高考數(shù)學復習：第八章 ：第三節(jié)圓的方程突破熱點題型

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1、 第三節(jié)　圓 的 方 程 考點一 求圓的方程 　 [例1]　(1)經(jīng)過點A(5,2)，B(3，－2)，且圓心在直線2x－y－3＝0上的圓的方程為________________． (2)(2013江西高考)若圓C經(jīng)過坐標原點和點(4,0)，且與直線y＝1相切，則圓C的方程是________________． [自主解答]　(1)法一：由題知kAB＝2，A，B的中點為(4,0)，設圓心為C(a，b)． ∵圓過A(5,2)，B(3，－2)兩點， ∴圓心一定在線段AB的垂直平分線上． 則解得∴C(2,1)， r＝|CA|＝＝. ∴所求圓的方程為(x－2)2

2、＋(y－1)2＝10. 法二：設圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 則 解得 故圓的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝10. 法三：設圓的方程為 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)， 則 解得D＝－4，E＝－2，F(xiàn)＝－5. ∴所求圓的方程為x2＋y2－4x－2y－5＝0. (2)由已知可設圓心為(2，b)，由22＋b2＝(1－b)2＝r2，得b＝－，r2＝. 故圓C的方程為(x－2)2＋2＝. [答案]　(1)x2＋y2－4x－2y－5＝0(或(x－2)2＋(y－1)2＝10)　(2)(x－2)2＋2＝ 【互動探究】 本例(2)中“與

3、直線y＝1相切”改為“圓心在y＝1上”，結果如何？ 解：∵圓過點O(0,0)和點(4,0)． ∴圓心在直線x＝2上， 又∵圓心在y＝1上， ∴圓心的坐標為(2,1)，半徑r＝＝. 因此，圓的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝5.　　　　　 【方法規(guī)律】 求圓的方程的兩種方法 (1)直接法：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標和半徑，進而寫出方程． (2)待定系數(shù)法：若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關，則設圓的標準方程，依據(jù)已知條件列出關于a，b，r的方程組，從而求出a，b，r的值． 求下列圓的方程： (1)圓心在直線y＝－4x上，且與直線l：x＋y－1＝0相切于點

4、P(3，－2)； (2)過三點A(1,12)，B(7,10)，C(－9,2)． 解：(1)法一：設圓的標準方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 則有解得a＝1，b＝－4，r＝2. 故所求圓的方程為(x－1)2＋(y＋4)2＝8. 法二：過切點且與x＋y－1＝0垂直的直線為y＋2＝x－3. 與y＝－4x聯(lián)立可得圓心為(1，－4)， 所以半徑r＝＝2. 故所求圓的方程為(x－1)2＋(y＋4)2＝8. (2)法一：設圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)． 則 解得D＝－2，E＝－4，F(xiàn)＝－95， 所以所求圓的方程為x2＋y2－2x－4y－

5、95＝0. 法二：由A(1,12)，B(7,10)，得AB的中點坐標為(4,11)， kAB＝－，則AB的中垂線方程為3x－y－1＝0. 同理得AC的中垂線方程為x＋y－3＝0.[來源:] 聯(lián)立得 即圓心坐標為(1,2)，半徑r＝＝10， 所以所求圓的方程為(x－1)2＋(y－2)2＝100. 考點二 與圓有關的軌跡問題 　 [例2]　(2013新課標全國卷Ⅰ)已知圓M：(x＋1)2＋y2＝1，圓N：(x－1)2＋y2＝9，動圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線C. (1)求C的方程； (2)l是與圓P，圓M都相切的一條直線，l與曲線C交于A，B兩點，

6、當圓P的半徑最長時，求|AB|. [自主解答]　由已知得圓M的圓心為M(－1,0)，半徑r1＝1；圓N的圓心為N(1,0)，半徑r2＝3. 設圓P的圓心為P(x，y)，半徑為R. (1)因為圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4. 由橢圓的定義可知，曲線C是以M，N為左、右焦點，長半軸長為2，短半軸長為的橢圓(左頂點除外)，其方程為＋＝1(x≠－2)． (2)對于曲線C上任意一點P(x，y)，[來源:] 由于|PM|－|PN|＝2R－2≤2，所以R≤2， 當且僅當圓P的圓心為(2,0)時，R＝2. 所以當圓P的半徑最長時

7、，其方程為(x－2)2＋y2＝4. 若l的傾斜角為90，則l與y軸重合，可得|AB|＝2. 若l的傾斜角不為90，由r1≠R知l不平行于x軸，設l與x軸的交點為Q，則＝，可求得Q(－4,0)， 所以可設l：y＝k(x＋4)． 由l與圓M相切得＝1，解得k＝. 當k＝時，將y＝x＋代入＋＝1，并整理得7x2＋8x－8＝0， 解得x1＝，x2＝. 所以|AB|＝|x2－x1|＝. 當k＝－時，由圖形的對稱性可知|AB|＝. 綜上，|AB|＝2或|AB|＝. 【方法規(guī)律】 求與圓有關的軌跡方程的方法 已知直角三角形ABC的斜邊為AB，且A(－1,0)，B(3,0

