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第三章 概 率
本章歸納整合
高考真題
1.(2011新課標(biāo)全國高考)有3個(gè)興趣小組,甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個(gè)小組,每位同學(xué)參加各個(gè)小組的可能性相同,則這兩位同學(xué)參加同一個(gè)興趣小組的概率為 ( ).
A. B. C. D.
解析 本小題考查古典概型的計(jì)算,考查分析、解決問題的能力.因?yàn)閮蓚€(gè)同學(xué)參加興趣小組的所有的結(jié)果是33=9(個(gè)),其中這兩位同學(xué)參加同一興趣小組的結(jié)果有3個(gè),所以由古典概型的概率計(jì)算公式得所求概率為=.
答案 A
2.(2011福
2、建高考)如圖,矩形ABCD中,點(diǎn)E為邊CD的中點(diǎn),若在矩形ABCD內(nèi)部隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)Q,則點(diǎn)Q取自
△ABE內(nèi)部的概率等于 ( ).
A. B.
C. D.
解析 本題考查了幾何概型概率的求法,題目較易,屬低檔題,重在考查學(xué)生的雙基.這是一道幾何概型的概率問題,點(diǎn)Q取自△ABE內(nèi)部的概率為==.故選C.
答案 C
3.(2011陜西高考)甲、乙兩人一起去游“2011西安世園會(huì)”,他們約定,各自獨(dú)立地從1到6號(hào)景點(diǎn)中任選4個(gè)進(jìn)行游覽,每個(gè)景點(diǎn)參觀1小
3、時(shí),則最后一小時(shí)他們同在一個(gè)景點(diǎn)的概率是 ( ).
A. B. C. D.
解析 考查學(xué)生的觀察問題和解決問題的能力.最后一個(gè)景點(diǎn)甲有6種選法,乙有6種選法,共有36種,他們選擇相同的景點(diǎn)有6種,所以P==,所以選D.
答案 D
4.(2011江蘇高考)從1,2,3,4這四個(gè)數(shù)中一次隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù),則其中一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的兩倍的概率是________.
解析 本題考查了古典概型問題,古典概型
4、與幾何概型兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)輪換在高考試卷中出現(xiàn).從1,2,3,4這四個(gè)數(shù)中一次隨機(jī)取兩個(gè)數(shù),共有6種取法,其中1,2;2,4這兩種取法使得一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的兩倍,由此可得其中一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的兩倍的概率是P==.
答案
5.(2010湖南高考)在區(qū)間[-1,2]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x,則x∈[0,1]的概率為________.
解析 考查幾何概型,求出長度之比即可.[-1,2]的長度為3,[0,1]的長度為1,所以概率是.
答案
6.(2011北京高考文)以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各四名同學(xué)的植樹棵數(shù).乙組記錄中有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊,無法確認(rèn),在圖中以X表示.
(1)如果X=8,求乙組同學(xué)植
5、樹棵數(shù)的平均數(shù)和方差;
(2)如果X=9,分別從甲、乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué),求這兩名同學(xué)的植樹總棵數(shù)為19的概率.(注:方差s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2],其中為x1,x2,…,xn的平均數(shù))
解 本題考查概率統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)知識(shí)和方法,考查運(yùn)算能力,分析問題、解決問題的能力.
(1)當(dāng)X=8時(shí),由莖葉圖可知,乙組同學(xué)的植樹棵數(shù)是:8,8,9,10,所以平均數(shù)為:==;
方差為:s2=[2+2+2+2]=.
(2)記甲組四名同學(xué)為A1,A2,A3,A4,他們植樹的棵數(shù)依次為9,9,11,11;乙組四名同學(xué)為B1,B2,B3,B4,他們植樹的棵數(shù)依次為9,8,9,1
6、0.分別從甲、乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué),所有可能的結(jié)果有16個(gè):
(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,B4),
(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,B4),
(A3,B1),(A3,B2),(A3,B3),(A3,B4),
(A4,B1),(A4,B2),(A4,B3),(A4,B4),
用C表示“選出的兩名同學(xué)的植樹總棵數(shù)為19”這一事件,則C中的結(jié)果有4個(gè),它們是:(A1,B4),(A2,B4),(A3,B2),(A4,B2).故所求概率為P(C)==.
7.(2011山東高考)甲、乙兩校各有3名教師報(bào)名支教,其中甲校2男1女,乙校1男2
7、女.
(1)若從甲校和乙校報(bào)名的教師中各任選1名,寫出所有可能的結(jié)果,并求選出的2名教師性別相同的概率;
(2)若從報(bào)名的6名教師中任選2名,寫出所有可能的結(jié)果,并求選出的2名教師來自同一學(xué)校的概率.
解 (1)甲校兩男教師分別用A、B表示,女教師用C表示;乙校男教師用D表示,兩女教師分別用E、F表示.
