精編高中數(shù)學(xué) 第2章 6正態(tài)分布課時(shí)作業(yè) 北師大版選修23

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1、精編北師大版數(shù)學(xué)資料 【成才之路】2015-2016學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第2章 6正態(tài)分布課時(shí)作業(yè) 北師大版選修2-3 一、選擇題 1．設(shè)隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布Z～N(0,1)，且Z在區(qū)間(－2，－1)和(1,2)上取值的概率分別為p1、p2，則(　　) A．p1>p2　　　　　 B．p1c＋1)＝P(ξ

2、[解析]　由正態(tài)分布的性質(zhì)及條件P(ξ>c＋1)＝P(ξ4)＝(　　) A．0.1588 B．0.1587 C．0.1586 D．0.1585 [答案]　B [解析]　P(X>4)＝[1－P(2≤X≤4)]＝(1－0.682 6)＝0.158 7. 4．已知ξ～N(2，σ2)，P(ξ<4)＝0.84，則P(ξ≤0)＝(　　) A．0.16 B．0.32 C．0.68 D．0.84 [答案]　A [解析]　因?yàn)棣巍玁(2，σ2)，所以正

3、態(tài)曲線關(guān)于直線x＝2對(duì)稱，所以P(ξ≤0)＝P(ξ≥4)＝1－P(ξ<4)＝1－0.84＝0.16，故選A. 5．(2015湖北理，4)設(shè)X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，這兩個(gè)正態(tài)分布密度曲線如圖所示．下列結(jié)論中正確的是(　　) A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1) B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1) C．對(duì)任意正數(shù)t，P(X≤t)≥P(Y≤t) D．對(duì)任意正數(shù)t，P(X≥t)≥P(Y≥t) [答案]　D [解析]　由正態(tài)分布的對(duì)稱性及意義可知選D. 二、填空題 6．已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布X～N(3，σ2)，且P(X≥4)＝0.16，則P(2

4、____. [答案]　0.34 [解析]　如圖可知P(X≤2)＝P(X≥4)＝0.16， 所以P(20)．若X在(0,2)內(nèi)取值的概率為0.8，則X在(1,2)內(nèi)取值的概率為________． [答案]　0.4 [解析]　由X～N(1，σ2)可知，密度函數(shù)關(guān)于x＝1對(duì)稱，從而X在(0,1)內(nèi)取值的概率就等于在(1,2)內(nèi)取值的概率． ∵X～N(1，σ2)，故X落在(0,1

5、)及(1,2)內(nèi)的概率相同均為0.4，如圖所示． 8．若某一正態(tài)分布的均值和方差分別是2和3，則這一正態(tài)密度曲線的函數(shù)表達(dá)式為________． [答案]　f(x)＝e－ [解析]　由已知可得，μ＝2，σ2＝3，將它們代入f(x)＝e－，便得所求函數(shù)表達(dá)式為f(x)＝e－ 三、解答題 9．假設(shè)每天從甲地去乙地的旅客人數(shù)X是服從正態(tài)分布N(800,502)的隨機(jī)變量，記一天中從甲地去乙地的旅客人數(shù)不超過900的概率為p0.求p0的值； (參考數(shù)據(jù)：若X～N(μ，σ2)，有 P(μ－σ

6、＋3σ)＝0.9974.) [解析]　由于隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(800,502)，故有μ＝800，σ＝50 P(700

7、，所以μ＝100，σ＝1.2. (1)由于隨機(jī)變量X在區(qū)間(μ－σ，μ＋σ)內(nèi)取值的概率為0.683，而該正態(tài)分布中，μ－σ＝100－1.2，μ＋σ＝100＋1.2.于是糖包質(zhì)量位于區(qū)間(100－1.2,100＋1.2)內(nèi)的概率為0.683.所以估計(jì)質(zhì)量在(100－1.2,100＋1.2)范圍內(nèi)的糖包數(shù)量為15000.683≈1025包． (2)由于隨機(jī)變量X在區(qū)間(μ－3σ，μ＋3σ)內(nèi)取值的概率為0.997，而該正態(tài)分布中，μ－3σ＝100－31.2，μ＋3σ＝100＋31.2.于是糖包質(zhì)量位于區(qū)間(100－31.2,100＋31.2)內(nèi)的概率為0.997.所以估計(jì)質(zhì)量在(100－31

