高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章第九節(jié) 函數(shù)模型及其應(yīng)用課件 理 （廣東專用）

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1、第九節(jié)函數(shù)模型及其應(yīng)用第九節(jié)函數(shù)模型及其應(yīng)用1三種函數(shù)模型之間增長速度的比較三種函數(shù)模型之間增長速度的比較函數(shù)函數(shù)性質(zhì)性質(zhì)yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在在(0，)上的增減上的增減性性_增長速度增長速度越來越快越來越快越來越慢越來越慢相對平穩(wěn)相對平穩(wěn)值的比較值的比較存在一個存在一個x0，當(dāng)，當(dāng)xx0時，有時，有_單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增logaxxnax2.常用的幾類函數(shù)模型常用的幾類函數(shù)模型(1)指數(shù)函數(shù)模型指數(shù)函數(shù)模型yabxc(a0，b0且且b1)(2)對數(shù)函數(shù)模型對數(shù)函數(shù)模型ymlogaxn(a0且且a1，m0)(3)冪函數(shù)模型冪函數(shù)模型yax

2、nb，(a0)3解函數(shù)應(yīng)用問題的步驟解函數(shù)應(yīng)用問題的步驟(四步八字四步八字)(1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，尋找數(shù)量關(guān)系；審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，尋找數(shù)量關(guān)系；(2)建模：利用數(shù)學(xué)知識，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；建模：利用數(shù)學(xué)知識，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；(3)求模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論；求模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論；(4)還原：用數(shù)學(xué)問題解釋并回答實際問題的意義還原：用數(shù)學(xué)問題解釋并回答實際問題的意義直線上升、指數(shù)增長、對數(shù)增長的增長特點是什么？你作為老直線上升、指數(shù)增長、對數(shù)增長的增長特點是什么？你作為老板，希望公司的利潤和員工獎金按何種模型增長？板，希望公司的利潤和員工獎金

3、按何種模型增長？【提示【提示】直線上升，勻速增長；指數(shù)增長，先慢后快，其增直線上升，勻速增長；指數(shù)增長，先慢后快，其增長量成倍增加，可用長量成倍增加，可用“指數(shù)爆炸指數(shù)爆炸”形容；對數(shù)增長：先快后慢，形容；對數(shù)增長：先快后慢，其增長速度緩慢；公司的利潤選擇直線上升或指數(shù)模型增長，其增長速度緩慢；公司的利潤選擇直線上升或指數(shù)模型增長，而員工獎金選擇對數(shù)模型增長而員工獎金選擇對數(shù)模型增長 1(教材改編題教材改編題)在一次數(shù)學(xué)試驗中，采集到如下一組數(shù)據(jù)：在一次數(shù)學(xué)試驗中，采集到如下一組數(shù)據(jù)：x2.01.001.002.003.00y0.240.5112.023.988.02【解析【解析】先作出散點圖

4、，再結(jié)合選項中函數(shù)的性質(zhì)判斷先作出散點圖，再結(jié)合選項中函數(shù)的性質(zhì)判斷【答案【答案】B2擬定甲地到乙地通話擬定甲地到乙地通話m分鐘的電話費分鐘的電話費f(m)0.5m1(單位：單位：元元)，其中，其中m0，m表示不大于表示不大于m的最大整數(shù)的最大整數(shù)(如如3.623，44)，當(dāng)，當(dāng)m0.5,3.2時，函數(shù)時，函數(shù)f(m)的值域是的值域是()A1,2,3,4 B1,1.5,2,2.5C1,1.5,2.5,3 D1.5,2,2.5【解析【解析】當(dāng)當(dāng)m0.5,3.2時，時，m所有可能值為所有可能值為0,1,2,3共四個，共四個，故故f(m)的值域為的值域為1,1.5,2,2.5【答案【答案】B【答案【

5、答案】B【答案【答案】D (1)求求k的值及的值及f(x)的表達式；的表達式；(2)隔熱層修建多厚時，總費用隔熱層修建多厚時，總費用f(x)達到最小，并求最小值達到最小，并求最小值【思路點撥【思路點撥】分析題意知，分析題意知，C(0)8由此得出由此得出k的值；由隔熱的值；由隔熱層建造費與層建造費與20年的能源消耗費相加得年的能源消耗費相加得f(x)的表達式；可用求導(dǎo)的表達式；可用求導(dǎo)函數(shù)或基本不等式判斷函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)或基本不等式判斷函數(shù)的單調(diào)性求f(x)的最小值的最小值1(1)求函數(shù)的解析式和最值時，易忽略求函數(shù)的解析式和最值時，易忽略x的取值范圍與的取值范圍與等號成立的條件等號成立的條件

