文科數(shù)學北師大版練習:第二章 第九節(jié) 導數(shù)概念及其運算 Word版含解析

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1、 高考數(shù)學精品復習資料 2019.5 課時作業(yè) A組——基礎(chǔ)對點練 1.曲線y=xex-1在點(1,1)處切線的斜率等于(  ) A.2e         B.e C.2 D.1 解析:y=xex-1==xex,y′=(ex+xex)=(1+x), ∴k=y(tǒng)′|x=1=2,故選C. 答案:C 2.(20xx濟南模擬)已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)f′(x),且滿足f(x)=2xf′(1)+ln x,則f′(1)=(  ) A.-e B.-1 C.1 D.e 解析:∵f(x)=2xf′(1)+ln x,

2、∴f′(x)=[2xf′(1)]′+(ln x)′=2f′(1)+, ∴f′(1)=2f′(1)+1,即f′(1)=-1. 答案:B 3.函數(shù)f(x)=e xsin x的圖像在點(0,f(0))處的切線的傾斜角為(  ) A. B. C. D. 解析:因為f′(x)=exsin x+excos x,所以f′(0)=1,即曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線的斜率為1.所以在點(0,f(0))處的切線的傾斜角為,故選C. 答案:C 4.曲線y=ax在x=0處的切線方程是xln 2+y-1=0,則a=(  ) A. B.2 C.ln 2 D.ln 解析:

3、由題知,y′=axln a,y′|x=0=ln a,又切點為(0,1),故切線方程為xln a-y+1=0,∴a=,故選A. 答案:A 5.已知函數(shù)f(x)=sin x-cos x,且f′(x)=f(x),則tan 2x的值是(  ) A.- B.- C. D. 解析:因為f′(x)=cos x+sin x=sin x-cos x,所以tan x=-3,所以tan 2x===,故選D. 答案:D 6.已知f(x)=x3-2x2+x+6,則f(x)在點P(-1,2)處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積等于(  ) A.4 B.5 C. D. 解析:∵f(x)=x3-

4、2x2+x+6, ∴f′(x)=3x2-4x+1,∴f′(-1)=8, 故切線方程為y-2=8(x+1),即8x-y+10=0, 令x=0,得y=10,令y=0,得x=-, ∴所求面積S=10=. 答案:C 7.(20xx巴蜀中學模擬)已知曲線y=在點P(2, 4)處的切線與直線l平行且距離為2,則直線l的方程為(  ) A.2x+y+2=0 B.2x+y+2=0或2x+y-18=0 C.2x-y-18=0 D.2x-y+2=0或2x-y-18=0 解析:y′==-,y′|x=2=-=-2,因此kl=-2,設(shè)直線l方程為y=-2x+b,即2x+y-b=0,由題意得=2,解

5、得b=18或b=-2,所以直線l的方程為2x+y-18=0或2x+y+2=0.故選B. 答案:B 8.已知函數(shù)f(x)在R上滿足f(2-x)=2x2-7x+6,則曲線y=f(x)在(1,f(1))處的切線方程是(  ) A.y=2x-1 B.y=x C.y=3x-2 D.y=-2x+3 解析:法一:令x=1得f(1)=1,令2-x=t,可得x=2-t,代入f(2-x)=2x2-7x+6得f(t)=2(2-t)2-7(2-t)+6,化簡整理得f(t)=2t2-t,即f(x)=2x2-x,∴f′(x)=4x-1,∴f′(1)=3.∴所求切線方程為y-1=3(x-1),即y=3x-2.

