數(shù)學(xué)教案－平方差公式平方差公式

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1、數(shù)學(xué)教案－平方差公式_平方差公式 教學(xué)建議 一、知識(shí)結(jié)構(gòu) 二、重點(diǎn)、難點(diǎn)分析^p 本節(jié)教學(xué)的重點(diǎn)是掌握公式的結(jié)構(gòu)特征及正確運(yùn)用公式．難點(diǎn)是公式推導(dǎo)的理解及字母的廣泛含義．平方差公式是進(jìn)一步學(xué)習(xí)完全平方公式、進(jìn)行相關(guān)代數(shù)運(yùn)算與變形的重要知識(shí)基礎(chǔ)． 1．平方差公式是由多項(xiàng)式乘法直接計(jì)算得出的： 與一般式多項(xiàng)式的乘法一樣，積的項(xiàng)數(shù)是多項(xiàng)式項(xiàng)數(shù)的積，即四項(xiàng)．合并同類項(xiàng)后僅得兩項(xiàng)． 2．這一公式的結(jié)構(gòu)特征：左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，這兩個(gè)二項(xiàng)式中有一項(xiàng)完全相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù)；右邊是乘式中兩項(xiàng)的平方差，即相同項(xiàng)的平方與相反項(xiàng)的平方差．公式中的字母可以表示具體的數(shù)（正數(shù)和負(fù)數(shù)

2、），也可以表示單項(xiàng)式或多項(xiàng)式等代數(shù)式． 只要符合公式的結(jié)構(gòu)特征，就可運(yùn)用這一公式．例如 在運(yùn)用公式的過程中，有時(shí)需要變形，例如，變形為，兩個(gè)數(shù)就可以看清楚了． 3．關(guān)于平方差公式的特征，在學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)注意： （1）左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，并且這兩上二項(xiàng)式中有一項(xiàng)完全相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù)． （2）右邊是乘式中兩項(xiàng)的平方差（相同項(xiàng)的平方減去相反項(xiàng)的平方）． （3）公式中的和可以是具體數(shù)，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式． （4）對(duì)于形如兩數(shù)和與這兩數(shù)差相乘，就可以運(yùn)用上述公式來(lái)計(jì)算． 三、教法建議 1．可以將“兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，積可能有幾項(xiàng)”的問題作為課題引入，目的是激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生能

3、在兩個(gè)二項(xiàng)式相乘其積可能為四項(xiàng)、三項(xiàng)、兩項(xiàng)中找出積為兩項(xiàng)的特征，上升到一定的理論認(rèn)識(shí)，加以實(shí)踐檢驗(yàn)，從而培養(yǎng)學(xué)生觀察、概括的能力． 2．通過學(xué)生自己的試算、觀察、發(fā)現(xiàn)、總結(jié)、歸納，得出為什么有的兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，其積為兩項(xiàng)，因?yàn)槠渲袃身?xiàng)是兩個(gè)數(shù)的平方差，而另兩項(xiàng)恰是互為相反數(shù)，合并同類項(xiàng)時(shí)為零，即 (a+b)(a-b)=a2+ab-ab-b2=a2-b2． 這樣得出平方差公式，并且把這類乘法的實(shí)質(zhì)講清楚了． 3．通過例題、練習(xí)與小結(jié)，教會(huì)學(xué)生如何正確應(yīng)用平方差公式．這里特別要求學(xué)生注意公式的結(jié)構(gòu)，教師可以用對(duì)應(yīng)思想來(lái)加強(qiáng)對(duì)公式結(jié)構(gòu)的理解和訓(xùn)練，如計(jì)算(1+2____)(1-2____)，

4、 (1+2____)(1-2____)=12-(2____)2=1-4____2 ↓ ↓ ↓ ↓　↑　↑ (a + b)(a - b)=a2- b2． 這樣，學(xué)生就能正確應(yīng)用公式進(jìn)行計(jì)算，不容易出差錯(cuò)． 另外，在計(jì)算中不一定用一種模式刻板地應(yīng)用公式，可以結(jié)合以前學(xué)過的運(yùn)算法則，經(jīng)過變形后靈活應(yīng)用公式，培養(yǎng)學(xué)生解題的靈活性． 教學(xué)目標(biāo) 1．使學(xué)生理解和掌握平方差公式，并會(huì)用公式進(jìn)行計(jì)算；　　2．注意培養(yǎng)學(xué)生分析^p 、綜合和抽象、概括以及運(yùn)算能力． 教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn) 重點(diǎn)：平方差公式的應(yīng)用． 難點(diǎn)：用公式的結(jié)構(gòu)特征判斷 題目能否使用公式． 教學(xué)過程設(shè)計(jì) 一、師生共同