6、(2)利用基本不等式求函數(shù)的最值，一定要利用基本不等式求函數(shù)的最值，一定要注意等號成立的條件，如果等號不成立，可利用函數(shù)的單調(diào)性注意等號成立的條件，如果等號不成立，可利用函數(shù)的單調(diào)性求解求解2(1)二次函數(shù)的最值一般利用配方法與函數(shù)的單調(diào)性解二次函數(shù)的最值一般利用配方法與函數(shù)的單調(diào)性解決，但一定要密切注意函數(shù)的定義域，否則極易出錯決，但一定要密切注意函數(shù)的定義域，否則極易出錯(2)解解決函數(shù)應(yīng)用問題時，最后要還原到實際問題決函數(shù)應(yīng)用問題時，最后要還原到實際問題某種出口產(chǎn)品的關(guān)稅稅率為某種出口產(chǎn)品的關(guān)稅稅率為t，市場價格，市場價格x(單位：千元單位：千元)與與市場供應(yīng)量市場供應(yīng)量p(單位：萬件單

7、位：萬件)之間近似滿足關(guān)系式：之間近似滿足關(guān)系式：p2(1kt)(xb)2，其中，其中k，b均為常數(shù)當(dāng)關(guān)稅稅率均為常數(shù)當(dāng)關(guān)稅稅率t75%時，若市場價時，若市場價格為格為5千元，則市場供應(yīng)量為千元，則市場供應(yīng)量為1萬件；若市場價格為萬件；若市場價格為7千元，則千元，則市場供應(yīng)量約為市場供應(yīng)量約為2萬件萬件(1)試確定試確定k，b的值；的值；(2)市場需求量市場需求量q(單位：萬件單位：萬件)與市場價格與市場價格x近似滿足關(guān)系式：近似滿足關(guān)系式：q2x，當(dāng)，當(dāng)pq時，市場價格稱為市場平衡價格當(dāng)市場平衡時，市場價格稱為市場平衡價格當(dāng)市場平衡價格不超過價格不超過4千元時，試確定關(guān)稅稅率的最大值千元時，

8、試確定關(guān)稅稅率的最大值 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用 【思路點撥【思路點撥】(1)由題設(shè)條件，建立關(guān)于由題設(shè)條件，建立關(guān)于k，b的方程，不難的方程，不難確定確定k、b的值；的值；(2)依據(jù)市場平衡價格的意義，結(jié)合指數(shù)函數(shù)依據(jù)市場平衡價格的意義，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，確定關(guān)稅稅率的單調(diào)性，確定關(guān)稅稅率t關(guān)于關(guān)于x的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求最值的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求最值1(1)本題涉及的本題涉及的“名詞名詞”、“量量”較多，準確理解題意較多，準確理解題意和各和各“名詞名詞”的含義是正確求解的關(guān)鍵的含義是正確求解的關(guān)鍵(2)根據(jù)指數(shù)函數(shù)的根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，建立稅率關(guān)于單調(diào)性，建立

9、稅率關(guān)于“市場平衡價格市場平衡價格”的函數(shù)關(guān)系，是求解的函數(shù)關(guān)系，是求解第第(2)問的前提條件問的前提條件2(1)指數(shù)函數(shù)模型，常與增長率相結(jié)合，在實際問題中指數(shù)函數(shù)模型，常與增長率相結(jié)合，在實際問題中人口增長、銀行利率、細胞分裂等增長問題可以利用指數(shù)函數(shù)人口增長、銀行利率、細胞分裂等增長問題可以利用指數(shù)函數(shù)模型來表示模型來表示(2)應(yīng)用指數(shù)函數(shù)模型時，先設(shè)定模型，將已知應(yīng)用指數(shù)函數(shù)模型時，先設(shè)定模型，將已知數(shù)據(jù)代入驗證計算，確定參數(shù)數(shù)據(jù)代入驗證計算，確定參數(shù)(2011四川高考改編四川高考改編)里氏震級里氏震級M的計算公式為：的計算公式為：Mlg Alg A0，其中，其中A是測震儀記錄的地震曲

