新教材高中數(shù)學 3.2第1課時拋物線及其標準方程練習 北師大版選修21

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1、（新教材）北師大版精品數(shù)學資料 第三章　3.2　第1課時拋物線及其標準方程 一、選擇題 1．在平面直角坐標系內，到點(1,1)和直線x＋2y＝3的距離相等的點的軌跡是(　　) A．直線　　　　　 B．拋物線 C．圓 D．雙曲線 [答案]　A [解析]　∵點(1,1)在直線x＋2y＝3上，故所求點的軌跡是過點(1,1)且與直線x＋2y＝3垂直的直線． 2．拋物線y2＝8px(p>0)，F(xiàn)為焦點，則p表示(　　) A．F到準線的距離 B．F到準線距離的 C．F到準線距離的 D．F到y(tǒng)軸的距離 [答案]　B [解析]　設y2＝2mx(m>0)，則m表示焦點到準

2、線的距離，又2m＝8p，∴p＝. 3．拋物線y2＝x上一點P到焦點的距離是2，則P點坐標為(　　) A． B． C． D． [答案]　B [解析]　設P(x0，y0)，則|PF|＝x0＋＝x0＋＝2， ∴x0＝，∴y0＝±. 4．一動點到點(3,0)的距離比它到直線x＝－2的距離大1，則動點的軌跡是(　　) A．橢圓 B．雙曲線 C．雙曲線一支 D．拋物線 [答案]　D 5．(2014·新課標Ⅰ文)已知拋物線C：y2＝x的焦點為F，A(x0，y0)是C上一點，|AF|＝x0，則x0＝(　　) A．1　 B．2 C．4 D．8 [答案]　A [解

3、析]　本題考查拋物線的定義及標準方程． 由拋物線的定義知：|AF|＝x0＋＝x0，∴x0＝1. 6．直線y＝x－3與拋物線y2＝4x交于A、B兩點，過A、B兩點向拋物線的準線作垂線，垂足分別為P、Q，則梯形APQB的面積為(　　) A．48 B．56 C．64 D．72 [答案]　A [解析]　聯(lián)立 解得A(1，－2)，B(9,6)， 則|AP|＝2，|BQ|＝10，|PQ|＝8， S梯形＝＝48. 二、填空題 7．拋物線y2＝8x的焦點F的坐標為________________；若P為拋物線y2＝8x上一點，點M的坐標是(4,2)，則|MP|＋|FP|的最小值為__

4、______________． [答案]　(2,0)　6 [解析]　y2＝2×4x，所以焦點坐標為(2,0)．|PF|等于P點到拋物線y2＝8x的準線的距離d，所以|PF|＋|PM|的最小值等于M到拋物線準線的距離d′＝4＋2＝6. 8．過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F作傾斜角為45°的直線交拋物線于A、B兩點，若線段AB的長為8，則p＝______________. [答案]　2 [解析]　本小題主要考查拋物線的性質、弦長等基礎知識． 直線AB：y＝x－代入拋物線y2＝2px， 得x2－3px＋＝0， ∴x1＋x2＝3p，∴3p＋p＝8，∴p＝

5、2. 三、解答題 9．已知拋物線的標準方程如下，分別求其焦點和準線方程． (1)y2＝6x； (2)2y2－5x＝0. [分析]　先根據(jù)拋物線的標準方程形式，求出p，再根據(jù)開口方向，寫出焦點坐標和準線方程． [解析]　(1)∵2p＝6，∴p＝3，開口向右． 則焦點坐標是(，0)，準線方程為x＝－. (2)將2y2－5x＝0變形為y2＝x. ∴2p＝，p＝，開口向右． ∴焦點為(，0)，準線方程為x＝－. [總結反思]　根據(jù)拋物線方程求其焦點坐標和準線方程，一定要先化為標準形式，求出的值，即可寫出焦點坐標和準線方程． 10．已知拋物線的頂點在原點，對稱軸為x軸，拋物線上的

6、點M(3，m)到焦點的距離等于5，求拋物線的方程和m的值． [解析]　解法一：設拋物線方程為y2＝2px(p>0)，則焦點F， 由題設可得 解得或. 故拋物線方程為y2＝8x，m的值為±2. 解法二：設拋物線方程為y2＝2px(p>0)，則焦點F，準線方程為x＝－. 根據(jù)拋物線定義，點M到焦點的距離等于5，也就是點M到準線的距離等于5， 則3＋＝5，∴p＝4， 因此拋物線方程為y2＝8x. 又點M(3，m)在拋物線上，于是m2＝24， ∴m＝±2. [總結反思]　解法二利用拋物線的定義把到焦點的距離轉化為到準線的距離，既快捷又方便，要善于轉

