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1、 精品資料
選修系列4
學(xué)案69 幾何證明選講
(一)相似三角形的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)
導(dǎo)學(xué)目標(biāo): 1.了解平行線等分線段定理和平行線分線段成比例定理;2.掌握相似三角形的判定定理及性質(zhì)定理;3.理解直角三角形射影定理.
自主梳理
1.平行線等分線段定理
如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等,那么在任一條(與這組平行線相交的)直線上截得的線段也相等.
2.平行線分線段成比例定理
兩條直線與一組平行線相交,它們被這組平行線截得的對(duì)應(yīng)線段__________.
推論1 平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或_______
2、_______),所得的對(duì)應(yīng)線段________.
推論2 平行于三角形的一邊,并且和其他兩邊________的直線所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對(duì)應(yīng)________.
推論3 三角形的一個(gè)內(nèi)角平分線分對(duì)邊所得的兩條線段與這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例.
3.相似三角形的判定
判定定理1 對(duì)于任意兩個(gè)三角形,如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等,那么這兩個(gè)三角形相似.簡(jiǎn)述為:兩角對(duì)應(yīng)________的兩個(gè)三角形相似.
判定定理2 對(duì)于任意兩個(gè)三角形,如果一個(gè)三角形的兩邊和另一個(gè)三角形的兩邊對(duì)應(yīng)成比例,并且夾角相等,那么這兩個(gè)三角形相似.簡(jiǎn)述為:兩邊對(duì)應(yīng)成比例且_____
3、_相等的兩個(gè)三角形相似.
判定定理3 對(duì)于任意兩個(gè)三角形,如果一個(gè)三角形的三條邊和另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例,那么這兩個(gè)三角形相似.簡(jiǎn)述為:三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似.
4.相似三角形的性質(zhì)
(1)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比;
(2)相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比;
(3)相似三角形面積的比等于相似比的平方.
5.直角三角形射影定理
直角三角形一條直角邊的平方等于該直角邊在________________與斜邊的________,斜邊上的高的________等于兩條直角邊在斜邊上的射影的乘積.
自我檢測(cè)
1.如果梯形的中位線的長(zhǎng)
4、為6 cm,上底長(zhǎng)為4 cm,那么下底長(zhǎng)為________cm.
2.如圖,在△ABC中,ED∥BC,EF∥BD,則下列四個(gè)結(jié)論正確的是(填序號(hào))________.
①=;②=;③=;④=.
3.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于點(diǎn)D,CD=2,BD=3,則AC=________.
第3題圖 第4題圖
4.如圖所示,在△ABC中,AD是∠BAC的平分線,AB=5 cm,AC=4 cm,BC=7 cm,則BD=________cm.
5.(2011·陜西)如圖,∠B=∠D,AE⊥BC,∠ACD=90
5、6;,且AB=6,AC=4,AD=12,則BE=________.
探究點(diǎn)一 確定線段的n等分點(diǎn)
例1 已知線段PQ,在線段PQ上求作一點(diǎn)D,使PD∶DQ=2∶1.
變式遷移1 已知△ABC,D在AC上,AD∶DC=2∶1,能否在AB上找到一點(diǎn)E,使得線段EC的中點(diǎn)在BD上.
探究點(diǎn)二 平行線分線段成比例定理的應(yīng)用
例2 在△ABC的邊AB、AC上分別取D、E兩點(diǎn),使BD=CE,DE的延長(zhǎng)線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.求證:=.
變式遷移2 如圖,已知AB∥CD∥E
6、F,AB=a,CD=b(0<a<b),AE∶EC=m∶n(0<m<n),求EF.
探究點(diǎn)三 相似三角形的判定及性質(zhì)的應(yīng)用
例3 如圖,已知梯形ABCD中,AB∥CD,過D與BC平行的直線交AB于點(diǎn)E,∠ACE=∠ABC,求證:AB·CE=AC·DE.
變式遷移3 如圖,已知?ABCD中,G是DC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),AG分別交BD和BC于E、F兩點(diǎn),證明AF·AD=AG·BF.
1.用添加平行輔助線的方法構(gòu)造使用
7、平行線等分線段定理與平行線分線段成比例定理的條件.特別是在使用平行線分線段成比例定理及推論時(shí),一定要注意對(duì)應(yīng)線段,對(duì)應(yīng)邊.
2.利用平行線等分線段定理將某線段任意等分,需要過線段的一個(gè)端點(diǎn)作輔助線,在作圖時(shí)要注意保留作圖痕跡.
