【名校資料】人教A版理科數(shù)學高效訓練：73 空間點、直線、平面之間的位置關系

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1、◆+◆◆二〇一九高考數(shù)學學習資料◆+◆◆ [A組　基礎演練能力提升] 一、選擇題 1．平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，既與AB共面又與CC1共面的棱的條數(shù)為(　　) A．3　　　　　　　　　　 B．4 C．5 D．6 解析：由條件，與AB和CC1都相交的棱有BC；與AB相交且與CC1平行的棱有AA1，BB1；與AB平行且與CC1相交的棱有CD，C1D1，故符合的條件的棱共有5條． 答案：C 2．如圖是正方體或四面體， P、Q、R、S分別是所在棱的中點，則這四個點不共面的一個圖是(　　) 解析：A、B、C圖中四點一定共面，D中四點不共面． 答案：D 3．(

2、2014年新鄉(xiāng)模擬)已知異面直線a，b分別在平面α，β內(nèi)，且α∩β＝c，那么直線c一定(　　) A．與a，b都相交 B．只能與a，b中的一條相交 C．至少與a，b中的一條相交 D．與a，b都平行 解析：若c與a，b都不相交，則c與a，b都平行，根據(jù)公理4，則a∥b，與a，b異面矛盾． 答案：C 4．給出下列四個命題： ①沒有公共點的兩條直線平行； ②互相垂直的兩條直線是相交直線； ③既不平行也不相交的直線是異面直線；[來源:] ④不同在任一平面內(nèi)的兩條直線是異面直線． 其中正確命題的個數(shù)是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：對于①，沒有公共點的兩條

3、直線平行或異面，故①錯；對于②，異面直線垂直但不相交，故②錯；③④正確． 答案：B 5．l1，l2，l3是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是(　　) A．l1⊥l2，l2⊥l3?l1∥l3 B．l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3 C．l2∥l2∥l3?l1，l2，l3共面 D．l1，l2，l3共點?l1，l2，l3共面 解析：對于選項A：如圖，設AA1為l2，A1D1為l1，AB為l3，則l1與l3異面，A錯誤；對于選項C：設AA1為l1，BB1為l2，CC1為l3，知C錯誤；對于選項D：設AA1為l1，AB為l2，AD為l3，知D錯誤，故選B. 答案：B 6．在正四

4、棱錐V－ABCD中，底面正方形ABCD的邊長為1，側(cè)棱長為2，則異面直線VA與BD所成角的大小為(　　) A. B. C. D. 解析：設AC∩BD＝O，連接VO，因為四棱錐V－ABCD是正四棱錐，所以VO⊥平面ABCD，故BD⊥VO.又四邊形ABCD是正方形，所以BD⊥AC，所以BD⊥平面VAC，所以BD⊥VA，即異面直線VA與BD所成角的大小為，選D. 答案：D 二、填空題 7．若兩條異面直線所成的角為60，則稱這對異面直線為“黃金異面直線對”，在連接正方體各頂點的所有直線中，“黃金異面直線對”共有________對． 解析：正方體如圖，若要出現(xiàn)所成角為60的異面直線

5、，則直線為面對角線，以AC為例與之構成黃金異面直線對的直線有4條，分別是A′B，BC′，A′D，C′D，正方體的面對角線有12條，所以所求的黃金異面直線對共有＝24對． 答案：24 8．已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為C1D1的中點，則異面直線AE與BC所成角的余弦值為________． 解析：在正方體ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，所以AE與BC所成的角即為AD與AE所成的角，即是∠EAD.連接DE，在Rt△ADE中，設AD＝a，則DE＝a，tan∠EAD＝＝，cos∠EAD＝，所以異面直線AE與BC所成角的余弦值為. 答案： 9．在圖中，G，H，M，N分

6、別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示直線GH、MN是異面直線的圖形有________．(填上所有正確答案的序號) 解析：圖①中，直線GH∥MN； 圖②中，G、H、N三點共面，但M∈/ 面GHN， 因此直線GH與MN異面； 圖③中，連接MG，GM∥HN， 因此GH與MN共面； 圖④中，G、M、N共面，但H∈/面GMN， 因此GH與MN異面． 所以圖②④中GH與MN異面． 答案：②④ 三、解答題 10.如圖，已知在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，G，H分別是BC，CD上的點，且＝＝2.求證：直線EG，F(xiàn)H，AC相交于一點． 證明：∵E，F(xiàn)分別

