于0，因此A不正確；復數集與復平面內所有從原點出發(fā)的向量

2、組成的集合一一對應，因此B不對；同理C也不正確，因此選D. 2.如圖， 在復平面內，點A表示復數z，則圖中表示z的共軛復數的點是(　　) A．A　　　　　　　　　 B．B C．C D．D [答案]　B [解析]　設z＝a＋bi，∴＝a－bi. 兩點關于實軸對稱．故選B. 3．已知復數z滿足(3＋4i)z＝25，則z＝(　　) A．－3＋4i B．－3－4i C．3＋4i D．3－4i [答案]　D [解析]　設z＝x＋yi，∴(3＋4i)(x＋yi)＝3x＋3yi＋4xi－4y＝25， ∴，，∴z＝3－4i，選D. 注意復數的運算中i2＝－1. 4.設a，b∈

3、R，i是虛數單位，則“ab＝0”是“復數a＋為純虛數”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 [答案]　B [解析]　本題考查了復數的概念． 充分必要條件與分類討論的思想．由ab＝0知a＝0且b＝0或a＝0且b≠0或a≠0且b＝0，當a＝0且b≠0時，復數a＋為純虛數，否則a＋為實數，反之若a＋為純虛數，則b≠0且a＝0，則ab＝0，故“ab＝0”是“a＋為純虛數”的必要不充分條件，要注意對充分性和必要性的判斷． 5．復數z＝，則ω＝z2＋z4＋z6＋z8＋z10的值為(　　) A．1　　　 B．－1　　　 C．i　　

4、　 D．－i [答案]　B [解析]　z2＝()2＝－1， ∴ω＝－1＋1－1＋1－1＝－1. 6．下面是關于復數z＝的四個命題 p1：|z|＝2, p2：z2＝2i， p3：z的共軛復數為1＋i, p4：z的虛部為－1， 其中的真命題為(　　) A．p2，p3　 B．p1，p2 C．p2，p4 D．p3，p4 [答案]　C [解析]　本題考查了復數的四則運算以及復數的模，共軛復數等． z＝＝＝－1－i，p1：|z|＝，p2：z2＝2i，p3：z的共軛復數為－1＋i，p4：z的虛部為－1.復數的四則運算以及復數的共軛復數，復數相等是復數的考查重點． 7．設復數

5、z為虛數，條件甲：z＋是實數，條件乙：|z|＝1，則(　　) A．甲是乙的必要非充分條件 B．甲是乙的充分非必要條件 C．甲是乙的充要條件 D．甲既不是乙的必要條件，也不是乙的充分條件 [答案]　C [解析]　本題考查復數的運算和充要條件的判斷．設z＝a＋bi(b≠0且a，b∈R)，則z＋＝a＋bi＋＝＋i.因為z＋為實數，所以b＝.因為b≠0，所以a2＋b2＝1，所以|z|＝1.而當|z|＝1，a2＋b2＝1，條件甲顯然成立． 8．在復平面內，O為原點，向量對應的復數為－1＋2i，若點A關于直線y＝－x的對稱點為點B，則向量對應的復數為(　　) A．－2－i B．－2＋i

6、 C．1＋2i D．－1＋2i [答案]　B [解析]　點A(－1,2)關于直線y＝－x的對稱點為B(－2,1)，所以對應的復數為－2＋i，故選B. 9．復平面上三點A、B、C分別對應復數1,2i,5＋2i，則由A、B、C所構成的三角形是(　　) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．銳角三角形 D．鈍角三角形 [答案]　A [解析]　1,2i,5＋2i對應的向量坐標為(1,0)，(0,2)，(5,2) 設O為坐標原點 即＝(1,0)，＝(0,2)，＝(5,2) ＝－＝(－1,2)． ＝－＝(5,0) ＝－＝(4,2) 則||2＝||2＋|A|2 ∴∠BAC＝9

7、0，即由A、B、C所構成的三角形是直角三角形． 10.若A、B是銳角△ABC的兩內角，則復數z＝(cosB－sinA)＋(sinB－cosA)i在復平面內所對應的點位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 [答案]　B [解析]　∵A、B是銳角△ABC的兩內角，∴A＋B＞① 由①得　A＞－B ∵A、B為銳角△ABC的內角 ∴A∈(0，)，(－B)∈(0，) 又在(0，)，正弦函數單調遞增 ∴sinA＞sin(－B) 即sinA＞cosB ∴cosB－sinA＜0 又由①可得　B＞－A 同理可得sinB＞sin(－A) 即sinB＞c

8、osA ∴sinB－cosA＞0 即z對應的點在第二象限． 二、填空題(本大題共5小題，每小題5分，共25分) 11．若(x＋i)i＝－1＋2i(x∈R)，則x＝________. [答案]　2 [解析]　(x＋i)i＝－1＋xi＝－1＋2i，x＝2. 12．已知i是虛數單位，計算＝________. [答案]?。璱 [解析]?。剑剑剑? 13．已知復數z1＝2－i，z2＝a＋(1－a2)i，在復平面內的對應點分別為P1、P2，對應復數為－3＋i，則a＝________. [答案]　－1 [解析]　由條件可知z2－z1＝－3＋i， 即(a－2)＋(2－a2)i＝－3