6、 法二:令x=1得f(1)=1,由f(2-x)=2x2-7x+6,兩邊求導可得f′(2-x)(2-x)′=4x-7,令x=1可得-f′(1)=-3,即f′(1)=3.∴所求切線方程為y-1=3(x-1),即y=3x-2. 答案:C 9.(20xx濰坊模擬)如圖,y=f(x)是可導函數(shù),直線l:y=kx+2是曲線y=f(x)在x=3處的切線,g(x)=xf(x),g′(x)是g(x)的導函數(shù),則g′(3)=(  ) A.-1 B.0 C.2 D.4 解析:由題意知直線l:y=kx+2是曲線y=f(x)在x=3處的切線,由圖可得f(3)=1.又點(3,1)在直線l上,∴3k+2=1

7、,∴k=-,∴f′(3)=k=-.∵g(x)=xf(x),∴g′(x)=f(x)+xf′(x),則g′(3)=f(3)+3f′(3)=1+3=0,故選B. 答案:B 10.若曲線y=f(x)=ln x+ax2(a為常數(shù))不存在斜率為負數(shù)的切線,則實數(shù)a的取值范圍是(  ) A.(-,+∞) B.[-,+∞) C.(0,+∞) D.[0,+∞) 解析:f′(x)=+2ax=(x>0),根據(jù)題意有f′(x)≥0(x>0)恒成立,所以2ax2+1≥0(x>0)恒成立,即2a≥-(x>0)恒成立,所以a≥0,故實數(shù)a的取值范圍為[0,+∞).故選D. 答案:D 11.若直線y=x+1

8、與曲線y=aln x相切,且a∈(n,n+1)(n∈N*),則n=(  ) A.1 B.2 C.3 D. 4 解析:設(shè)直線y=x+1與曲線y=aln x相切的切點為(x0,aln x0),則在該點處曲線的切線方程為y-aln x0=(x-x0),即y=x+aln x0-a,又該直線與直線y=x+1重合,所以a=x0且aln x0-a=1,即aln a-a=1.構(gòu)造函數(shù)g(a)=aln a-a-1,則g′(a)=ln a,當a>1時,g′(a)>0,g(a)單調(diào)遞增,又g(3)=3ln 3-4<0,g(4)=4ln 4-5=8 ln 2-5>0,所以函數(shù)g(a)在(1,+∞)內(nèi)唯一的零

9、點在區(qū)間(3,4)內(nèi),所以n=3. 答案:C 12.(20xx石家莊模擬)設(shè)a∈R,函數(shù)f(x)=ex+ae-x的導函數(shù)是f′(x),且f′(x)是奇函數(shù).若曲線y=f(x)的一條切線的斜率是,則切點的橫坐標為(  ) A.ln 2 B.-ln 2 C. D.- 解析:對f(x)=ex+ae-x求導得f′(x)=ex-ae-x,又f′(x)是奇函數(shù),故f′(0)=1-a=0,解得a=1,故有f′(x)=ex-e-x,設(shè)切點為(x0,y0),則f′(x0)=ex0-e-x0=,解得ex0=2或ex0=-(舍去),所以x0=ln 2. 答案:A 13.曲線y=-5ex+3在點(0

10、,-2)處的切線方程為________. 解析:由y=-5ex+3得,y′=-5ex,所以切線的斜率k=y(tǒng)′|x=0=-5,所以切線方程為y+2=-5(x-0),即5x+y+2=0. 答案:5x+y+2=0 14.曲線y=x(3ln x+1)在點(1,1)處的切線方程為____________. 解析:y′=3ln x+1+3=3ln x+4,所以曲線在點(1,1)處的切線斜率為4,所以切線方程為y-1=4(x-1),即y=4x-3. 答案:y=4x-3 15.(20xx合肥市質(zhì)檢)已知直線y=b與函數(shù)f(x)=2x+3和g(x)=ax+ln x分別交于A,B兩點,若|AB|的最小

11、值為2,則a+b=________. 解析:設(shè)點B(x0,b),欲使|AB|最小,曲線g(x)=ax+ln x在點B(x0,b)處的切線與f(x)=2x+3平行,則有a+=2,解得x0=,進而可得a+ln=b?、?,又點 A坐標為(,b),所以|AB|=x0-=-=2?、冢?lián)立方程①②可解得,a=1,b=1,所以a+b=2. 答案:2 16.已知函數(shù)f(x)=ln x,g(x)=x2+mx(m∈R),若函數(shù)f(x)的圖像在點(1,f(1))處的切線與函數(shù)g(x)的圖像相切,則m的值為________. 解析:易知f(1)=0,f′(x)=,從而得到f′(1)=1,函數(shù)f(x)的圖像在點(