5、研究平方差公式 我們已經(jīng)學(xué)過了多項(xiàng)式的乘法，兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，在合并同類項(xiàng)前應(yīng)該有幾項(xiàng)？合并同類項(xiàng)以后，積可能會(huì)是三項(xiàng)嗎？積可能是二項(xiàng)嗎？請(qǐng)舉出例子． 讓學(xué)生動(dòng)腦、動(dòng)筆進(jìn)行探討，并發(fā)表自己的見解．教師根據(jù)學(xué)生的回答，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考： 兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，乘式具備什么特征時(shí)，積才會(huì)是二項(xiàng)式？為什么具備這些特點(diǎn)的兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，積會(huì)是兩項(xiàng)呢？而它們的積又有什么特征？ (當(dāng)乘式是兩個(gè)數(shù)之和以及這兩個(gè)數(shù)之差相乘時(shí)，積是二項(xiàng)式．這是因?yàn)榫邆溥@樣特點(diǎn)的兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，積的四項(xiàng)中，會(huì)出現(xiàn)互為相反數(shù)的兩項(xiàng)，合并這兩項(xiàng)的結(jié)果為零，于是就剩下兩項(xiàng)了．而它們的積等于乘式中這兩個(gè)數(shù)的平方差) 繼而指出，在多項(xiàng)

6、式的乘法中，對(duì)于某些特殊形式的多項(xiàng)式相乘，我們把它寫成公式，并加以熟記，以便遇到類似形式的多項(xiàng)式相乘時(shí)就可以直接運(yùn)用公式進(jìn)行計(jì)算．以后經(jīng)常遇到(a+b)(a-b)這種乘法，所以把(a+b)(a-b)=a2-b2作為公式，叫做乘法的平方差公式． 在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生用語(yǔ)言敘述公式． 二、運(yùn)用舉例 變式練習(xí) 例1 計(jì)算(1+2____)(1-2____)． 解：(1+2____)(1-2____) =12-(2____)2 =1-4____2． 教師引導(dǎo)學(xué)生分析^p 題目條件是否符合平方差公式特征，并讓學(xué)生說(shuō)出本題中a，b分別表示什么． 例2 計(jì)算(b2+2a3)(2a3-

7、b2)． 解：(b2+2a3)(2a3-b2) ＝(2a3+b2)(2a3-b2) ＝(2a3)2-(b2)2 ＝4a6-b4． 教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，只需將(b2+2a3)中的兩項(xiàng)交換位置，就可用平方差公式進(jìn)行計(jì)算． 課堂練習(xí) 運(yùn)用平方差公式計(jì)算： (l)(____+a)(____-a)；　　　　(2)(m+n)(m-n)；　　(3)(a+3b)(a-3b)；　　　(4)(1-5y)(l+5y)． 例3 計(jì)算(-4a-1)(-4a+1)． 讓學(xué)生在練習(xí)本上計(jì)算，教師巡視學(xué)生解題情況，讓采用不同解法的兩個(gè)學(xué)生進(jìn)行板演． 解法1：(-4a-1)(-4a+1) =[-(4a+l

8、)][-(4a-l)] =(4a+1)(4a-l) =(4a)2-l2 =16a2-1． 解法2：(-4a-l)(-4a+l) =(-4a)2-l =16a2-1． 根據(jù)學(xué)生板演，教師指出兩種解法都很正確，解法1先用了提出負(fù)號(hào)的辦法，使兩乘式首項(xiàng)都變成正的，而后看出兩數(shù)的和與這兩數(shù)的差相乘的形式，應(yīng)用平方差公式，寫出結(jié)果．解法2把-4a看成一個(gè)數(shù)，把1看成另一個(gè)數(shù)，直接寫出(-4a)2-l2后得出結(jié)果．采用解法2的同學(xué)比較注意平方差公式的特征，能看到問題的本質(zhì)，運(yùn)算簡(jiǎn)捷．因此，我們?cè)谟?jì)算中，先要分析^p 題目的數(shù)字特征，然后正確應(yīng)用平方差公式，就能比較簡(jiǎn)捷地得到答案．

9、 課堂練習(xí) 1．口答下列各題： (l)(-a+b)(a+b)；　　　　(2)(a-b)(b+a)；　　(3)(-a-b)(-a+b)；　　　　(4)(a-b)(-a-b)． 2．計(jì)算下列各題： (1)(4____-5y)(4____+5y)；　　(2)(-2____2+5)(-2____2-5)；　 教師巡視學(xué)生練習(xí)情況，請(qǐng)不同解法的學(xué)生，或發(fā)生錯(cuò)誤的學(xué)生板演，教師和學(xué)生一起分析^p 解法． 三、小結(jié) 1．什么是平方差公式？ 2．運(yùn)用公式要注意什么？ (1)要符合公式特征才能運(yùn)用平方差公式；　　(2)有些式子表面不能應(yīng)用公式，但實(shí)質(zhì)能應(yīng)用公式，要注意變形． 四、作業(yè)

10、 1．運(yùn)用平方差公式計(jì)算： (l)(____+2y)(____-2y)；　　　 (2)(2a-3b)(3b+2a)；　　(3)(-1+3____)(-1-3____)；　　　　　(4)(-2b-5)(2b-5)；　　(5)(2____3+15)(2____3-15)；　　　　(6)(0.3____-0.l)(0.3____+l)；　　 2．計(jì)算： (1)(____+y)(____-y)+(2____+y)(2____+y)；　(2)(2a-b)(2a+b)-(2b-3a)(3a+2b)；　　(3)____(____-3)-(____+7)(____-7)；　　　　(4)(2____-5)(____-2)+(3____-4)(3____+4)． 第 8 頁(yè) 共 8 頁(yè)