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1、 精品資料
第6講 不等式的證明
1．求證：＋＋…＋<2(n∈R*)．
證明 ∵<＝－，
∴＋＋…＋<1＋(1－)＋(－)＋…＋(－)
＝1＋(1－)＝2－<2.
2．已知x2＋2y2＋3z2＝，求3x＋2y＋z的最小值．
解 ∵(x2＋2y2＋3z2)
≥2＝(3x＋2y＋z)2，
當(dāng)且僅當(dāng)x＝3y＝9z時(shí)，等號(hào)成立．∴(3x＋2y＋z)2≤12，
即－2≤3x＋2y＋z≤2.
當(dāng)x＝－，y＝－，z＝－時(shí)，
3x＋2y＋z＝－2，∴最小值為－2.
3．設(shè)正實(shí)數(shù)a、b滿足a2＋ab－1＋b－2＝3，求證：a＋b－
2、1≤2.
證明 由a2＋ab－1＋b－2＝3，得ab－1＝(a＋b－1)2－3，
又正實(shí)數(shù)a、b滿足a＋b－1≥2，
即ab－1≤，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“＝”．
∴(a＋b－1)2－3≤，∴a＋b－1≤2.
4．已知an＝＋＋＋…＋(n∈N*)，求證：n，
∴an＝＋＋…＋>1＋2＋3＋…＋n＝.
∵<，
∴an<＋＋＋…＋
＝＋(2＋3＋…＋n)＋＝.
綜上得：
3、
將上述三個(gè)不等式兩邊分別相加，并除以2，
得＋＋≥＋＋.
6．已知a、b都是正實(shí)數(shù)，且ab＝2.求證：(1＋2a)(1＋b)≥9.
證明 法一 因?yàn)閍、b都是正實(shí)數(shù)，且ab＝2，
所以2a＋b≥2＝4.
所以(1＋2a)(1＋b)＝1＋2a＋b＋2ab≥9.
法二 因?yàn)閍、b都是正實(shí)數(shù)，
所以由柯西不等式可知
(1＋2a)(1＋b)＝[12＋()2][12＋()2]≥(1＋)2.
又ab＝2，所以(1＋)2＝9.所以(1＋2a)(1＋b)≥9.
法三 因?yàn)閍b＝2，
所以(1＋2a)(1＋b)＝(1＋2a)＝5＋2.
因?yàn)閍為正實(shí)數(shù)，所以a＋≥2 ＝2.
所以(1＋
4、2a)(1＋b)≥9.
法四 因?yàn)閍、b都是正實(shí)數(shù)，所以(1＋2a)(1＋b)＝(1＋a＋a)≥33＝9.
又ab＝2，所以(1＋2a)(1＋b)≥9.
7．設(shè)實(shí)數(shù)x、y、z滿足x＋2y－3z＝7，求x2＋y2＋z2的最小值．
證明 由柯西不等式，得(x2＋y2＋z2)[12＋22＋(－3)2]≥(x＋2y－3z)2.
∵x＋2y－3z＝7，∴x2＋y2＋z2≥.
當(dāng)且僅當(dāng)x＝＝時(shí)取等號(hào)，
即x＝，y＝1，z＝－時(shí)取等號(hào)．
∴x2＋y2＋z2的最小值為.
8．已知m、n是正數(shù)，證明：＋≥m2＋n2.
證明 ∵＋－m2－n2＝＋
＝＝，
∵m、n均為正實(shí)數(shù)，
∴≥0，∴
5、＋≥m2＋n2.
當(dāng)且僅當(dāng)m＝n時(shí)，等號(hào)成立．
9．已知a、b、c滿足abc＝1，求證：(a＋2)(b＋2)(c＋2)≥27.
證明 (a＋2)(b＋2)(c＋2)＝(a＋1＋1)(b＋1＋1)(c＋1＋1)≥333＝27＝27.
當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝1時(shí)等號(hào)成立．
10．已知x、y、z均為正數(shù)，求證：
≤ .
證明 由柯西不等式，得
(12＋12＋12)≥2.
即 ≥＋＋.
∴≤ .
當(dāng)且僅當(dāng)＝＝時(shí)等號(hào)成立．
11．已知a，b為實(shí)數(shù)，且a>0，b>0.
(1)求證：≥9；
(2)求(5－2a)2＋4b2＋(a－b)2的最小值．
(1)證明 因?yàn)閍>0，b>0，
6、
所以a＋b＋≥3＝3>0， ①
同理可證：a2＋＋≥3>0. ②
由①②及不等式的性質(zhì)得
＝33＝9.
(2)解 [(5－2a)2＋4b2＋(a－b)2][12＋12＋22]
≥[(5－2a)1＋2b1＋(a－b)2]2.
所以(5－2a)2＋4b2＋(a－b)2≥.
當(dāng)且僅當(dāng)＝＝時(shí)取等號(hào)，即a＝，b＝.
所以當(dāng)a＝，b＝時(shí)，(5－2a)2＋4b2＋(a－b)2取最小值.
12．已知a，b為正實(shí)數(shù)．
(1)求證：＋≥a＋b；
(2)利用(1)的結(jié)論求函數(shù)y＝＋(00，b>0，
∴(a＋b)＝a2＋b2＋＋
≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2.
∴＋≥a＋b，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立．
法二 ∵＋－(a＋b)＝
＝＝
＝.
又∵a>0，b>0，∴≥0，
當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立．∴＋≥a＋b.
(2)解 ∵00，
由(1)的結(jié)論，函數(shù)y＝＋≥(1－x)＋x＝1.
當(dāng)且僅當(dāng)1－x＝x，即x＝時(shí)等號(hào)成立．
∴函數(shù)y＝＋(0
高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫選修4 第6講 不等式的證明