8、.2,100＋31.2)范圍內(nèi)的糖包數(shù)量為15000.997≈1496包. 一、選擇題 1．設(shè)隨機(jī)變量ξ服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布ξ～N(0,1)，已知Φ(－1.96)＝0.025，則P(|ξ|<1.96)＝(　　) A．0.025 B．0.050 C．0.950 D．0.975 [答案]　C [解析]　P(|ξ|<1.96)＝P(－1.96<ξ<1.96)＝P(ξ<1.96)－P(ξ≤－1.96)＝1－P(ξ≥1.96)－P(ξ≤－1.96)＝1－2P(ξ≤－1.96)＝1－2P(ξ<－1.96)＝1－2Φ(－1.96)＝1－20.025＝0.950.故選C. 2.(2015湖南理，

9、7)在如圖所示的正方形中隨機(jī)投擲10 000個(gè)點(diǎn)，則落入陰影部分(曲線C為正態(tài)分布N(0,1)的密度曲線)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值為(　　) A．2 386 B．2 718 C．3 413 D．4 772 [答案]　C [解析]　根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)，P(02)等于(　　) A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 [答案]　A [解析]　P(ξ>2)＋P(0≤ξ≤2)＋P(－2≤ξ≤0)＋

10、P(ξ<－2)＝1，P(ξ>2)＝P(ξ<－2)，P(0≤ξ≤2)＝p(－2≤ξ≤0)，所以P(ξ>2)＝[1－2P(－2≤ξ≤0)]＝0.1. 4．某地區(qū)數(shù)學(xué)考試的成績(jī)X服從參數(shù)為σ2＝64的正態(tài)分布，其正態(tài)分布密度函數(shù)圖像如圖所示，則成績(jī)X位于區(qū)間(52,68)內(nèi)的概率為(　　) A．0.954 B．0.997 C．0.683 D．不確定 [答案]　C [解析]　觀察圖中正態(tài)分布密度函數(shù)圖像可知，對(duì)稱軸為x＝60，由正態(tài)分布密度函數(shù)圖像的性質(zhì)可知μ＝60.又σ2＝64，所以X服從正態(tài)分布N(60,64)，由于52＝60－8,68＝60＋8，則成績(jī)X位于區(qū)間(52,68)內(nèi)

11、的概率為P(μ－σ”或“＝”)． [答案]　<　> [解析]　根據(jù)圖像關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱可知μ1<μ2，又由σ(σ>0)的大小決定圖像的“胖瘦”，σ越小，圖像越“高瘦”，可知σ1>σ2. 6．某燈管廠生產(chǎn)的新型節(jié)能燈管的使用壽命(單位：小時(shí))為隨機(jī)變量Y，已知Y～N(1 000,302)，要使燈管的平均壽命在1 000小時(shí)的概率為99.7%，問燈管的最低壽命應(yīng)控制在___

12、_____小時(shí)． [答案]　910 [解析]　因?yàn)镻(μ－3σ

13、－3<ξ≤5)－P(－1<ξ≤3)] ＝[P(1－4<ξ≤1＋4)－P(1－2<ξ≤1＋2)] ＝[P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)－P(μ－σ<ξ<μ＋σ)] ＝[0.954－0.683]＝0.135 5. (3)P(ξ≥5)＝P(ξ≤－3)， ∴P(ξ≥5)＝[1－P(－3<ξ≤5)] ＝[1－P(1－4<ξ≤1＋4)] ＝[1－P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)] ＝(1－0.954)＝0.023. 8．乘出租車從學(xué)校到汽車站有兩條路線可走，第一條路線的路程較短，但交通擁擠，所需的時(shí)間(單位：min)服從正態(tài)分布N(50,102)；第二知路線的路程較長(zhǎng)，但阻塞較少，所需時(shí)間服從正態(tài)分布N(60,42)． 問：如果有65min時(shí)間可以利用，應(yīng)走哪一條路線？ [解析]　設(shè)ξ為行走的時(shí)間，如有65min時(shí)間可利用，則： (1)若走第一條路線，ξ～N(50,102)，及時(shí)趕到汽車站的概率為 P(ξ≤65)＝Φ()＝Φ(1.5)＝0.933 2； (2)若走第二條路線，ξ～N(60,42)，及時(shí)趕到汽車站的概率為 P(ξ≤65)＝Φ()＝Φ(1.25)＝0.894 4. 顯然走第一條路線及時(shí)趕到汽車站的概率大于第二條路線，故應(yīng)走第一條路線． [反思總結(jié)]　利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表可以順利地求出服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量的概率，進(jìn)而可使實(shí)際問題得到順利地解決．