高考數(shù)學(xué)復(fù)習:第八章 :第七節(jié)拋物線突破熱點題型

上傳人:仙*** 文檔編號:43058362 上傳時間:2021-11-29 格式:DOC 頁數(shù):6 大?。?97.50KB
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1、 第七節(jié) 拋 物 線 考點一 拋物線的定義及應(yīng)用   [例1] 設(shè)P是拋物線y2=4x上的一個動點. (1)求點P到點A(-1,1)的距離與點P到直線x=-1的距離之和的最小值; (2)若B(3,2),求|PB|+|PF|的最小值. [自主解答] [來源:] (1)如圖,易知拋物線的焦點為F(1,0),準線是x=-1. 由拋物線的定義知:點P到直線x=-1的距離等于點P到焦點F的距離. 于是,問題轉(zhuǎn)化為:在曲線上求一點P,使點P到點A(-1,1)的距離與點P到F(1,0)的距離之和最?。? 顯然,連接AF交曲線于點P,則所求的最小值為|AF|,即為

2、. (2)如圖,過點B作BQ垂直準線于Q,交拋物線于點P1,則|P1Q|=|P1F|. 則有|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4. 即|PB|+|PF|的最小值為4. 【互動探究】 若將本例(2)中的B點坐標改為(3,4),求|PB|+|PF|的最小值. 解:由題意可知點(3,4)在拋物線的外部. ∵|PB|+|PF|的最小值即為B,F(xiàn)兩點間的距離. ∴|PB|+|PF|≥|BF|===2. 即|PB|+|PF|的最小值為2.      【方法規(guī)律】 拋物線定義中的“轉(zhuǎn)化”法 利用拋物線的定義解決此類問題,應(yīng)靈活地進行拋物線上的點到焦點的距離與

3、到準線距離的等價轉(zhuǎn)化.“看到準線想到焦點,看到焦點想到準線”,這是解決拋物線焦點弦有關(guān)問題的有效途徑. 1.(2014·天津模擬)已知動圓過定點F,且與直線x=-相切,其中p>0,則動圓圓心的軌跡E的方程為____________. 解析:依題意得,圓心到定點F的距離與到直線x=-的距離相等,再依拋物線的定義知,動圓圓心的軌跡E為拋物線,其方程為y2=2px. 答案:y2=2px 2.過拋物線y2=4x的焦點F的直線交該拋物線于A,B兩點,若|AF|=3,則|BF|=________. 解析:因為拋物線y2=4x的焦點F(1,0). 顯然,當AB垂直于x軸時

4、,|AF|≠3, 所以AB的斜率k存在, 設(shè)AB的方程為y=k(x-1),與拋物線y2=4x聯(lián)立, 消去y得k2x2-2k2x-4x+k2=0, 即k2x2-(2k2+4)x+k2=0, 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2). 由根與系數(shù)的關(guān)系得 x1+x2==2+. 又|AF|=3=x1+=x1+1,所以x1=2, 代入k2x2-2k2x-4x+k2=0,得k2=8, 所以x1+x2=,x2=, 故|BF|=x2+1=+1=. 答案: 考點二 拋物線的標準方程及性質(zhì)     [例2] (1)(2013·四川高考)拋物線y2=4x的焦點到雙曲

5、線x2-=1的漸近線的距離是(  ) A. B. C.1 D. (2)(2013·江西高考)拋物線x2=2py(p>0)的焦點為F,其準線與雙曲線-=1相交于A,B兩點,若△ABF為等邊三角形,則p=________. [自主解答] (1)由拋物線y2=4x,有2p=4,p=2.其焦點坐標為(1,0),雙曲線x2-=1的漸近線方程為y=±x.不妨取其中一條x-y=0.由點到直線的距離公式有d==. (2)在等邊三角形ABF中,AB邊上的高為p,=p,所以B.又因為點B在雙曲線上,故-=1,解得p=6. 答案:(1)B (

6、2)6 【方法規(guī)律】 1.求拋物線的標準方程的方法及流程 (1)方法:求拋物線的標準方程常用待定系數(shù)法,因為未知數(shù)只有p,所以只需一個條件確定p值即可.[來源:] (2)流程:因為拋物線方程有四種標準形式,因此求拋物線方程時,需先定位,再定量. 2.確定及應(yīng)用拋物線性質(zhì)的關(guān)鍵與技巧 (1)關(guān)鍵:利用拋物線方程確定及應(yīng)用其焦點、準線等性質(zhì)時,關(guān)鍵是將拋物線方程化成標準方程. (2)技巧:要結(jié)合圖形分析,靈活運用平面幾何的性質(zhì)以圖助解. 1.已知拋物線關(guān)于x軸對稱,它的頂點在坐標原點O,并且經(jīng)過點M(2,y0).若點M到該拋物線焦點的距離為3,則|OM|=(  ) A.2

7、 B.2 C.4 D.2 解析:選B 依題意,設(shè)拋物線方程是y2=2px(p>0),則有2+=3,得p=2,故拋物線方程是y2=4x,點M的坐標是(2,±2),|OM|==2. 2.(2014·湖州模擬)已知雙曲線C1:-=1(a>0,b>0)的離心率為2.若拋物線C2:x2=2py(p>0)的焦點到雙曲線C1的漸近線的距離為2,則拋物線C2的方程為(  ) A.x2=y(tǒng) B.x2=y(tǒng) C.x2=8y D.x2=16y 解析:選D 雙曲線的漸近線方程為y=&#

