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1、(新教材)北師大版精品數(shù)學(xué)資料
習(xí)題課(2)
一、選擇題
1.將拋物線y=4x2繞焦點(diǎn)逆時針方向旋轉(zhuǎn)90后,所得拋物線的準(zhǔn)線方程是( )
A.x=2 B.y=-2
C.x= D.x=
解析:化成標(biāo)準(zhǔn)式x2=y(tǒng),則p=,設(shè)準(zhǔn)線方程為x=m,則m=.
答案:C
2.若拋物線y2=2px(p>0)上三個點(diǎn)的縱坐標(biāo)的平方成等差數(shù)列,那么這三個點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)F的距離的關(guān)系是( )
A.成等差數(shù)列 B.既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列
C.成等比數(shù)列 D.既不成等比數(shù)列也不成等差數(shù)列
解析:設(shè)三點(diǎn)為P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3),
則y=2px1,y
2、=2px2,y=2px3,
因?yàn)?y=y(tǒng)+y,所以x1+x3=2x2,
即|P1F|-+|P3F|-=2,
所以|P1F|+|P3F|=2|P2F|.
答案:A
3.已知A,B是拋物線y2=2px(p>0)上兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),若|OA|=|OB|,且△AOB的垂心恰是此拋物線的焦點(diǎn),則直線AB的方程是( )
A.x=p B.x=3p
C.x=p D.x=p
解析:∵|OA|=|OB|,∴A,B兩點(diǎn)關(guān)于x軸對稱,由于垂心是焦點(diǎn),則垂心為F.
設(shè)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(x0,y0),B(x0,-y0),由題意,得kFAkOB=-1,即=-1,
則y=x0.
∵y=2
3、px0(x0>0,p>0),
∴2px0=x0.∴x0=p.
∴直線AB的方程為x=p.
答案:D
4.拋物線x2=-4y的通徑為線段AB,O為拋物線的頂點(diǎn),則( )
A.通徑長為8,△AOB的面積為4
B.通徑長為8,△AOB的面積為2
C.通徑長為4,△AOB的面積為4
D.通徑長為4,△AOB的面積為2
解析:在拋物線x2=-4y中,因?yàn)?p=4,所以通徑的長為4,△AOB的面積為2p=41=2.
答案:D
5.過拋物線y2=ax(a>0)的焦點(diǎn)F作一直線交拋物線于P、Q兩點(diǎn),若PF與FQ的長分別為p、q,則+等于( )
A.2a B.
C.4a D.
4、
解析:可采用特殊值法,設(shè)PQ過焦點(diǎn)F且垂直于x軸,則|PF|=p=xp+=+=,
|QF|=q=,∴+=+=.
答案:D
6.[2014河北省衡水中學(xué)期中考試]已知拋物線y=x2-1上一定點(diǎn)B(-1,0)和兩個動點(diǎn)P,Q,當(dāng)BP⊥PQ時,點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)的取值范圍是( )
A.(-∞,-3)∪[1,+∞)
B.[-3,1]
C.[1,+∞)
D.(-∞,-3]∪[1,+∞)
解析:本題主要考查直線垂直的條件和直線與拋物線的位置關(guān)系.設(shè)P(t,t2-1),Q(s,s2-1),∵BP⊥PQ,∴=-1,即t2+(s-1)t-s+1=0,∵t∈R,P,Q是拋物線上兩個不同的點(diǎn),∴必須有
5、Δ=(s-1)2+4(s-1)≥0,即s2+2s-3≥0,解得s≤-3或s≥1.∴點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)的取值范圍是(-∞,-3]∪[1,+∞),故選D.
答案:D
二、填空題
7.拋物線y=ax2的準(zhǔn)線方程為y=1,則實(shí)數(shù)a的值是__________.
解析:拋物線y=ax2化為x2=y(tǒng),
由于其準(zhǔn)線方程為y=1,故a<0,且||=1,
解得a=-.
答案:-
8.[2014四川省綿陽南山中學(xué)月考]拋物線y2=2x上的兩點(diǎn)A、B到焦點(diǎn)的距離之和是5,則線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離是________.
