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1、 精品資料
高考真題備選題庫
第8章 平面解析幾何
第4節(jié) 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系
考點(diǎn)一 直線與圓的位置關(guān)系
1.(2013安徽,5分)直線x+2y-5+=0被圓x2+y2-2x-4y=0截得的弦長為( )
A.1 B.2
C.4 D. 4
解析:本題主要考查直線與圓的相交弦長問題,意在考查考生的運(yùn)算求解能力和數(shù)形結(jié)合思想.
依題意,圓的圓心為(1,2),半徑r=,圓心到直線的距離d==1,所以結(jié)合圖形可知弦長的一半為 =2,故弦長為4.
答案:C
2.(2013陜西,5分)已知點(diǎn)M(a,
2、b)在圓O:x2+y2=1外,則直線ax+by=1與圓O的位置關(guān)系是( )
A.相切 B.相交
C.相離 D.不確定
解析:本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系,點(diǎn)與圓的位置關(guān)系以及點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用.由點(diǎn)M在圓外,得a2+b2>1,∴圓心O到直線ax+by=1的距離d=<1,則直線與圓O相交.
答案:B
3.(2013重慶,5分)設(shè)P是圓(x-3)2+(y+1)2=4,Q是直線x=-3上的動點(diǎn),則|PQ|的最小值為( )
A.6 B.4
C.3 D.2
解析:本題主要考查直線與圓的相關(guān)內(nèi)容.|PQ|的最小值為圓心到直線的距離減去半徑.因?yàn)閳A的圓心為(3,
3、-1),半徑為2,所以|PQ|的最小值d=3-(-3)-2=4.
答案:B
4.(2013山東,4分)過點(diǎn)(3,1)作圓(x-2)2+(y-2)2=4的弦,其中最短弦的長為________.
解析:本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系,考查數(shù)形結(jié)合思想和運(yùn)算能力.最短弦為過點(diǎn)(3,1),且垂直于點(diǎn)(3,1)與圓心的連線的弦,易知弦心矩d==,所以最短弦長為2=2=2.
答案:2
5.(2013四川,13分)已知圓C的方程為x2+(y-4)2=4,點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn).直線l:y=kx與圓C交于M,N兩點(diǎn).
(1)求k的取值范圍;
(2)設(shè)Q(m,n)是線段MN上的點(diǎn),且=+.請將n表示為m
4、的函數(shù).
解:本題主要考查直線、圓、函數(shù)、不等式等基礎(chǔ)知識,考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力,考查函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想,并考查思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.
(1) 將y=kx代入x2+(y-4)2=4中,得
(1+k2)x2-8kx+12=0.(*)
由Δ=(-8k)2-4(1+k2)12>0,得k2>3.
所以,k的取值范圍是(-∞,-)∪(,+∞).
(2)因?yàn)镸,N在直線l上,可設(shè)點(diǎn)M,N的坐標(biāo)分別為(x1,kx1),(x2,kx2),則|OM|2=(1+k2)x,|ON|2=(1+k2)x.
又|OQ|2=m2+n2=(1+k2)m2.
由=+,得
=+,
即=+=.
由(*)式
5、可知,x1+x2=,x1x2=,
所以m2=.
因?yàn)辄c(diǎn)Q在直線y=kx上,所以k=,代入m2=中并化簡,得5n2-3m2=36.
由m2=及k2>3,可知0<m2<3,
即m∈(-,0)∪(0,).
根據(jù)題意,點(diǎn)Q在圓C內(nèi),則n>0,
所以n= =.
于是,n與m的函數(shù)關(guān)系為
n=(m∈(-,0)∪(0,)).
6.(2012廣東,5分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線3x+4y-5=0與圓x2+y2=4相交于A、B兩點(diǎn),則弦AB的長等于( )
A.3 B.2
C. D.1
解析:圓x2+y2=4的圓心(0,0)到直線3x+4y-5=0的距離d=1,圓的半徑為2
6、,所以弦長|AB|=2=2.
答案:B
7.(2012安徽,5分)若直線x-y+1=0與圓(x-a)2+y2=2有公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.[-3,-1] B.[-1,3]
C.[-3,1] D.(-∞,-3]∪[1,+∞)
解析:欲使直線x-y+1=0與圓(x-a)2+y2=2有公共點(diǎn),只需使圓心到直線的距離小于等于圓的半徑即可,即≤,化簡得|a+1|≤2,解得-3≤a≤1.
答案:C
8.(2012福建,5分)直線x+y-2=0與圓x2+y2=4相交于A,B兩點(diǎn),則弦AB的長度等于( )
A.2 B.2
C. D.1
解析:圓心(0,0
7、)到直線x+y-2=0的距離為1,所以AB=2=2.
答案:B
9.(2012陜西,5分)已知圓C:x2+y2-4x=0,l是過點(diǎn)P(3,0)的直線,則( )
A.l與C相交 B.l與C相切
C.l與C相離 D.以上三個選項(xiàng)均有可能
解析:把點(diǎn)(3,0)代入圓的方程的左側(cè)得32+0-43=-3<0,故點(diǎn)(3,0)在圓的內(nèi)部,所以過點(diǎn)(3,0)的直線l與圓C相交.