3.在證明兩個(gè)或兩個(gè)以上的比例式相等時(shí),需要找第三個(gè)比例式與它們都相等,可考慮利用平行線分線段成比例定理或推論,也可以考慮用線段替換及等比定理,由相等的傳遞性得出結(jié)論.
4.判定兩個(gè)三角形相似,根據(jù)題設(shè)條件選擇使用三角形相似的判定定理.
(滿分:90分)
一、填空題(每小題6分,共48分)
1.如圖所示,l1∥l2∥l3,下列比例式正確的有_____
8、___(填序號(hào)).
(1)=;(2)=;(3)=;(4)=.
2.如圖所示,D是△ABC的邊AB上的一點(diǎn),過D點(diǎn)作DE∥BC交AC于E.已知=,則=__________________________________________________________________.
3.如圖,在四邊形ABCD中,EF∥BC,F(xiàn)G∥AD,則+=________.
4.在直角三角形中,斜邊上的高為6,斜邊上的高把斜邊分成兩部分,這兩部分的比為3∶2,則斜邊上的中線的長(zhǎng)為________.
5.(2010·蘇州模擬)如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,BD與AC相交于
9、點(diǎn)O,過點(diǎn)O的直線分別交AB,CD于E,F(xiàn),且EF∥BC,若AD=12,BC=20,則EF=________.
6.如圖所示,在△ABC中,AD⊥BC,CE是中線,DC=BE,DG⊥CE于G,EC的長(zhǎng)為4,則EG=________.
7.(2010·天津武清一模)如圖,在△ABC中,AD平分∠BAC,DE∥AC,EF∥BC,AB=15,AF=4,則DE=________.
8.如圖所示,BD、CE是△ABC的中線,P、Q分別是BD、CE的中點(diǎn),則=________.
二、解答題(共42分)
9.(14分)如圖所示,在△ABC中,∠CAB=90°
10、,AD⊥BC于D,BE是∠ABC的平分線,交AD于F,求證:=.
10.(14分)如圖,△ABC中,D是BC的中點(diǎn),M是AD上一點(diǎn),BM、CM的延長(zhǎng)線分別交AC、AB于F、E.
求證:EF∥BC.
11.(14分)(2010·蘇州模擬)如圖,在四邊形ABCD中,AC與BD相交于O點(diǎn),直線l平行于BD且與AB,DC,BC,AD及AC的延長(zhǎng)線分別相交于點(diǎn)M,N,R,S和P,
求證:PM·PN=PR·PS.
學(xué)
11、案69 幾何證明選講
(一)相似三角形的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)
答案
自主梳理
2.成比例 兩邊的延長(zhǎng)線 成比例 相交 成比例 3.相等 夾角 5.斜邊上的射影 乘積 平方
自我檢測(cè)
1.8
2.③
3.
解析 由射影定理:CD2=AD·BD.
∴AD=,∴AC===.
4.
解析 ∵==,∴BD=cm.
5.4
解析 ∵AC=4,AD=12,∠ACD=90°,
∴CD2=AD2-AC2=128,
∴CD=8.
又∵AE⊥BC,∠B=∠D,
∴△ABE∽△ADC,∴=,
∴BE===4.
課堂活動(dòng)區(qū)
例1 解題導(dǎo)引 利用平行線等分線段定理可
12、對(duì)線段任意等分,其作圖步驟為:首先作出輔助射線,然后在射線上依次截取任意相同長(zhǎng)度的n條線段,最后過輔助線上的各等分點(diǎn)作平行線,確定所求線段的n等分點(diǎn).
解 在線段PQ上求作點(diǎn)D,使PD∶DQ=2∶1,就是要作出線段PQ上靠近Q點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn),通過線段PQ的一個(gè)端點(diǎn)作輔助射線,并取線段的三等分點(diǎn),利用平行線等分線段定理確定D點(diǎn)的位置.
作法:①作射線PN.
②在射線PN上截取PB=2a,BC=a.
③連結(jié)CQ.
④過點(diǎn)B作CQ的平行線,交PQ于D.
∴點(diǎn)D即為所求的點(diǎn).
變式遷移1
解 假設(shè)能找到,如圖,設(shè)EC交BD于點(diǎn)F,則F為EC的中點(diǎn),作EG∥AC交BD于G.