10、線的最大振幅，是測震儀記錄的地震曲線的最大振幅，A0是相應(yīng)的標準地震的振幅是相應(yīng)的標準地震的振幅(1)假設(shè)在一次地震中，測震儀記錄的最大振幅是假設(shè)在一次地震中，測震儀記錄的最大振幅是1 000，此時，此時標準地震的振幅為標準地震的振幅為0.001，求此次地震的震級；，求此次地震的震級；(2)2011年年3月月11日，日本東海岸發(fā)生日，日本東海岸發(fā)生9.0級特大地震；級特大地震；2008年年5月月12日，中國汶川發(fā)生日，中國汶川發(fā)生8.0級強震，那么級強震，那么9.0級地震的最大振幅級地震的最大振幅是是8.0級地震最大振幅的多少倍？級地震最大振幅的多少倍？(2011湖北高考湖北高考)提高過江大橋

11、的車輛通行能力可改善整個提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況在一般情況下，大橋上的車流速度城市的交通狀況在一般情況下，大橋上的車流速度v(單位：單位：千米千米/小時小時)是車流密度是車流密度x(單位：輛單位：輛/千米千米)的函數(shù)當(dāng)橋上的車流的函數(shù)當(dāng)橋上的車流密度達到密度達到200輛輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當(dāng)車流；當(dāng)車流密度不超過密度不超過20輛輛/千米時，車流速度為千米時，車流速度為60千米千米/小時研究表明：小時研究表明：當(dāng)當(dāng)20 x200時，車流速度時，車流速度v是車流密度是車流密度x的一次函數(shù)的一次函數(shù)(1)當(dāng)當(dāng)0 x200時

12、，求函數(shù)時，求函數(shù)v(x)的表達式；的表達式；(2)當(dāng)車流密度當(dāng)車流密度x為多大時，車流量為多大時，車流量(單位時間內(nèi)通過橋上某觀測單位時間內(nèi)通過橋上某觀測點的車輛數(shù)，單位：輛點的車輛數(shù)，單位：輛/小時小時)f(x)xv(x)可以達到最大，并求可以達到最大，并求出最大值出最大值(精確到精確到1輛輛/小時小時)分段函數(shù)模型的應(yīng)用分段函數(shù)模型的應(yīng)用 【思路點撥【思路點撥】(1)當(dāng)當(dāng)20 x200時，運用待定系數(shù)法求時，運用待定系數(shù)法求v(x)的解的解析式，進而確定當(dāng)析式，進而確定當(dāng)0 x200時，分段函數(shù)時，分段函數(shù)v(x)(2)根據(jù)根據(jù)(1)求出求出f(x)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與基本不等式求最值，

13、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與基本不等式求最值1理解題意，由待定系數(shù)法，準確求出理解題意，由待定系數(shù)法，準確求出v(x)，是求解本，是求解本題的關(guān)鍵要注意分段函數(shù)各段變量的取值范圍，特別是端點題的關(guān)鍵要注意分段函數(shù)各段變量的取值范圍，特別是端點值值2實際問題中有些變量間的關(guān)系不能用同一個關(guān)系式給實際問題中有些變量間的關(guān)系不能用同一個關(guān)系式給出，而是由幾個不同的關(guān)系式構(gòu)成，如出租車票價與路程之間出，而是由幾個不同的關(guān)系式構(gòu)成，如出租車票價與路程之間的關(guān)系，應(yīng)構(gòu)建分段函數(shù)模型求解的關(guān)系，應(yīng)構(gòu)建分段函數(shù)模型求解圖圖291 (1)從藥物釋放開始，求每立方米空氣中的含藥量從藥物釋放開始，求每立方米空氣中的含藥量y(