8、)，求： (1)直角頂點C的軌跡方程； (2)直角邊BC的中點M的軌跡方程． 解：(1)法一：設頂點C(x，y)，因為AC⊥BC，所以x≠3且x≠－1. 又kAC＝，kBC＝，且kACkBC＝－1， 所以＝－1，即x2＋y2－2x－3＝0. 因此，直角頂點C的軌跡方程為x2＋y2－2x－3＝0(x≠3且x≠－1)． 法二：設AB的中點為D，由中點坐標公式得D(1,0)，由直角三角形的性質(zhì)知，|CD|＝|AB|＝2，由圓的定義知，動點C的軌跡是以D(1,0)為圓心，2為半徑的圓(由于A，B，C三點不共線，所以應除去與x軸的交點)． 所以直角頂點C的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝4

9、(x≠3且x≠－1)． (2)設點M(x，y)，點C(x0，y0)，因為B(3,0)，M是線段BC的中點，由中點坐標公式得x＝(x≠3且x≠1)，y＝，于是有x0＝2x－3，y0＝2y. 由(1)知，點C在圓(x－1)2＋y2＝4(x≠3且x≠－1)上運動，將x0＝2x－3，y0＝2y代入該方程得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1(x≠3且x≠1)． 因此動點M的軌跡方程為(x－2)2＋y2＝1(x≠3且x≠1)． 高頻考點 考點三 與圓有關的最值問題　　 1．與圓有關的最值問題，是高考命題的熱點，多以選擇題、填空題的形式呈現(xiàn)，試題難度不大

10、，多為容易題、中檔題． 2．高考中主要有以下幾個命題角度： (1)與圓有關的長度或距離的最值問題； (2)與圓上的點(x，y)有關的代數(shù)式的最值問題． 例如，形如u＝型；形如t＝ax＋by型；形如(x－a)2＋(y－b)2型． [例3]　(1)(2013重慶高考)設P是圓(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的動點，Q是直線x＝－3上的動點，則|PQ|的最小值為(　　) A．6 B．4 C．3 D．2 (2)(2013山東高考)過點(3,1)作圓(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的長為________．[來源:] [自主解

11、答]　(1)當PQ所在直線過圓心且垂直于直線x＝－3時，|PQ|有最小值，且最小值為圓心(3，－1)到直線x＝－3的距離減去半徑2，即最小值為4. (2)設P(3,1)，圓心C(2,2)，則|PC|＝，由題意知最短的弦過P(3,1)且與PC垂直，所以最短弦長為2＝2.[來源:][來源:] [答案]　(1)B　(2)2 與圓有關的最值問題的常見類型及解題策略 (1)與圓有關的長度或距離的最值問題的解法．一般根據(jù)長度或距離的幾何意義，利用圓的幾何性質(zhì)數(shù)形結合求解． (2)與圓上點(x，y)有關代數(shù)式的最值的常見類型及解法．①形如u＝型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為過點(a，b)和點(x，y)的

12、直線的斜率的最值問題；②形如t＝ax＋by型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線的截距的最值問題；③形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動點到定點的距離平方的最值問題． 已知M為圓C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一點，且點Q(－2,3)． (1)求|MQ|的最大值和最小值； (2)若M(m，n)，求的最大值和最小值． 解：(1)由圓C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，所以圓心C的坐標為(2,7)，半徑r＝2. 又|QC|＝＝4. 所以|MQ|max＝4＋2＝6， |MQ|min＝4－2＝2. (2)可知表示直線M

13、Q的斜率， 設直線MQ的方程為y－3＝k(x＋2)， 即kx－y＋2k＋3＝0，則＝k. 由直線MQ與圓C有交點，所以≤2. 可得2－≤k≤2＋， 所以的最大值為2＋，最小值為2－. ——————————[課堂歸納——通法領悟]———————————————— 1種方法——待定系數(shù)法求圓的方程 　(1)若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關，則設圓的標準方程，依據(jù)已知條件列出關于a，b，r的方程組，從而求出a，b，r的值； (2)若已知條件沒有明確給出圓心或半徑，則選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關于D，E，F(xiàn)的方程組，進而求出D，E，F(xiàn)的值． 3個性質(zhì)——常用到的圓的三個性質(zhì) 　在解決與圓有關的問題時，借助于圓的幾何性質(zhì)，往往會使得思路簡潔明了，簡化思路，簡便運算． (1)圓心在過切點且與切線垂直的直線上； (2)圓心在任意一弦的垂直平分線上； (3)兩圓相切時，切點與兩圓圓心共線．