答案:A
10.(2011安徽,5分)若直線3x+y+a=0過圓x2+y2+2x-4y=0的圓心,則a的值為( )
A.-1 B.1
C.3 D.-3
解析:圓的方程可變?yōu)?x+1)2+
8、(y-2)2=5,因?yàn)橹本€經(jīng)過圓的圓心,所以3(-1)+2+a=0,即a=1.
答案:B
11.(2012北京,5分)直線y=x被圓x2+(y-2)2=4截得的弦長為________.
解析:圓心(0,2)到直線y=x的距離為d==,圓的半徑為2,所以所求弦長為2=2.
答案:2
12.(2012江西,5分)過直線x+y-2=0上點(diǎn)P作圓x2+y2=1的兩條切線,若兩條切線的夾角是60,則點(diǎn)P的坐標(biāo)是________.
解析:∵點(diǎn)P在直線x+y-2=0上,∴可設(shè)點(diǎn)P(x0,-x0+2),且其中一個切點(diǎn)為M.∵兩條切線的夾角為60,∴∠OPM=30.故在Rt△OPM中,有OP=2OM
9、=2.由兩點(diǎn)間的距離公式得OP= =2,解得x0=.故點(diǎn)P的坐標(biāo)是(,).
答案:(,)
13.(2011新課標(biāo)全國,12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線y=x2-6x+1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在圓C上.
(1)求圓C的方程;
(2)若圓C與直線x-y+a=0交于A,B兩點(diǎn),且OA⊥OB,求a的值.
解:(1)曲線y=x2-6x+1與y軸的交點(diǎn)為(0,1),與x軸的交點(diǎn)為(3+2,0),(3-2,0).
故可設(shè)圓C的圓心為(3,t),
則有32+(t-1)2=(2)2+t2,解得t=1.
則圓C的半徑為=3.
則以圓C的方程為(x-3)2+(y-1)2=9.
(2)設(shè)A(x1,
10、y1),B(x2,y2),其坐標(biāo)滿足方程組:
.
消去y,得到方程2x2+(2a-8)x+a2-2a+1=0.
由已知可得,判別式Δ=56-16a-4a2>0.
從而x1+x2=4-a,x1x2=.①
由于OA⊥OB,可得x1x2+y1y2=0,又y1=x1+a,y2=x2+a,所以2x1x2+a(x1+x2)+a2=0.②
由①,②得a=-1,滿足Δ>0,故a=-1.
考點(diǎn)二 圓與圓的位置關(guān)系
1.(2013新課標(biāo)全國Ⅰ,12分)已知圓M:(x+1)2+y2=1,圓N:(x-1)2+y2=9,動圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切,圓心P的軌跡為曲線C.
(1)求C的方程;
(
11、2)l是與圓P,圓M都相切的一條直線,l與曲線C交于A,B兩點(diǎn),當(dāng)圓P的半徑最長時,求|AB|.
解:本題是一道解析幾何綜合問題,涉及直線、圓、橢圓等,覆蓋面廣,需要學(xué)生基礎(chǔ)扎實(shí)、全面,有較強(qiáng)的分析能力和計(jì)算能力.
由已知得圓M的圓心為M(-1,0),半徑r1=1;圓N的圓心為N(1,0),半徑r2=3.
設(shè)圓P的圓心為P(x,y)半徑為R.
(1)因?yàn)閳AP與圓M外切并且與圓N內(nèi)切,所以
|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4.
由橢圓的定義可知,曲線C是以M,N為左、右焦點(diǎn),長半軸長為2,短半軸長為的橢圓(左頂點(diǎn)除外),其方程為+=1(x≠-2).
(2
12、)對于曲線C上任意一點(diǎn)P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R-2≤2,所以R≤2,當(dāng)且僅當(dāng)圓P的圓心為(2,0)時,R=2.
所以當(dāng)圓P的半徑最長時,其方程為(x-2)2+y2=4.
若l的傾斜角為90,則l與y軸重合,可得|AB|=2.
若l的傾斜角不為90,由r1≠R知l不平行于x軸,設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為Q,則=,可求得Q(-4,0),所以可設(shè)l:y=k(x+4).由l與圓M相切得=1,解得k=.
當(dāng)k=時,將y=x+代入+=1,并整理得7x2+8x-8=0,
解得x1,2=.所以|AB|= |x2-x1|=.
當(dāng)k=-時,由圖形的對稱性可知|AB|=.
綜上,|AB|=2
13、或|AB|=.
2.(2012山東,5分)圓(x+2)2+y2=4與圓(x-2)2+(y-1)2=9的位置關(guān)系為( )
A.內(nèi)切 B.相交
C.外切 D.相離
解析:兩圓的圓心距離為,兩圓的半徑之差為1、之和為5,而1<<5,所以兩圓相交.
答案:B
3.(2011廣東,5分)設(shè)圓C與圓x2+(y-3)2=1外切,與直線y=0相切,則C的圓心軌跡為( )
A.拋物線 B.雙曲線
C.橢圓 D.圓
解析:設(shè)圓心C(x,y),由題意得=y(tǒng)+1(y>0),化簡得x2=8y-8.
答案:A
4.(2009天津,4分)若圓x2+y2=4與圓x2+y2+2ay-6=0(a>0)的公共弦長為2,則a=________.
解析:兩圓方程作差易知弦所在直線方程為:y=,
如圖,由已知|AC|=,
|OA|=2.
有|OC|==1,∴a=1.
答案:1