13、
∵EG∥AC,EF=FC,
∴△EGF≌△CDF,且EG=DC,
∴EG綊AD,△BEG∽△BAD,
∴==,∴E為AB的中點(diǎn).
∴當(dāng)E為AB的中點(diǎn)時(shí),EC的中點(diǎn)在BD上.
例2 解題導(dǎo)引 證明線段成比例問題,一般有平行的條件可考慮用平行線分線段成比例定理或推論,也可以用三角形相似或考慮用線段替換等方法.
證明 作EG∥AB交BC于G,如圖所示,
∵△CEG∽△CAB,
∴=,即==,
又∵=,∴=.
變式遷移2 解 如圖,過點(diǎn)F作FH∥EC,分別交BA,DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,H,由EF∥AB∥CD及FH∥EC,知AG=CH=EF,F(xiàn)G=AE,F(xiàn)H=EC.從而FG∶FH
14、=AE∶EC=m∶n.
由BG∥DH,知BG∶DH=FG∶FH=m∶n.
設(shè)EF=x,則得(x+a)∶(x+b)=m∶n.
解得x=,
即EF=.
例3 解題導(dǎo)引 有關(guān)兩線段的比值的問題,除了應(yīng)用平行線分線段成比例定理外,也可利用相似三角形的判定和性質(zhì)求解.解題中要注意觀察圖形特點(diǎn),巧添輔助線,對(duì)解題可起到事半功倍的效果.
證明 方法一 ∵AB∥CD,
∴=,即=. ①
∵DE∥BC,
∴=,即=. ②
由①②得=, ③
∵∠FDC=∠ECF,∠DEC=∠FEC,
∴△EFC∽△ECD.
∴=. ④
由③④得=,
即AB·CE
15、=AC·DE.
方法二 ∵AB∥CD,DE∥BC,
∴BEDC是平行四邊形.
∴DE=BC.
∵∠ACE=∠ABC,∠EAC=∠BAC,
∴△AEC∽△ACB.
∴=.
∴=,即AB·CE=AC·DE.
變式遷移3 證明 因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形,
所以AB∥DC,AD∥BC.
所以△ABF∽△GCF,△GCF∽△GDA.
所以△ABF∽△GDA.
從而有=,即AF·AD=AG·BF.
課后練習(xí)區(qū)
1.(4)
解析 由平行線分線段成比例定理可知(4)正確.
2.
解析 由=知,=,=,
故=.
3.1
16、
解析 ∵EF∥BC,∴=,
又∵FG∥AD,∴=,
∴+=+==1.
4.
解析 設(shè)斜邊上的兩段的長(zhǎng)分別為3t,2t,由直角三角形中的射影定理知:62=3t·2t,解得t=(t>0,舍去負(fù)根),所以斜邊的長(zhǎng)為5,故斜邊上的中線的長(zhǎng)為.
5.15
解析 ∵AD∥BC,∴===,∴=,
∵OE∥AD,∴==,
∴OE=AD=×12=,
同理可求得OF=BC=×20=,
∴EF=OE+OF=15.
6.2
解析 連結(jié)DE,因?yàn)锳D⊥BC,所以△ADB是直角三角形,則DE=AB=BE=DC.又因?yàn)镈G⊥CE于G,所以DG平分CE,故E
17、G=2.
7.6
解析 設(shè)DE=x,∵DE∥AC,
∴=,解得BE=.
∴===.
又∵AD平分∠BAC,∴===,
解得x=6.
8.
解析 連結(jié)DE,延長(zhǎng)QP交AB于N,
則
得PQ=BC.
9.證明 由三角形的內(nèi)角平分線定理得,
在△ABD中,=, ①
在△ABC中,=, ② (4分)
在Rt△ABC中,由射影定理知,AB2=BD·BC,
即=. ③ (8分)
由①③得:=, ④ (12分)
由②④得:=. (14分)
10.證明 延長(zhǎng)AD至G,使DG=MD,連結(jié)BG、CG.
∵BD=DC,MD=DG,
∴四邊形BGCM為平行四邊形. (4分)
∴EC∥BG,F(xiàn)B∥CG,
∴=,=,
∴=, (12分)
∴EF∥BC. (14分)
11.證明 ∵BO∥PM,
∴=, (4分)
∵DO∥PS,
∴=,∴=. (6分)
即=,
由BO∥PR 得=. (10分)
由DO∥PN得=. (12分)
∴=,即=,
∴=.
∴PM·PN=PR·PS. (14分)