8、177;x,由于= = =2,所以=,所以雙曲線的漸近線方程為y=±x.拋物線的焦點坐標為,所以=2,則p=8,所以拋物線方程為x2=16y. 高頻考點[來源:] 考點三 直線與拋物線的位置關(guān)系   1.直線與拋物線的位置關(guān)系,是高考命題的熱點,多以解答題的形式出現(xiàn),試題難度較大,多為中、高檔題. 2.直線與拋物線的位置關(guān)系有以下幾個命題角度: (1)已知拋物線方程及其他條件,求直線方程; (2)證明直線過定點; (3)求線段長度或線段之積(和)的最值; (4)求定值. [例3](2014·杭州模擬)已知直線y=2x-2與拋物

9、線x2=2py(p>0)交于M1,M2兩點,且|M1M2|=8. (1)求p的值; (2)設(shè)A是直線y=上一點,直線AM2交拋物線于另一點M3,直線M1M3交直線y=于點B,求·的值. [自主解答] (1)由整理得x2-4px+4p=0, 設(shè)M1(x1,y1),M2(x2,y2),則 ∵|M1M2|=8, ∴=8, 即=8. ∴p2-p-12=0,解得p=4或p=-3(舍去), 且p=4滿足Δ>0,∴p=4. (2)由(1)知拋物線方程為x2=8y, 且x1+x2=16,x1x2=16,M1,M2, 設(shè)M3,A(t,2),B(a,2), 由A,M2,M3

10、三點共線得kM2M3=kAM2,∴=,即x+x2x3-t(x2+x3)=x-16, 整理得x2x3-t(x2+x3)=-16,?、? 由B,M3,M1三點共線,同理可得x1x3-a(x1+x3)=-16,?、? ②式兩邊同乘x2得x1x2x3-a(x1x2+x2x3)=-16x2, 即16x3-a(16+x2x3)=-16x2,?、踇來源:] 由①得x2x3=t(x2+x3)-16, 代入③得16x3-16a-at(x2+x3)+16a=-16x2, 即16(x2+x3)=at(x2+x3),∴at=16. ∴·=at+4=20. 直線與拋物線的位置關(guān)系的常見類

11、型及解題策略 (1)求直線方程.先尋找確定直線的兩個條件,若缺少一個可設(shè)出此量,利用題設(shè)條件尋找關(guān)于該量的方程,解方程即可. (2)證明直線過定點.可依題設(shè)條件尋找該直線的方程,可依據(jù)方程中的參數(shù)及其他條件確定該直線過那個定點. (3)求線段長度和線段之積(和)的最值.可依據(jù)直線與拋物線相交,依據(jù)弦長公式,求出弦長或弦長關(guān)于某個量的函數(shù),然后利用基本不等式或利用函數(shù)的知識,求函數(shù)的最值;也可利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化為兩點間的距離或點到直線的距離. (4)求定值.可借助于已知條件,將直線與拋物線聯(lián)立,尋找待定式子的表達式,化簡即可得到. (2014·濰坊模擬)已知過點A(-4

12、,0)的動直線l與拋物線G:x2=2py(p>0)相交于B,C兩點.當直線l的斜率是時,=4. (1)求拋物線G的方程; (2)設(shè)線段BC的中垂線在y軸上的截距為b,求b的取值范圍. 解:(1)設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2),當直線l的斜率是時, l的方程為y=(x+4),即x=2y-4, 聯(lián)立消去x,得2y2-(8+p)y+8=0,y1+y2=,y1y2=4,由已知=4,∴y2=4y1, 由韋達定理及p>0可得y1=1,y2=4,p=2, ∴拋物線G的方程為x2=4y.[來源:] (2)由題意知直線l的斜率存在,且不為0, 設(shè)l:y=k(x+4),BC中點

13、坐標為(x0,y0), 由得x2-4kx-16k=0, 由Δ>0得k<-4或k>0,∴x0==2k,y0=k(x0+4)=2k2+4k,BC中垂線方程為y-2k2-4k=-(x-2k), ∴b=2(k+1)2,∴b>2. 故b的取值范圍為(2,+∞). ———————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]———————————————— 4個結(jié)論——直線與拋物線相交的四個結(jié)論  已知拋物線y2=2px(p>0),過其焦點的直線交拋物線于A,B兩點,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則有以下結(jié)論: (1)|AB|=x1+x2+p或|AB|=(α為AB所在直線的傾斜角); (2)x1x2=; (3)y1y2=-p2; (4)過拋物線焦點且與對稱軸垂直的弦稱為拋物線的通徑,拋物線的通徑長為2p. 3個注意點——拋物線問題的三個注意點  (1)求拋物線的標準方程時一般要用待定系數(shù)法求p的值,但首先要判斷拋物線是否為標準方程,若是標準方程,則要由焦點位置(或開口方向)判斷是哪一種標準方程. (2)注意應(yīng)用拋物線定義中距離相等的轉(zhuǎn)化來解決問題. (3)直線與拋物線有一個交點,并不表明直線與拋物線相切,因為當直線與對稱軸平行(或重合)時,直線與拋物線也只有一個交點.

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