12、1,f(1))處的切線方程為y=x-1. 設(shè)直線y=x-1與g(x)=x2+mx(m∈R)的圖像相切于點P(x0,y0), 從而可得g′(x0)=1,g(x0)=x0-1.又g′(x)=2x+m,因此有,得x=1,解得或. 答案:-1或3 B組——能力提升練 1.已知函數(shù)g(x)=sin x,記f(0)=g(x)=sin x,f(1)=(sin x)′=cos x,f(2)=(cos x)′=-sin x,…依次類推,則f(2 019)=(  ) A.sin x B.cos x C.-sin x D.-cos x 解析:由題意得f(3)=-cos x,f(4)=sin x

13、,f(5)=cos x, 周期為4. ∴f(2 019)=f(3)=-cos x,故選D. 答案:D 2.已知函數(shù)f(x)=ex-2ax,g(x)=-x3-ax2.若不存在x1,x2∈R,使得f′(x1)=g′(x2),則實數(shù)a的取值范圍為(  ) A.(-2,3) B.(-6,0) C.[-2,3] D.[-6,0] 解析:依題意,知函數(shù)f′(x)與g′(x)值域的交集為空集,∵f′(x)=ex-2a>-2a,g′(x)=-3x2-2ax≤,∴≤-2a,解得-6≤a≤0. 答案:D 3.給出定義:設(shè)f′(x)是函數(shù)y=f(x)的導函數(shù),f″(x)是函數(shù)f′(x)的導函數(shù)

14、,若方程f″(x)=0有實數(shù)解x0,則稱點(x0,f(x0))為函數(shù)y=f(x)的“拐點”.已知函數(shù)f(x)=3x+4sin x-cos x的拐點是M(x0,f(x0)),則點M(  ) A.在直線y=-3x上 B.在直線y=3x上 C.在直線y=-4x上 D.在直線y=4x上 解析:f′(x)=3+4cos x+sin x,f″(x)=-4sin x+cos x,由題意知4sin x0-cos x0=0, 所以f(x0)=3x0, 故M(x0,f(x0))在直線y=3x上.故選B. 答案:B 4.已知函數(shù)fn(x)=xn+1,n∈N的圖像與直線x=1交于點P,若圖像在點P處

15、的切線與x軸交點的橫坐標為xn,則log2 013x1+log2 013x2+…+log2 013x2 012的值為(  ) A.-1 B.1-log2 0132 012 C.- log2 0132 012 D.1 解析:由題意可得點P的坐標為(1,1), f′n(x)=(n+1)xn,所以fn(x)圖像在點P處的切線的斜率為n+1,故可得切線的方程為y-1=(n+1)(x-1),所以切線與x軸交點的橫坐標為xn=,則log2 013x1+log2 013x2+…+log2 013x2 012=log2 013x1x2…x2 012=log2 013…=log2 013=-1.故選

16、A. 答案:A 5.設(shè)函數(shù)f(x)=ln x,g(x)=ax+,它們的圖像在x軸上的公共點處有公切線,則當x>1時,f(x)與g(x)的大小關(guān)系是(  ) A.f(x)>g(x) B.f(x)<g(x) C.f(x)=g(x) D.f(x)與g(x)的大小關(guān)系不確定 解析:由題意得f(x)與x軸的交點(1,0)在g(x)上,所以a+b=0,因為函數(shù)f(x),g(x)的圖像在此公共點處有公切線,所以f(x),g(x)在此公共點處的導數(shù)相等,f′(x)=,g′(x)=a-,以上兩式在x=1時相等,即1=a-b,又a+b=0,所以a=,b=-,即g(x)=-,f(x)=ln x,令h(