7、化． 一、選擇題 1．已知點M是拋物線y2＝2px(p>0)上的一點，F(xiàn)為拋物線的焦點，若以|MF|為直徑作圓，則這個圓與y軸的關系是(　　) A．相交 B．相切 C．相離 D．以上三種情形都有可能 [答案]　B [解析]　如圖，由MF的中點A作準線l的垂線AE，交直線l于點E，交y軸于點B；由點M作準線l的垂線MD，垂足為D，交y軸于點C， 則MD＝MF，ON＝OF， ∴AB＝＝＝＝，∴這個圓與y軸相切． 2．已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在拋物線上，且2x2＝x1＋x3，則有(　　)

8、 A．|P1F|＋|P2F|＝|P3F| B．|P1F|2＋|P2F|2＝|P3F|2 C．2|P2F|＝|P1F|＋|P3F| D．|P2F|2＝|P1F|·|P3F| [答案]　C [解析]　因為P1、P2、P3在拋物線上，且2x2＝x1＋x3，兩邊同時加上p，得2(x2＋)＝x1＋＋x3＋，即2|P2F|＝|P1F|＋|P3F|，故選C． 3．(2014·萬州市分水中學高二期中)O為坐標原點，F(xiàn)為拋物線C：y2＝4x的焦點，P為C上一點，若|PF|＝4，則△POF的面積為(　　) A．2 B．2 C．2 D．4 [答案]　C [解析]　拋物線C的

9、準線方程為x＝－，焦點F(，0)，由|PF|＝4及拋物線的定義知，P點的橫坐標xP＝3，從而yP＝±2， ∴S△POF＝|OF|·|yP|＝××2＝2. 4．設P是拋物線y2＝4x上的一個動點，F(xiàn)為拋物線焦點．若B(3,2)，|PB|＋|PF|的最小值為(　　) A．2 B．4 C．5 D．6 [答案]　B [解析]　如圖把點B的橫坐標代入y2＝4x中，得y＝±，因為>2，所以B在拋物線內部，自B作BQ垂直準線于Q，交拋物線于P1. 此時，由拋物線定義知：|P1Q|＝|P1F|. 那么|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|

10、P1Q|＝|BQ|＝3＋1＝4. 即最小值為4. 二、填空題 5．設拋物線y2＝4x的焦點弦的兩個端點分別為A(x1，y1)和B(x2，y2)，若x1＋x2＝6，那么|AB|＝________________. [答案]　8 [解析]　設焦點為F，由p＝2，利用焦半徑公式， 得|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋)＋(x2＋)＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8. 6．沿直線y＝－2發(fā)出的光線經(jīng)拋物線y2＝ax反射后，與x軸相交于點A(2,0)，則拋物線的準線方程為________________(提示：拋物線的光學性質：從焦點發(fā)出的光線經(jīng)拋物線反射后與軸平行)． [答案]　x＝－2

11、 [解析]　由直線y＝－2平行于拋物線的軸知A(2,0)為焦點，故準線方程為x＝－2. 三、解答題 7．過拋物線焦點F的直線與拋物線相交于A、B兩點，若A、B在拋物線準線上的射影是A1、B1，求∠A1FB1. [解析]　如圖所示，由拋物線的定義得，|AF|＝|AA1|， |BF|＝|BB1|，∴∠1＝∠2， ∠3＝∠4， 又∠1＋∠2＋∠3＋∠4 ＋∠A1AF＋∠B1BF＝360°， 且∠A1AF＋∠B1BF＝180°， ∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°， ∴2(∠2＋∠4)＝180°， 即∠2＋∠4＝90°，故∠A1

12、FB1＝90°. 8．如圖所示，拋物線關于x軸對稱，它的頂點在坐標原點，點P(1,2)、A(x1，y1)、B(x2，y2)均在拋物線上． (1)寫出該拋物線的方程及其準線方程； (2)當PA與PB的斜率存在且傾斜角互補時，求y1＋y2的值及直線AB的斜率． [分析]　根據(jù)兩直線傾角互補，kPA＝－kPB，利用斜率公式求解． [解析]　(1)由已知條件，可設拋物線的方程為y2＝2px. ∵點P(1,2)在拋物線上，∴22＝2p·1，得p＝2. 故所求拋物線的方程是y2＝4x，準線方程是x＝－1. (2)設直線PA的斜率為kPA，直線PB的斜率為kPB． 則kPA＝(x1≠1)，kPB＝(x2≠1)． ∵PA與PB的斜率存在且傾斜角互補，∴kPA＝－kPB． ∴＝－.∴y1＋2＝－(y2＋2)． ∴y1＋y2＝－4. 由A(x1，y1)，B(x2，y2)在拋物線上，得 y＝4x1，①y＝4x2，② 由①－②得直線AB的斜率 kAB＝＝＝－＝－1(x1≠x2)． [總結反思]　解析幾何問題要根據(jù)題中信息，結合題目特征，通過設而不求的方法進行解答．