高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí):第四章 :第一節(jié)平面向量的概念及其線性運(yùn)算突破熱點(diǎn)題型

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1、 精品資料 第一節(jié) 平面向量的概念及其線性運(yùn)算 考點(diǎn)一 向量的概念   [來(lái)源:] [例1] 給出下列四個(gè)命題: ①若|a|=|b|,則a=b或a=-b; ②若=,則四邊形ABCD為平行四邊形; ③若a與b同向,且|a|>|b|,則a>b; ④λ,μ為實(shí)數(shù),若λa=μb,則a與b共線. 其中假命題的個(gè)數(shù)為(  ) A.1     B.2     C.3     D.4 [自主解答]?、俨徽_.|a|=|b|但a,b的方向不確定,故a,b不一定相等; ②不正確.因?yàn)椋剑珹,B,C,D可能在同一直線上,所以

2、ABCD不一定是四邊形; ③不正確.兩向量不能比較大小; ④不正確.當(dāng)λ=μ=0時(shí),a與b可以為任意向量,滿足λa=μb,但a與b不一定共線. [答案] D 【方法規(guī)律】 解決向量的概念問(wèn)題應(yīng)關(guān)注五點(diǎn) (1)正確理解向量的相關(guān)概念及其含義是解題的關(guān)鍵. (2)相等向量具有傳遞性,非零向量的平行也具有傳遞性. (3)共線向量即平行向量,它們均與起點(diǎn)無(wú)關(guān). (4)向量可以平移,平移后的向量與原向量是相等向量.解題時(shí),不要把它與函數(shù)圖象移動(dòng)混為一談. (5)非零向量a與的關(guān)系:是a方向上的單位向量. 下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是(  ) A.有向線段可以表示向量但不是向量,且向

3、量也不是有向線段 B.若向量a和b不共線,則a和b都是非零向量 C.長(zhǎng)度相等但方向相反的兩個(gè)向量不一定共線 D.方向相反的兩個(gè)非零向量必不相等 解析:選C 選項(xiàng)A中向量與有向線段是兩個(gè)完全不同的概念,故正確;選項(xiàng)B中零向量與任意向量共線,故a,b都是非零向量,故正確;選項(xiàng)C中是共線向量,故錯(cuò)誤;選項(xiàng)D中既然方向相反就一定不相等,故正確. 高頻考點(diǎn) 考點(diǎn)二 平面向量的線性運(yùn)算    1.平面向量的線性運(yùn)算是每年高考的重點(diǎn),題型多為選擇題和填空題,難度較小,屬中低檔題. 2.高考對(duì)平面向量的線性運(yùn)算的考查主要有以下幾個(gè)命題角度: (1)考查向量加法或減法的幾何意義

4、; (2)求已知向量的和; (3)與三角形聯(lián)系,求參數(shù)的值; (4)與平行四邊形聯(lián)系,研究向量的關(guān)系. [例2] (1)(2012遼寧高考)已知兩個(gè)非零向量a,b滿足|a+b|=|a-b|,則下面結(jié)論正確的是(  ) A.a(chǎn)∥b B.a(chǎn)⊥b C.|a|=|b| D.a(chǎn)+b=a-b (2)(2011四川高考)如圖,正六邊形ABCDEF中,++=(  ) A.0 B. C. D.        第(2)題圖         第(3)題圖 (3)(2013四川高考)如圖

5、在平行四邊形ABCD中,對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O,+=λ,則λ= ________. (4)(2013江蘇高考)設(shè)D,E分別是△ABC的邊AB,BC上的點(diǎn),AD=AB,BE=BC.若=λ1 +λ2 (λ1,λ2為實(shí)數(shù)),則λ1+λ2的值為_(kāi)_______.[來(lái)源:] [自主解答] (1)法一:(代數(shù)法)將原式平方得|a+b|2=|a-b|2,∴a2+2ab+b2=a2-2ab+b2,∴ab=0,∴a⊥b. 法二:(幾何法)如圖所示: 在?ABCD中,設(shè)=a,=b,∴=a+b,=a-b,∵|a+b|=|a-b|, ∴平行四邊形兩條對(duì)角線長(zhǎng)度相等,即平行四邊形ABCD為矩形,∴

6、a⊥b. (2)因六邊形ABCDEF是正六邊形,故++=++=+=. (3)由平行四邊形法則,有+==, 已知+=λ,所以λ=2. (4) =+=+=+(-)=-+, ∵=λ1+λ2, ∴λ1=-,λ2=,故λ1+λ2=. [答案] (1)B (2)D (3)2 (4) 平面向量線性運(yùn)算問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略 (1)向量加法或減法的幾何意義.向量加法和減法均適合平行四邊形法則. (2)求已知向量的和.一般共起點(diǎn)的向量求和用平行四邊形法則;求差用三角形法則;求首尾相連向量的和用三角形法則. (3)與三角形聯(lián)系,求參數(shù)的值.求出向量的和或與已知條件中的和式比較,然后求參

