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1、◆+◆◆二〇一九高考數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資料◆+◆◆
[A組 基礎(chǔ)演練能力提升]
一、選擇題
1.通過圓與球的類比,由“半徑為R的圓的內(nèi)接矩形中,以正方形的面積為最大,最大值為2R2”猜想關(guān)于球的相應(yīng)命題為( )
A.半徑為R的球的內(nèi)接六面體中,以正方體的體積為最大,最大值為2R2
B.半徑為R的球的內(nèi)接六面體中,以正方體的體積為最大,最大值為3R3
C.半徑為R的球的內(nèi)接六面體中,以正方體的體積為最大,最大值為[來源:]
D.半徑為R的球的內(nèi)接六面體中,以正方體的體積為最大,最大值為
解析:正方形類比到空間的正方體,即半徑為R的球的內(nèi)接六面體中,以正方體的體積為最大,此時正方體的棱
2、長a=,故其體積是3=.故選D.[來源:數(shù)理化網(wǎng)]
答案:D
2.(2014年嘉興模擬)如果正整數(shù)a的各位數(shù)字之和等于6,那么稱a為“好數(shù)”(如:6,24,2 013等均為“好數(shù)”),將所有“好數(shù)”從小到大排成一列a1,a2,a3,…,若an=2 013,則n=( )
A.50 B.51
C.52 D.53
解析:本題可以把數(shù)歸為“四位數(shù)”(含0 006等),因此比2 013小的“好數(shù)”為0,1,2 004,共三類數(shù),其中第一類可分為:00,01,…,0 600,共7類,共有7+6+…+2+1=28個數(shù);第二類可分為:10,11,…,1 500,共6類,共有6
3、+5+4+3+2+1=21個數(shù),故2 013為第51個數(shù),故 n=51,選B.
答案:B
3.正弦函數(shù)是奇函數(shù),f(x)=sin(x2+1)是正弦函數(shù),因此f(x)=sin(x2+1)是奇函數(shù),以上推理( )
A.結(jié)論正確 B.大前提不正確
C.小前提不正確 D.全不正確
解析:由于f(x)=sin(x2+1)不是正弦函數(shù),故小前提不正確.
答案:C
4.(2014年銀川模擬)當(dāng)x∈(0,+∞)時可得到不等式x+≥2,x+=++2≥3,由此可以推廣為x+≥n+1,取值p等于( )
A.nn B.n2
C.n D.n+1
解析:∵x∈(0,+∞)時可得到不等式x+
4、≥2,x+=++2≥3,∴在p位置出現(xiàn)的數(shù)恰好是不等式左邊分母xn的指數(shù)n的指數(shù)次方,即p=nn.
答案:A
5.設(shè)△ABC的三邊長分別為a、b、c,△ABC的面積為S,內(nèi)切圓半徑為r,則r=;類比這個結(jié)論可知:四面體S-ABC的四個面的面積分別為S1、S2、S3、S4,內(nèi)切球的半徑為R,四面體S-ABC的體積為V,則R=( )
A. B.
C. D.
解析:設(shè)三棱錐的內(nèi)切球球心為O,那么由V=VO-ABC+VO-SAB+VO-SAC+VO-SBC,
即:V=S1R+S2R+S3R+S4R,
可得:R=.
答案:C
6.給出下列三個類比結(jié)論:[來源:]
①(ab)
5、n=anbn與(a+b)n類比,則有(a+b)n=an+bn;
②loga(xy)=logax+logay與sin(α+β)類比,則有sin(α+β)=sin αsin β;
③(a+b)2=a2+2ab+b2與(a+b)2類比,則有(a+b)2=a2+2ab+b2.
其中結(jié)論正確的個數(shù)是( )
A.0 B.1
C.2 D.3
解析:只有③正確.
