高考數(shù)學理一輪資源庫 選修系列學案73坐標系與參數(shù)方程

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1、 精品資料 學案73　坐標系與參數(shù)方程 導學目標： 1.了解坐標系的有關概念，理解簡單圖形的極坐標方程.2.會進行極坐標方程與直角坐標方程的互化.3.理解直線、圓及橢圓的參數(shù)方程，會進行參數(shù)方程與普通方程的互化，并能進行簡單應用． 自主梳理 1．極坐標系的概念 在平面上取一個定點O，叫做極點；自極點O引一條射線Ox，叫做________；再選定一個長度單位、一個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向)，這樣就建立了一個____________． 設M是平面上任一點，極點O與點M的距離OM叫做點M的______

2、__，記為ρ；以極軸Ox為始邊，射線OM為終邊的角xOM叫做點M的________，記為θ.有序數(shù)對(ρ，θ)叫做點M的__________，記作(ρ，θ)． 2．極坐標和直角坐標的互化 把直角坐標系的原點作為極點，x軸的正半軸作為極軸，并在兩種坐標系中取相同的長度單位，設M是平面內(nèi)任意一點，它的直角坐標是(x，y)，極坐標為(ρ，θ)，則它們之間的關系為x＝__________，y＝__________.另一種關系為：ρ2＝__________，tan θ＝______________. 3．簡單曲線的極坐標方程 (1)一般地，如果一條曲線上任意一點都有一個極坐標適合方程φ(ρ，θ)

3、＝0，并且坐標適合方程φ(ρ，θ)＝0的點都在曲線上，那么方程φ(ρ，θ)＝0叫做曲線的________________________________________________________________________． (2)常見曲線的極坐標方程 ①圓的極坐標方程 ____________表示圓心在(r,0)半徑為|r|的圓； ____________表示圓心在(r，)半徑為|r|的圓； ________表示圓心在極點，半徑為|r|的圓． ②直線的極坐標方程 ________________表示過極點且與極軸成α角的直線； __________表示過(a,0)且

4、垂直于極軸的直線； __________表示過(b，)且平行于極軸的直線； ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)表示過(ρ0，θ0)且與極軸成α角的直線方程． 4．常見曲線的參數(shù)方程 (1)直線的參數(shù)方程 若直線過(x0，y0)，α為直線的傾斜角，則直線的參數(shù)方程為這是直線的參數(shù)方程，其中參數(shù)l有明顯的幾何意義． (2)圓的參數(shù)方程 若圓心在點M(a，b)，半徑為R，則圓的參數(shù)方程為0≤α<2π. (3)橢圓的參數(shù)方程 中心在坐標原點的橢圓＋＝1的參數(shù)方程為(φ為參數(shù))． (4)拋物線的參數(shù)方程 拋物線y2＝2px(p>0)的參數(shù)方程為 自我檢測 1．(教材改編

5、題)點M的直角坐標為(－，－1)，則它的極坐標為________． 2．(原創(chuàng)題)在極坐標系中，點(ρ，θ)與(－ρ，π＋θ)的位置關系為________． 3．(2011陜西)在直角坐標系xOy中，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，設點A，B分別在曲線C1：(θ為參數(shù))和曲線C2：ρ＝1上，則|AB|的最小值為________． 4．(2011廣州一模)在極坐標中，直線ρsin(θ＋)＝2被圓ρ＝4截得的弦長為________． 5．(2010陜西)已知圓C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，以原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為ρsin θ＝1，則直線l

6、與圓C的交點的直角坐標為________________. 探究點一　求曲線的極坐標方程 例1 在極坐標系中，以(，)為圓心，為半徑的圓的方程為________． 變式遷移1 如圖，求經(jīng)過點A(a,0)(a>0)，且與極軸垂直的直線l的極坐標方程． 探究點二　極坐標方程與直角坐標方程的互化 例2 (2009遼寧)在直角坐標系xOy中，以O為極點，x軸正半軸為極軸建立坐標系．曲線C的極坐標方程為ρcos＝1，M、N分別為C與x軸，y軸的交點． (1)寫出C的直角坐標方程，并求M、N的極坐標； (2)設MN的中點為P，求直線