7、數(shù). (4)與平行四邊形聯(lián)系,研究向量的關(guān)系.畫出圖形,找出圖中的相等向量、共線向量,將所求向量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)平行四邊形或三角形中求解. 1.在平行四邊形ABCD中,AC與BD相交于點(diǎn)O,E是線段OD的中點(diǎn),AE的延長(zhǎng)線與CD交于點(diǎn)F,若=a,=b,則等于(  ) A.a+b B.a+b C.a+b D.a+b 解析:選B 如圖,=+,由題意知,DE∶BE=1∶3=DF∶AB,故=, 則=a+b+=a+b. 2.若O是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),D為BC邊中點(diǎn),且2 ++=0,那么(  ) A.= B.=2 C.=3

8、 D.2= 解析:選A 因?yàn)镈是BC邊的中點(diǎn),所以有+=2,所以2++=2+2=2(+)=0?+=0?=. 3.(2014青島模擬)在△ABC中,點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上,且=3,點(diǎn)O在線段CD上(與點(diǎn)C,D不重合),若=x+(1-x) ,則x的取值范圍是(  ) A. B. C. D. 解析:選D 設(shè)=y(tǒng),∵=+=+y=+y(-)=-y+(1+y) ,∵=3,點(diǎn)O在線段CD上(與點(diǎn)C,D不重合),∴y∈,∵=x+(1-x),∴x∈. 考點(diǎn)三 共線向量定理的應(yīng)用   [例3] 設(shè)兩個(gè)非零向量

9、e1和e2不共線. (1)如果=e1-e2,=3e1+2e2,=-8e1-2e2,求證:A,C,D三點(diǎn)共線; (2)如果=e1+e2,=2e1-3e2,=3e1-ke2,且A,C,F(xiàn)三點(diǎn)共線,求k的值. [自主解答] (1)證明:=e1-e2,=3e1+2e2, ∴=+=4e1+e2,又=-8e1-2e2, ∴=-2,∴與共線. 又∵與有公共點(diǎn)C,∴A,C,D三點(diǎn)共線. (2)∵=e1+e2,=2e1-3e2, ∴=+=3e1-2e2. ∵A,C,F(xiàn)三點(diǎn)共線, ∴∥,從而存在實(shí)數(shù)λ,使得=λ. ∴3e1-2e2=3λe1-λke2, 又e1,e2是不共線的非零向量,

10、∴因此k=2.∴實(shí)數(shù)k的值為2. 【互動(dòng)探究】 在本例條件下,試確定實(shí)數(shù)k,使ke1+e2與e1+ke2共線. 解:∵ke1+e2與e1+ke2共線, ∴存在實(shí)數(shù)λ,使ke1+e2=λ(e1+ke2), 即ke1+e2=λe1+λke2, ∴解得k=1.      【方法規(guī)律】 1.共線向量定理的應(yīng)用 (1)可以利用共線向量定理證明向量共線,也可以由向量共線求參數(shù)的值. (2)若a,b不共線,則λa+μb=0的充要條件是λ=μ=0,這一結(jié)論結(jié)合待定系數(shù)法應(yīng)用非常廣泛. 2.證明三點(diǎn)共線的方法 若=λ,則A、B、C三點(diǎn)共線. 若a,b是兩個(gè)不共線的非零向量,a與b起

11、點(diǎn)相同,則當(dāng)t為何值時(shí),a,tb,(a+b)三向量的終點(diǎn)在同一條直線上?[來(lái)源:] 解:∵a,tb,(a+b)三向量的終點(diǎn)在同一條直線上,且a與b起點(diǎn)相同. ∴a-tb與a-(a+b)共線, 即a-tb與a-b共線, ∴存在實(shí)數(shù)λ,使a-tb=λ, ∴解得λ=,t=, 即t=時(shí),a,tb,(a+b)三向量的終點(diǎn)在同一條直線上. [來(lái)源:] ——————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]———————————————— 1個(gè)規(guī)律——向量加法規(guī)律  一般地,首尾順次相接的多個(gè)向量的和等于從第一個(gè)向量起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量終點(diǎn)的向量,即+++…+=.特別地,一個(gè)封閉圖形首尾連接

12、而成的向量和為零向量. 2個(gè)結(jié)論——向量的中線公式及三角形的重心  (1)向量的中線公式 若P為線段AB的中點(diǎn),O為平面內(nèi)一點(diǎn),則=(+). (2)三角形的重心 已知平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)A、B、C,=(++)?G是△ABC的重心.特別地,++=0?P為△ABC的重心. 3個(gè)等價(jià)轉(zhuǎn)化——與三點(diǎn)共線有關(guān)的等價(jià)轉(zhuǎn)化  A,P,B三點(diǎn)共線?=λ (λ≠0)? =(1-t) +t (O為平面內(nèi)異于A,P,B的任一點(diǎn),t∈R)? =x+y (O為平面內(nèi)異于A,P,B的任一點(diǎn),x∈R,y∈R,x+y=1). 4個(gè)注意點(diǎn)——向量線性運(yùn)算應(yīng)注意的問(wèn)題  (1)作兩個(gè)向量的差時(shí),要注意向量的方向是指向被減向量的終點(diǎn);[來(lái)源:] (2)向量共線的充要條件中要注意“a≠0”,否則λ可能不存在,也可能有無(wú)數(shù)個(gè); (3)證明三點(diǎn)共線問(wèn)題,可用向量共線來(lái)解決,但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系,當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí),才能得出三點(diǎn)共線; (4)利用向量平行證明直線平行,必須說(shuō)明這兩條直線不重合.

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