17、x)=f(x)-g(x)=ln x-+,則h′(x)=--==-,因為x>1,所以h′(x)<0,所以h (x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減,所以h(x)<h(1)=0,所以f(x)<g(x).故選B. 答案:B 6.設(shè)函數(shù)f(x)在(0,+∞)內(nèi)可導,且f(ex)=x+ex,則f′(1)=________. 解析:令t=ex,故x=ln t,∴f(t)=ln t+t,即f(x)=ln x+x,∴f′(x)=+1,∴f′(1)=2. 答案:2 7.設(shè)曲線y=ex在點(0,1)處的切線與曲線y=(x>0)上點P處的切線垂直,則P的坐標為________. 解析:y′=ex,則曲線y=ex

18、在點(0,1)處的切線的斜率k切=1,又曲線y=(x>0)上點P處的切線與曲線y=ex在點(0,1)處的切線垂直,所以曲線y=(x>0)在點P處的切線的斜率為-1,設(shè)P(a,b),則曲線y=(x>0)上點P處的切線的斜率為y′|x=a=-a-2=-1,可得a=1,又P(a,b)在y=上,所以b=1,故P(1,1). 答案:(1,1) 8.已知函數(shù)f(x)=-x3+ax2+b(a,b∈R)圖像上任意一點處的切線的斜率都小于1,則實數(shù)a的取值范圍是________. 解析:由題意得f′(x)=-3x2+2ax, 當x=時,f′(x)取到最大值. ∴<1,解得-<a<. 答案:-<a<

19、 9.已知函數(shù)f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(a,b∈R). (1)若函數(shù)f(x)的圖像過原點,且在原點處的切線斜率為-3,求a,b的值. (2)若曲線y=f(x)存在兩條垂直于y軸的切線,求a的取值范圍. 解析:f′(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2). (1)由題意得 解得b=0,a=-3或a=1. (2)因為曲線y=f(x)存在兩條垂直于y軸的切線, 所以關(guān)于x的方程f′(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2)=0有兩個不相等的實數(shù)根, 所以Δ=4(1-a)2+12a(a+2)>0, 即4a2+4a+1>0,所以a≠-. 所以a的取值范

20、圍為∪. 10.已知函數(shù)f(x)=x3-4x2+5x-4. (1)求曲線f(x)在點(2,f(2))處的切線方程; (2)求經(jīng)過點(2,-2)的曲線的切線方程. 解析:(1)因為f′(x)=3x2-8x+5, 所以f′(2)=1,又f(2)=-2, 所以曲線在點(2,f(2))處的切線方程為y+2=x-2,即x-y-4=0. (2)設(shè)曲線與經(jīng)過點A(2,-2)的切線相切于點P(x0,x-4x+5x0-4),因為f′(x0)=3x-8x0+5, 所以切線方程為y-(-2)=(3x-8x0+5)(x-2), 又切線過點P(x0,x-4x+5x0-4), 所以x-4x+5x0-2

21、=(3x-8x0+5)(x0-2), 整理得(x0-2)2(x0-1)=0,解得x0=2或1, 所以經(jīng)過A(2,-2)的曲線f(x)的切線方程為x-y-4=0或y+2=0. 11.設(shè)有拋物線C:y=-x2+x-4,過原點O作C的切線y=kx,使切點P在第一象限. (1)求k的值; (2)過點P作切線的垂線,求它與拋物線的另一個交點Q的坐標. 解析:(1)設(shè)點P的坐標為(x1,y1), 則y1=kx1,① y1=-x+x1-4,② ①代入②得,x+x1+4=0. 因為P為切點, 所以Δ=2-16=0, 得k=或k=. 當k=時,x1=-2,y1=-17. 當k=時,x1=2,y1=1. 因為P在第一象限, 所以所求的斜率k=. (2)過P點作切線的垂線, 其方程為y=-2x+5.③ 將③代入拋物線方程得, x2-x+9=0. 設(shè)Q點的坐標為(x2,y2),則2x2=9, 所以x2=,y2=-4. 所以Q點的坐標為.

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