7、OP的極坐標方程． 變式遷移2 (2010東北三校第一次聯(lián)考)在極坐標系下，已知圓O：ρ＝cos θ＋sin θ和直線l：ρsin(θ－)＝， (1)求圓O和直線l的直角坐標方程； (2)當θ∈(0，π)時，求直線l與圓O公共點的一個極坐標． 探究點三　參數(shù)方程與普通方程的互化 例3 將下列參數(shù)方程化為普通方程： (1)； (2)； (3). 變式遷移3 化下列參數(shù)方程為普通方程，并作出曲線的草圖． (1)(θ為參數(shù))； (2) (t為參數(shù))．

8、 探究點四　參數(shù)方程與極坐標的綜合應用 例4 求圓ρ＝3cos θ被直線(t是參數(shù))截得的弦長． 變式遷移4 (2011課標全國)在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù)) M是C1上的動點，P點滿足＝2，P點的軌跡為曲線C2. (1)求C2的方程； (2)在以O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，射線θ＝與C1的異于極點的交點為A，與C2的異于極點的交點為B，求|AB|. 本節(jié)內(nèi)容要注意以下兩點：一、簡單曲線的極坐標方程可結合極坐標系中ρ和θ

9、的具體含義求出，也可利用極坐標方程與直角坐標方程的互化得出．同直角坐標方程一樣，由于建系的不同，曲線的極坐標方程也會不同．在沒有充分理解極坐標的前提下，可先化成直角坐標解決問題．二、在普通方程中，有些F(x，y)＝0不易得到，這時可借助于一個中間變量(即參數(shù))來找到變量x，y之間的關系．同時，在直角坐標系中，很多比較復雜的計算(如圓錐曲線)，若借助于參數(shù)方程來解決，將會大大簡化計算量．將曲線的參數(shù)方程化為普通方程的關鍵是消去其中的參數(shù)，此時要注意其中的x，y(它們都是參數(shù)的函數(shù))的取值范圍，也即在消去參數(shù)的過程中一定要注意普通方程與參數(shù)方程的等價性．參數(shù)方程化普通方程常用的消參技巧有：代入消元

10、、加減消元、平方后相加減消元等．同極坐標方程一樣，在沒有充分理解參數(shù)方程的前提下，可先化成直角坐標方程再去解決相關問題． (滿分：90分) 一、填空題(每小題6分，共48分) 1．直角(t為參數(shù))恒過定點________． 2．點M(5，)為極坐標系中的一點，給出如下各點的坐標： ①(－5，－)；②(5，)；③(－5，)；④(－5，－)． 其中可以作為點M關于極點的對稱點的坐標的是______(填序號)． 3．在極坐標系中，若點A，B的坐標分別為(3，)，(4，－)，則AB＝________，S△AOB＝________.(其中O是極點) 4．(2011廣東)已知兩

11、曲線參數(shù)方程分別為(0≤θ<π)和(t∈R)，它們的交點坐標為________． 5．(2011天津)已知拋物線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．若斜率為1的直線經(jīng)過拋物線C的焦點，且與圓(x－4)2＋y2＝r2(r>0)相切，則r＝________. 6．(2010廣東韶關一模)在極坐標系中，圓心在(，π)且過極點的圓的方程為________． 7．(2009安徽)以直角坐標系的原點為極點，x軸的正半軸為極軸，并在兩種坐標系中取相同的長度單位．已知直線的極坐標方程為θ＝(ρ∈R)，它與曲線(α為參數(shù))相交于兩點A和B，則AB＝________. 8．(2010廣東深圳高級中學一模)在直角坐

12、標系中圓C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，若以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸建立極坐標系，則圓C的極坐標方程為________． 二、解答題(共42分) 9．(14分)⊙O1和⊙O2的極坐標方程分別為ρ＝4cosθ，ρ＝－4sinθ. (1)把⊙O1和⊙O2的極坐標方程化為直角坐標方程； (2)求經(jīng)過⊙O1，⊙O2交點的直線的直角坐標方程． 10．(14分)(2011江蘇，21C)在平面直角坐標系xOy中，求過橢圓(φ為參數(shù))的右焦點，且與直線(t為參數(shù))平行的直線的普通方程．