答案:B
二、填空題
7.(2014年荊州模擬)如圖是網(wǎng)絡(luò)工作者經(jīng)常用來解釋網(wǎng)絡(luò)運作的蛇形模型:數(shù)字1出現(xiàn)在第1行;數(shù)學(xué)2,3出現(xiàn)在第2行;數(shù)字6,5,4(從左至右)出現(xiàn)在第3行;數(shù)字7,8,9,10出現(xiàn)在第4行,依次類推,則
6、(1)按網(wǎng)絡(luò)運作順序第n行第1個數(shù)字(如第2行第1個數(shù)字為2,第3行第1個數(shù)字為4,…)是________;(2)第63行從左至右的第3個數(shù)字應(yīng)是________.
解析:設(shè)第n行的第1個數(shù)字構(gòu)成數(shù)列{an},則an+1-an=n,且a1=1,∴an=,而偶數(shù)行的順序從左到右,奇數(shù)行的順序從右到左,第63行的第1個數(shù)字為1 954,從左至右的第3個數(shù)字是從右至左的第61個數(shù)字,從而所求數(shù)字為1 954+60=2 014.[來源:]
答案: 2 014
8.(2014年北京東城區(qū)模擬)定義映射f:A→B,其中A={(m,n)}|m,n∈R},B=R,已知對所有的有序正整數(shù)對(m,n)滿
7、足下述條件:
①f(m,1)=1;②若n>m,f(m,n)=0;③f(m+1,n)=n[f(m,n)+f(m,n-1)],則f(2,2)=________,f(n,2)=________.
解析:在f(m+1,n)=n[f(m,n)+f(m,n-1)]中,令m=1,n=2,得f(2,2)=2[f(1,2)+f(1,1)]=2(0+1)=2.
令m=n-1,n=2,得f(n,2)=2[f(n-1,2)+f(n-1,1)].若n=1,則f(n,2)=0;若n=2,則f(n,2)=2;若n>2,則f(n,2)=2[f(n-1,2)+f(n-1,1)]=2[f(n-1,2)+1],即f(n,2)
8、+2=2[f(n-1,2)+2],故得f(n,2)+2=22n-1,故f(n,2)=2n-2,此式對n=1,2也成立.
答案:2 2n-2
9.(2013年高考湖北卷)古希臘畢達哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家研究過各種多邊形數(shù).如三角形數(shù)1,3,6,10,…,第n個三角形數(shù)為=n2+n.記第n個k邊形數(shù)為N(n,k)(k≥3),以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個數(shù)的表達式:
三角形數(shù) N(n,3)=n2+n.
正方形數(shù) N(n,4)=n2,
五邊形數(shù) N(n,5)=n2-n,
六邊形數(shù) N(n,6)=2n2-n,
……
可以推測N(n,k)的表達式,由此計算N(10,24)=________.
9、
解析:由題意可知N(n,k)由兩項構(gòu)成,第一項的系數(shù)依次構(gòu)成首項為,公差為的等差數(shù)列,第二項的系數(shù)依次構(gòu)成首項為,公差為-的等差數(shù)列,
因此N(n,k)=n2+n=n2+n,所以N(10,24)=11100-1010=1 000.
答案:1 000
三、解答題
10.平面中的三角形和空間中的四面體有很多相類似的性質(zhì),例如在三角形中:(1)三角形兩邊之和大于第三邊;(2)三角形的面積S=底高;(3)三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的;……
請類比上述性質(zhì),寫出空間中四面體的相關(guān)結(jié)論.
解析:由三角形的性質(zhì),可類比得空間四面體的相關(guān)性質(zhì)為:
(1)四面體的任意三個面的面積之
10、和大于第四個面的面積;
(2)四面體的體積V=底面積高;
(3)四面體的中位面平行于第四個面且面積等于第四個面的面積的.
11.在數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=,n∈N*,猜想這個數(shù)列的通項公式,這個猜想正確嗎?請說明理由.
解析:在{an}中,a1=1,a2==,
a3===,a4==,…
所以猜想{an}的通項公式an=.