14、毫克毫克)與時與時間間t(小時小時)之間的函數(shù)關(guān)系式；之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)據(jù)測定，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量降低到據(jù)測定，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量降低到0.25毫克以下時，毫克以下時，學(xué)生方可進教室，那么從藥物釋放開始，至少需要經(jīng)過多少個學(xué)生方可進教室，那么從藥物釋放開始，至少需要經(jīng)過多少個小時后，學(xué)生才能回到教室？小時后，學(xué)生才能回到教室？從近兩年高考試題看，與函數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題，經(jīng)常涉及從近兩年高考試題看，與函數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題，經(jīng)常涉及物價、路程、產(chǎn)值等實際問題，也經(jīng)常涉及面積、體積、造價物價、路程、產(chǎn)值等實際問題，也經(jīng)常涉及面積、體積、造價等優(yōu)化問題，如等優(yōu)化問題，如2011山東山東21、

15、2011湖南湖南20.題型主要以解答題型主要以解答題為主，難度中等偏高，常與導(dǎo)數(shù)、最值交匯主要考查考生題為主，難度中等偏高，常與導(dǎo)數(shù)、最值交匯主要考查考生的的“建模建?！苯鉀Q實際問題的能力解決實際問題的能力規(guī)范解答之二函數(shù)建模在實際問題中的應(yīng)用規(guī)范解答之二函數(shù)建模在實際問題中的應(yīng)用 (14分分)(2011湖南高考湖南高考)如圖如圖292，長方體物體，長方體物體E在雨在雨中沿面中沿面P(面積為面積為S)的垂直方向作勻速移動，的垂直方向作勻速移動， (1)寫出寫出y的表達式；的表達式；(2)設(shè)設(shè)0v10,0c5，試根據(jù)，試根據(jù)c的不同取值范圍，確定移動速的不同取值范圍，確定移動速度度v，使總淋雨量

16、，使總淋雨量y最少最少【解題程序【解題程序】第一步：由題意，表示單位時間內(nèi)的淋雨量；第一步：由題意，表示單位時間內(nèi)的淋雨量；第二步：建立總淋雨量為函數(shù)模型；第二步：建立總淋雨量為函數(shù)模型；第三步：分類討論，化總淋雨量為分段函數(shù)；第三步：分類討論，化總淋雨量為分段函數(shù)；第四步：討論參數(shù)第四步：討論參數(shù)c對函數(shù)單調(diào)性的影響，求總淋雨量對函數(shù)單調(diào)性的影響，求總淋雨量y的最小的最小值；值；第五步：檢驗，驗證，用數(shù)學(xué)結(jié)果回答實際問題第五步：檢驗，驗證，用數(shù)學(xué)結(jié)果回答實際問題易錯提示：易錯提示：(1)由于未讀懂題意，不能正確建立函數(shù)模型；再由于未讀懂題意，不能正確建立函數(shù)模型；再者第者第(2)問難以轉(zhuǎn)化為

17、分段函數(shù)，導(dǎo)致求解受阻問難以轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，導(dǎo)致求解受阻(2)在解模時，由于未分清在解模時，由于未分清c，v中，誰是自變量，造成求解錯中，誰是自變量，造成求解錯誤誤防范措施：防范措施：(1)求解函數(shù)實際問題，審題是關(guān)鍵，要弄清相關(guān)求解函數(shù)實際問題，審題是關(guān)鍵，要弄清相關(guān)“名詞名詞”，準確尋求各量之間的關(guān)系，準確尋求各量之間的關(guān)系(2)抓住隱含條件為突破口，化淋雨量為分段函數(shù)，是進一步抓住隱含條件為突破口，化淋雨量為分段函數(shù)，是進一步正確求解的前提，并對運算結(jié)果作出實際解釋正確求解的前提，并對運算結(jié)果作出實際解釋【答案【答案】4從而，從而，f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6)于是，當(dāng)于是，當(dāng)x變化時，變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：的變化情況如下表：x(3,4)4(4,6)f(x)0f(x)單調(diào)遞增單調(diào)遞增極大值極大值42單調(diào)遞減單調(diào)遞減由上表可得，由上表可得，x4是函數(shù)是函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間(3,6)內(nèi)的極大值點，也是最大內(nèi)的極大值點，也是最大值點值點所以，當(dāng)所以，當(dāng)x4時，函數(shù)時，函數(shù)f(x)取得最大值，且最大值等于取得最大值，且最大值等于42.答：當(dāng)銷售價格為答：當(dāng)銷售價格為4元元/千克時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤千克時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大最大