解析:本題主要考查拋物線的定義和基本性質(zhì)的應(yīng)用.拋物線y2=2x的焦點(diǎn)為F(,0),準(zhǔn)
6、線方程為x=-,設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),則|AF|+|BF|=x1++x2+=5,解得x1+x2=4,故線段AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為2.故線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離是2.
答案:2
9.設(shè)拋物線y2=8x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,P為拋物線上一點(diǎn),PA⊥l,A為垂足,如果直線AF的斜率為-,那么|PF|=__________.
解析:∵直線AF的斜率為-,
∴∠PAF=60.
又|PA|=|PF|,
∴△PAF為正三角形,作FM⊥PA,則M為PA中點(diǎn),|MA|=p,
∴|PA|=2p.
∴|PF|=|AP|=2p=8.
答案:8
三、解答題
10.(1)求過點(diǎn)(-,0
7、)(p>0)且與直線x=相切的動圓圓心M的軌跡方程;
(2)平面上動點(diǎn)M到定點(diǎn)F(0,3)的距離比M到直線y=-1的距離大2,求動點(diǎn)M滿足的方程,并畫出相應(yīng)的草圖.
解:(1)根據(jù)拋物線的定義知,
圓心M的軌跡是以點(diǎn)(-,0)為焦點(diǎn),
直線x=為準(zhǔn)線的拋物線,
其方程為y2=-2px(p>0).
(2)因?yàn)閯狱c(diǎn)M到定點(diǎn)F(0,3)的距離比點(diǎn)M到直線y=-1的距離大2,
所以動點(diǎn)M到定點(diǎn)F(0,3)的距離等于點(diǎn)M到直線y=-3的距離,
由拋物線的定義得動點(diǎn)M的軌跡是以定點(diǎn)F(0,3)為焦點(diǎn),
定直線y=-3為準(zhǔn)線的拋物線,
故動點(diǎn)M的軌跡方程為x2=12y,
草圖如上圖
8、所示.
11.已知拋物線方程y2=2x,設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a,0),求拋物線上的點(diǎn)到點(diǎn)A的距離最小值d,并寫出關(guān)系式d=f(a).
解:設(shè)B(x,y)是拋物線y2=2x上任意一點(diǎn),
則|AB|2=(x-a)2+y2=[x-(a-1)]2-1+2a.
當(dāng)a>1時,此時當(dāng)x=a-1時,|AB|取最小值,
d=;
當(dāng)a≤1時,此時當(dāng)x=0時,|AB|取最小值,d=|a|.
綜上所述,d=
12.已知一條曲線C在y軸右邊,C上每一點(diǎn)到點(diǎn)F(1,0)的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是1.
(1)求曲線C的方程;
(2)是否存在正數(shù)m,對于過點(diǎn)M(m,0)且與曲線C有兩個交點(diǎn)A、B的任一直線
9、,都有<0?若存在,求出m的取值范圍;若不存在,請說明理由.
解:(1)設(shè)P(x,y)是曲線C上任意一點(diǎn),那么點(diǎn)P(x,y)滿足-x=1(x>0),化簡得y2=4x(x>0).
即曲線C的方程為y2=4x(x>0).
(2)設(shè)過點(diǎn)M(m,0)(m>0)的直線l與曲線C的交點(diǎn)為A(x1,y1),B(x2,y2).
設(shè)l的方程為x=ty+m,由得y2-4ty-4m=0,
Δ=16(t2+m)>0,由韋達(dá)定理知 ①
因?yàn)椋?x1-1,y1),=(x2-1,y2),
<0?(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+1+y1y2<0. ②
又x=,所以不等式②等價于
+y1y2-+1<0
?+y1y2-[(y1+y2)2-2y1y2]+1<0, ③
由①式,不等式③等價于m2-6m+1<4t2, ④
對任意實(shí)數(shù)t,4t2的最小值為0,所以不等式④對于一切t成立等價于m2-6m+1<0,即3-2