這個猜想是正確的.證明如下:
因為a1=1,an+1=,
所以==+.
即-=,
所以數(shù)列是以=1為首項,
為公差的等差數(shù)列,
所以=1+(n-1)=n+,
所以通項公式an=.
12.(能力提升)集合A是由具備下列性質(zhì)的函數(shù)f(x)
11、組成的:
①函數(shù)f(x)的定義域是[0,+∞);
②函數(shù)f(x)的值域是[-2,4);
③函數(shù)f(x)在[0,+∞)上是增函數(shù).
試分別探究下列問題:
(1)判斷函數(shù)f1(x)=-2(x≥0)及f2(x)=4-6x(x≥0)是否屬于集合A,并簡要說明理由;
(2)對于(1)中你認為屬于集合A的函數(shù)f(x),不等式f(x)+f(x+2)<2f(x+1)是否對于任意的x≥0恒成立?若成立,請給出證明;若不成立,請說明理由.
解析:(1)函數(shù)f1(x)=-2(x≥0)不屬于集合A.
因為f1(x)的值域是[-2,+∞).
f2(x)=4-6x(x≥0)屬于集合A.
因為滿足①函數(shù)
12、f2(x)的定義域是[0,+∞);
②f2(x)的值域是[-2,4);③函數(shù)f2(x)在[0,+∞)上是增函數(shù),
(2)由(1)可知,f(x)=4-6x(x≥0),
∴f(x)+f(x+2)-2f(x+1)=6x<0,
∴不等式f(x)+f(x+2)<2f(x+1)對任意x≥0恒成立.
[B組 因材施教備選練習(xí)]
1.(2014年大同模擬)已知一個數(shù)列{an}的各項是1或2,首項為1,且在第k個1和第(k+1)個1之間有(2k-1)個2,即1,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,2,1,…,則前2 012項中1的個數(shù)為( )
A.44 B.45
C.46 D.47
13、解析:依題意得,第k個1和它后面(2k-1)個2的個數(shù)之和為2k,按這個要求分組,每組數(shù)字的個數(shù)組成一個以2為首項、2為公差的等差數(shù)列,該數(shù)列的前n項和等于=n(n+1).注意到2 012=4445+32,因此在題中的數(shù)列中,前2 012項中共有45個1,選B.
答案:B
2.設(shè)函數(shù)f(x)=(x>0),觀察:
f1(x)=f(x)=,f2(x)=f(f1(x))=,
f3(x)=f(f2(x))=,
f4(x)=f(f3(x))=,
……
根據(jù)以上事實,由歸納推理可得:
當(dāng)n∈N*且n≥2時,fn(x)=f(fn-1(x))=________.
解析:依題意,先求函數(shù)結(jié)果的
14、分母中x項系數(shù)所組成數(shù)列的通項公式,由1,3,7,15,…,可推知該數(shù)列的通項公式為an=2n-1.又函數(shù)結(jié)果的分母中常數(shù)項依次為2,4,8,16,…,故其通項公式為bn=2n.
所以當(dāng)n≥2時,fn(x)=f(fn-1(x))=.
答案:
3.(2014年南昌模擬)給出若干數(shù)字按下圖所示排成倒三角形,其中第一行各數(shù)依次是1,2,3,…,2 014,從第二行起每一個數(shù)都等于它“肩上”兩個數(shù)之和,最后一行只有一個數(shù)M,則這個數(shù)M是________.
解析:觀察數(shù)表,可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律:每一行都是等差數(shù)列,且第一行公差為1,第二行公差為2,第三行公差為4,……,第2 010行公差為22 009,第2 014行只有M,令每行首項組成新數(shù)列{an},則a1=1=20,a2=21,a3=22,a4=23,…,an=2n-1,
∴a2 014=22 013
=2 01522 012,
得出M是2 01522 012.[來源:]
答案:2 01522 012
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