13、 11．(14分)(2010福建)在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．在極坐標系(與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸)中，圓C的方程為ρ＝2sin θ. (1)求圓C的直角坐標方程； (2)設圓C與直線l交于點A，B.若點P的坐標為(3，)，求PA＋PB. 學案73　坐標系與參數(shù)方程 答案 自主梳理 1．極軸　極坐標系　極徑　極角　極坐標　2.ρcos θ　ρsin θ　x2＋y2　(x≠0)　3.(1)極坐標方程　(2)①ρ＝2rcos θ　ρ＝2rsin θ　ρ＝r?、讦龋?/p>

14、α(ρ∈R)　ρcos θ＝a　ρsin θ＝b 自我檢測 1．(2，π)(答案不唯一) 2．重合 3．3 解析　∵C1：(x－3)2＋(y－4)2＝1，C2：x2＋y2＝1， ∴兩圓心之間的距離為d＝＝5. ∵A∈曲線C1，B∈曲線C2，∴|AB|min＝5－2＝3. 4．4 解析　直線ρsin(θ＋)＝2可化為x＋y－2＝0，圓ρ＝4可化為x2＋y2＝16， 由圓中的弦長公式得2＝2 ＝4. 5．(－1,1)，(1,1) 解析　∵y＝ρsin θ， ∴直線l的直角坐標方程為y＝1. 由得x2＋(y－1)2＝1. 由得或 ∴直線l與圓C的交點的直角坐標為(－

15、1,1)和(1,1)． 課堂活動區(qū) 例1 解題導引　求曲線的極坐標方程的步驟：①建立適當?shù)臉O坐標系，設P(ρ，θ)是曲線上任意一點；②由曲線上的點所適合的條件，列出曲線上任意一點的極徑ρ和極角θ之間的關系式；③將列出的關系式進行整理、化簡，得出曲線上的極坐標方程；④證明所得方程就是曲線的極坐標方程，若方程的推導過程正確，化簡過程都是同解變形，這一證明可以省略． 答案　ρ＝asin θ，0≤θ<π 解析　圓的直徑為a，設圓心為C，在圓上任取一點A(ρ，θ)， 則∠AOC＝－θ或θ－，即∠AOC＝|θ－|. 又ρ＝acos∠AOC＝acos|θ－|＝asin θ. ∴圓的方程是ρ

16、＝asin θ，0≤θ<π. 變式遷移1 解　設P(ρ，θ)是直線l上任意一點，OPcos θ＝OA，即ρcos θ＝a， 故所求直線的極坐標方程為ρcos θ＝a. 例2 解題導引　直角坐標方程化為極坐標方程比較容易，只要運用公式x＝ρcos θ及y＝ρsin θ直接代入并化簡即可；而極坐標方程化為直角坐標方程則相對困難一些，解此類問題常通過變形，構造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，進行整體代換．其中方程的兩邊同乘以(或同除以)ρ及方程兩邊平方是常用的變形方法．但對方程進行變形時，方程必須同解，因此應注意對變形過程的檢驗． 解　(1)由ρcos＝1得ρ＝1. 從而C的直

17、角坐標方程為x＋y＝1， 即x＋y＝2，當θ＝0時，ρ＝2，所以M(2,0)． 當θ＝時，ρ＝，所以N. (2)M點的直角坐標為(2,0)． N點的直角坐標為(0，)． 所以P點的直角坐標為， 則P點的極坐標為， 所以直線OP的極坐標方程為θ＝，ρ∈(－∞，＋∞)． 變式遷移2 解　(1)圓O：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， 圓O的直角坐標方程為x2＋y2＝x＋y， 即x2＋y2－x－y＝0. 直線l：ρsin(θ－)＝，即ρsin θ－ρcos θ＝1， 則直線l的直角坐標方程為y－x＝1， 即x－y＋1＝0. (2)由得 故直

18、線l與圓O公共點的一個極坐標為(1，)． 例3 解題導引　參數(shù)方程通過消去參數(shù)化為普通方程．對于(1)直接消去參數(shù)k有困難，可通過兩式相除，先降低k的次數(shù)，再運用代入法消去k；對于(2)可運用恒等式(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ消去θ；對于(3)可運用恒等式()2＋()2＝1消去t. 另外，參數(shù)方程化為普通方程時，不僅要消去參數(shù)，還應注意普通方程與原參數(shù)方程的取值范圍保持一致． 解　(1)兩式相除，得k＝.將k＝代入， 得x＝. 化簡，得所求的普通方程是4x2＋y2－6y＝0(y≠6)． (2)由(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝2－(1－sin 2θ