從甲校和乙校報(bào)名的教師中各任選1名的所有可能的結(jié)果為:
(A,D),(A,E),(A,F(xiàn)),(B,D),(B,E),(B,F(xiàn)),(C,D),(C,E),(C,F(xiàn))共9種,從中選出兩名教師性別相同的結(jié)果有:
(A,D),(B,D),(C,E),(C,F(xiàn))共4種,選出的兩名教師性別相同
8、的概率為P=.
(2)從甲校和乙校報(bào)名的教師中任選2名的所有可能的結(jié)果為:
(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F(xiàn)),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F(xiàn)),(C,D),(C,E),(C,F(xiàn)),(D,E),(D,F(xiàn)),(E,F(xiàn))共15種.
從中選出兩名教師來自同一學(xué)校的結(jié)果有:
(A,B),(A,C),(B,C),(D,E),(D,F(xiàn)),(E,F(xiàn))共6種,
選出的兩名教師來自同一學(xué)校的概率為P==.
8.(2010陜西高考)如圖,A地到火車站共有兩條路徑L1和L2,現(xiàn)隨機(jī)抽取100位從A地到達(dá)火車站的人進(jìn)行調(diào)查,調(diào)查結(jié)果如下:
所用時(shí)間(分鐘)
1
9、0~20
20~30
30~40
40~50
50~60
選擇L1的人數(shù)
6
12
18
12
12
選擇L2的人數(shù)
0
4
16
16
4
(1)試估計(jì)40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的概率;
(2)分別求通過路徑L1和L2所用時(shí)間落在上表中各時(shí)間段內(nèi)的頻率;
(3)現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時(shí)間用于趕往火車站,為了盡最大可能在允許的時(shí)間內(nèi)趕到火車站,試通過計(jì)算說明,他們應(yīng)如何選擇各自的路徑.
解 (1)由已知共調(diào)查了100人,其中40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的有12+12+16+4=44人,
∴用頻率估計(jì)相應(yīng)的概率為0.44.
(2)選擇L1的有6
10、0人,選擇L2的有40人,故由調(diào)查結(jié)果得頻率為:
所用時(shí)間(分鐘)
10~20
20~30
30~40
40~50
50~60
L1的頻率
0.1
0.2
0.3
0.2
0.2
L2的頻率
0
0.1
0.4
0.4
0.1
(3)A1,A2分別表示甲選擇L1和L2時(shí),在40分鐘內(nèi)趕到火車站;
B1,B2分別表示乙選擇L1和L2時(shí),在50分鐘內(nèi)趕到火車站.
由(2)知P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,
P(A2)=0.1+0.4=0.5,P(A1)>P(A2),
∴甲應(yīng)選擇L1;
P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,
11、
P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9,
P(B2)>P(B1),
∴乙應(yīng)選擇L2.
9.(2011福建高考)某日用品按行業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)分成五個(gè)等級(jí),等級(jí)系數(shù)X依次為1,2,3,4,5.現(xiàn)從一批該日用品中隨機(jī)抽取20件,對其等級(jí)系數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,得到頻率分布表如下:
X
1
2
3
4
5
f
a
0.2
0.45
b
c
(1)若所抽取的20件日用品中,等級(jí)系數(shù)為4的恰有3件,等級(jí)系數(shù)為5的恰有2件,求a,b,c的值;
(2)在(1)的條件下,將等級(jí)系數(shù)為4的3件日用品記為x1,x2,x3,等級(jí)系數(shù)為5的2件日用品記為y1,y2.現(xiàn)從x1,x2,x3,y1
12、,y2這5件日用品中任取兩件(假定每件日用品被取出的可能性相同),寫出所有可能的結(jié)果,并求這兩件日用品的等級(jí)系數(shù)恰好相等的概率.
解 (1)由頻率分布表得a+0.2+0.45+b+c=1,即a+b+c=0.35.
因?yàn)槌槿〉?0件日用品中,等級(jí)系數(shù)為4的恰有3件,所以b==0.15,
等級(jí)系數(shù)為5的恰有2件,所以c==0.1,從而a=0.35-b-c=0.1.
所以a=0.1,b=0.15,c=0.1.
(2)從日用品x1,x2,x3,y1,y2中任取兩件,所有可能的結(jié)果為:{x1,x2},{x1,x3},{x1,y1},{x1,y2},{x2,x3},{x2,y1},{x2,y2},{x3,y1},{x3,y2},{y1,y2}.
記事件A表示“從日用品x1,x2,x3,y1,y2中任取兩件,其等級(jí)系數(shù)相等”,則A包含的基本事件為:{x1,x2},{x1,x3},{x2,x3},{y1,y2},共4個(gè).
又基本事件的總數(shù)為10,
故所求的概率P(A)==0.4.
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