7、是AB，AD的中點， ∴EF∥BD，EF＝BD. 又＝＝2，∴GH∥BD，GH＝BD，∴EF∥GH，EF＝GH，∴四邊形EFHG是梯形，設兩腰EG，F(xiàn)H相交于一點T. ∵EG?平面ABC，F(xiàn)H?平面ACD，∴T∈平面ABC，且T∈平面ACD，又平面ABC∩平面ACD＝AC， ∴T∈AC，即直線EG，F(xiàn)H，AC相交于一點T. 11．已知三棱錐A－BCD中，AB＝CD，且直線AB與CD成60角，點M、N分別是BC、AD的中點，求直線AB和MN所成的角． 解析：如圖，取AC的中點P.連接PM、PN， 則PM∥AB，且PM＝AB， PN∥CD，且PN＝CD，所以∠MPN為AB與CD

8、所成的角(或所成角的補角)． 則∠MPN＝60或∠MPN＝120， 若∠MPN＝60，因為PM∥AB， 所以∠PMN是AB與MN所成的角(或所成角的補角)． 又因AB＝CD，所以PM＝PN， 則△PMN是等邊三角形，所以∠PMN＝60，即AB與MN所成的角為60. 若∠MPN＝120， 則易知△PMN是等腰三角形． 所以∠PMN＝30， 即AB與MN所成的角為30.[來源:] 故直線AB和MN所成的角為60或30. 12.(能力提升)(2014年鄭州模擬)如圖，正方形ADEF所在平面和等腰梯形所在平面ABCD垂直，已知BC＝2AD＝4，∠ABC＝60，BF⊥AC.

9、(1)求證：AC⊥面ABF； (2)求異面直線BE與AF所成的角； (3)求該幾何體的表面積． 解析：(1)證明：因為平面ADEF⊥平面ABCD， AF⊥交線AD，AF?平面ADEF， 所以AF⊥平面ABCD. 故AF⊥AC， 又BF⊥AC，AF∩BF＝F. 所以AC⊥平面ABF. (2)注意到DE∥AF， 所以DE與BE所成的角即為異面直線BE與AF所成的角． 連接BD，由(1)知DE⊥BD. 在Rt△BDE中，DE＝2，BD＝2， ∴tan∠BED＝＝，∠BED＝60， 異面直線BE與AF所成的角為60. (3)由(1)知AF⊥平面ABCD，所以AF⊥AB，

10、 又AB＝BCcos 60＝2， 所以△ABF的面積S1＝|AF||AB|＝2. 同理△CDE的面積S2＝2，等腰梯形BCEF的上底長為2，下底長為4，兩腰長均為2，則它的高為， 所以其面積S3＝(2＋4)＝3. 等腰梯形ABCD的上底長為2，下底長為4，兩腰長均為2，則它的高為，所以其面積S4＝(2＋4)＝3. 故該幾何體的表面積S＝S1＋S2＋S3＋S4＋4 ＝3＋3＋8.[來源:] [B組　因材施教備選練習] 1．四棱錐P－ABCD的所有側(cè)棱長都為，底面ABCD是邊長為2的正方形，則CD與PA所成角的余弦值為(　　) A. B. C. D. 解析：因為四邊形

11、ABCD為正方形，故CD∥AB，則CD與PA所成的角即為AB與PA所成的角，即為∠PAB.在△PAB內(nèi)，PB＝PA＝，AB＝2，利用余弦定理可知 cos∠PAB＝＝＝，故選B. 答案：B 2．若P為兩條異面直線l，m外的任意一點，則(　　) A．過點P有且僅有一條直線與l，m都平行 B．過點P有且僅有一條直線與l，m都垂直[來源:] C．過點P有且僅有一條直線與l，m都相交 D．過點P有且僅有一條直線與l，m都異面 解析：設過點P的直線為n，若n與l、m都平行，則l、m平行，與已知矛盾，故選項A錯誤．由于l、m只有唯一的公垂線，而過點P與公垂線平行的直線只有一條，故B正確．對于

12、選項C、D可參考右圖的正方體，設AD為直線l，A′B′為直線m；若點P在P1處，則顯然無法作出直線與兩直線都相交，故選項C錯誤．若P在P2點，則由圖中可知直線CC′與D′P2均與l、m異面，故選項D錯誤．故選B.[來源:] 答案：B 3．(2014年杭州模擬)已知α、β是兩個不同的平面，直線a?α，直線b?β，命題p：a與b沒有公共點，命題q：α∥β，則p是q的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：當a、b都平行于α與β的交線時，a與b無公共點，但α與β相交．當α∥β時，a與b一定無公共點． ∴q?p但p?/ q. 答案：B 高考數(shù)學復習精品 高考數(shù)學復習精品