19、)， 得y2＝2－x. 又x＝1－sin 2θ∈[0,2]， 得所求的普通方程是y2＝2－x，x∈[0,2]． (3)由()2＋()2＝1， 得x2＋4y2＝1.又x＝≠－1， 得所求的普通方程是x2＋4y2＝1(x≠－1)． 變式遷移3 解　(1)由y2＝(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝1＋2x，得y2＝2x＋1. ∵－≤sin 2θ≤，∴－≤x≤. ∵－≤sin θ＋cos θ≤，∴－≤y≤. 故所求普通方程為 y2＝2 (－≤x≤，－≤y≤)，圖形為拋物線的一部分． 圖形如圖甲所示． (2)由x2＋y2＝2＋2＝1及x＝≠0，xy＝≥0知，所求軌

20、跡為兩段圓弧x2＋y2＝1 (0

21、為ρ＝8sin θ. 射線θ＝與C1的交點A的極徑為ρ1＝4sin， 射線θ＝與C2的交點B的極徑為ρ2＝8sin. 所以|AB|＝|ρ2－ρ1|＝2. 課后練習區(qū) 1．(3，－1) 解析　由題知，x－3＝(y＋1)，∴恒過定點(3，－1)． 2．②③ 3．5　6 解析　∵∠AOB＝，∴∠AOB為直角三角形． ∴AB＝＝5，S△AOB＝34＝6. 4．(1，) 解析　將兩曲線的參數(shù)方程化為一般方程分別為＋y2＝1(0≤y≤1，－

22、 即x－y－2＝0.因為直線y＝x－2與圓(x－4)2＋y2＝r2相切，由題意得r＝＝. 6．ρ＝－2cos θ 解析　如圖，O為極點，OB為直徑，A(ρ，θ)，則∠ABO＝θ－90， OB＝2＝， 化簡得ρ＝－2cos θ. 7． 解析　直線的極坐標方程為θ＝(且ρ∈R)，故其直角坐標系下對應的方程為y＝x，參數(shù)方程為(α為參數(shù))的直角坐標系下對應的方程為(x－1)2＋(y－2)2＝4. 圓心(1,2)到直線y＝x的距離為.又半徑為2， 故弦長為2＝. 8．ρ＝4sin θ 解析　由參數(shù)方程消去α得圓C的方程為x2＋(y－2)2＝4，將x＝ρcos θ，y＝ρsin

23、θ代入得(ρcos θ)2＋(ρsin θ－2)2＝4，整理得ρ＝4sin θ. 9．解　以極點為原點，極軸為x軸正半軸，建立平面直角坐標系，兩坐標系中取相同的長度單位．(1分) (1)x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，由ρ＝4cosθ 得ρ2＝4ρcosθ，所以x2＋y2＝4x. 即x2＋y2－4x＝0為⊙O1的直角坐標系方程，(4分) 同理x2＋y2＋4y＝0為⊙O2的直角坐標系方程．(7分) (2)由解得　(11分) 即⊙O1，⊙O2交于點(0,0)和(2，－2)，過交點的直線的直角坐標系方程為y＝－x.(14分) 10．解　由題設知，橢圓的長半軸長a＝5，短半軸長b＝3，

24、從而c＝＝4，所以右焦點為(4,0)．將已知直線的參數(shù)方程化為普通方程：x－2y＋2＝0.(6分) 故所求直線的斜率為，因此其方程為y＝(x－4)，(8分) 即x－2y－4＝0.(14分) 11．解　方法一　(1)ρ＝2sin θ，得x2＋y2－2y＝0， 即x2＋(y－)2＝5.(6分) (2)將l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標方程，得 (3－t)2＋(t)2＝5，即t2－3t＋4＝0.(8分) 由于Δ＝(3)2－44＝2>0，故可設t1，t2是上述方程的兩實根，所以(10分) 又直線l過點P(3，)， 故由上式及t的幾何意義得PA＋PB＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝3. (14分) 方法二　(1)同方法一． (6分) (2)因為圓C的圓心為點(0，)，半徑r＝，直線l的普通方程為y＝－x＋3＋. 由得x2－3x＋2＝0. 解得或 (10分) 不妨設A(1,2＋)，B(2,1＋)，又點P的坐標為(3，)， 故PA＋PB＝＋＝3. (14分)