9、＋i， ∴，∴a＝－1. 14．若z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且為純虛數，則實數a的值為________． [答案]　 [解析]　設＝bi(b∈R且b≠0)，∴z1＝z2bi，即a＋2i＝bi(3－4i)＝4b＋3bi.∴?a＝. 15．在復數z1與z2在復平面上所對應的點關于y軸對稱，且z1(3－i)＝z2(1＋3i)，|z1|＝，則z1＝________. [答案]　1－i或－1＋i [解析]　設z1＝a＋bi，則z2＝－a＋bi， ∵z1(3－i)＝z2(1＋3i)，且|z1|＝， ∴， 解得或∴z1＝1－i或z1＝－1＋i. 三、解答題(本大題共6小題，共75

10、分，前4題每題12分，20題13分，21題14分) 16．實數k為何值時，復數(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)分別是(1)實數；(2)虛數；(3)純虛數；(4)零？ [解析]　令z＝(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i) ＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i. (1)當k2－5k－6＝0時，z∈R， ∴k＝6或k＝－1. (2)當k2－5k－6≠0時，z是虛數，即k≠6且k≠－1. (3)當時，z是純虛數， ∴k＝4. (4)當時，z＝0，解得k＝－1. 綜上，當k＝6或k＝－1時，z是實數；當k≠6且k≠－1時，z是虛數； 當k＝4時，z是純

11、虛數； 當k＝－1時，z是零． 17．解關于實數x的方程(1＋i)x2－(1－i)x－(2＋6i)＝0. [解析]　原方程化為：(x2－x－2)＋(x2＋x－6)i＝0 ∵x∈R，∴根據復數相等的定義得， 解得x＝2，∴原方程的解為x＝2. 18．若復數(m2－3m－4)＋(m2－m－6)i表示的點在第四象限內，求實數m的取值范圍． [分析] 　復數與復平面內的點一一對應，復數z＝a＋bi對應的點(a，b)在第四象限內的充要條件為 [解析]　由題意，知 ∴ ∴－2

12、＋2－2i| (1)求|z|的值； (2)若mz＋∈R，求實數m的值． [解析]　(1)設虛數z＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)代入|2z＋1－i|＝|z＋2－2i|得 |2a＋1＋(2b－1)i|＝|(a＋2)＋(b－2)i|， ∴(2a＋1)2＋(2b－1)2＝(a＋2)2＋(b－2)2 整理得a2＋b2＝2，即|z|＝2. (2)由(1)知，z＝a＋bi其中a，b∈R，且b≠0. a2＋b2＝2，又知m∈R，mz＋∈R. ∴mz＋＝m(a＋bi)＋ ＝ma＋mbi＋＝ma＋mbi＋a－bi ＝(ma＋a)＋(mb－b)i ∵(mz＋)∈R ∴mb－b＝0　∴m＝

13、. 20.已知|z1|＝1，|z2|＝1，|z1＋z2|＝，求|z1－z2|. [分析] 　思路一：為了表示復數的模及進行復數的加減運算，可將z1、z2設出，然后解答． 思路二：復數的加法、減法及模都有一定的幾何意義，可用圖形解答． [解析]　解法一：設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)． 由已知，得a2＋b2＝1，c2＋d2＝1， (a＋c)2＋(b＋d)2＝3. 又∵(a＋c)2＋(b＋d)2＝a2＋b2＋c2＋d2＋2ac＋2bd＝2＋2ac＋2bd＝3. ∴2ac＋2bd＝1. 又|z1－z2|2＝(a－c)2＋(b－d)2＝a2＋b2＋c2＋d2－

14、2ac－2bd＝2－1＝1， ∴|z1－z2|＝1. 解法二：在復平面內設z1，z2分別對應向量、，則對角線對應z1＋z2，對應z1－z2，由已知||＝1，||＝1，||＝. ∴∠OZ1Z＝120. ∴∠Z2OZ1＝60. 在△OZ1Z2中，＝1，即|z1－z2|＝1. 21.已知關于x的方程x2－(6＋i)x＋9＋ai＝0(a∈R)有實數根b. (1)求實數a，b的值； (2)若復數z滿足|－a－bi|－2|z|＝0， 求z為何值時，|z|有最小值，并求出|z|的最小值． [解析]　(1)因為b是方程x2－(6＋i)x＋9＋ai＝0(a∈R)的實數根， 所以b2－(6＋i)b＋9＋ai＝0，即(b2－6b＋9)＋(a－b)i＝0， 故解得a＝b＝3. (2)設z＝x＋yi(x，y∈R)，由|－3－3i|＝2|z|， 得|(x－3)－(y＋3)i|＝2|x＋yi|， 即(x－3)2＋(y＋3)2＝4(x2＋y2)，即(x＋1)2＋(y－1)2＝8. 所以復數z對應的點Z的軌跡是以O1(－1,1)為圓心，2為半徑的圓，如圖所示，當點Z在OO1的連線上時，|z|有最大值和最小值．因為|OO1|＝，半徑r＝2， 所以當z＝1－i時，|z|min＝.