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1、第第2 2章章 一元二次方程一元二次方程2 2。2 2 一元二次方程的解法（第一元二次方程的解法（第3 3課時(shí)）課時(shí)）用配方法解一元二次方程用配方法解一元二次方程例例1 1 用配方法解下列方程：用配方法解下列方程：（1 1）x x2 2-x-6=0-x-6=0； （2 2）3y3y2 2+1=2+1=2 y y；（3 3）2x2x2 2+4x-9=0+4x-9=0； （4 4）3x3x2 2-2x+3=0-2x+3=0。分析：先將方程左邊配方成完全平方式分析：先將方程左邊配方成完全平方式, ,方程右方程右邊化成非負(fù)數(shù)的形式邊化成非負(fù)數(shù)的形式, ,然后用直接開平方法求解然后用直接開平方法求解。3
2、解：（解：（1 1）移項(xiàng)）移項(xiàng), ,得得x x2 2-x=6-x=6。 配方配方, ,得得x x2 2-x+-x+ =6+=6+ , ,即即 。 直接開平方直接開平方, ,得得 , ,或或 。 解得解得x x1 1=3=3, ,x x2 2=-2=-2。（2 2）移項(xiàng)）移項(xiàng), ,得得3y3y2 2-2-2 y+1=0y+1=0, ,即即( ( y-1y-1) )2 2=0=0。 直接開平方直接開平方, ,得得 y-1=0y-1=0。 解得解得y y1 1=y=y2 2= = 。221221425212x2521x2521x33333（4 4）二次項(xiàng)系數(shù)化為）二次項(xiàng)系數(shù)化為1 1, ,得得x x
3、2 2- - x+1=0 x+1=0。 移項(xiàng)移項(xiàng), ,得得x x2 2- - x=-1x=-1。 配方得配方得( (x-x- ) )2 2=-=- 。 方程無解方程無解。（3 3）二次項(xiàng)系數(shù)化為）二次項(xiàng)系數(shù)化為1 1, ,得得x x2 2+2x-+2x- =0=0。 移項(xiàng)移項(xiàng), ,得得x x2 2+2x=+2x= 。 配方配方, ,得得x x2 2+2x+1=+2x+1= , ,即即( (x+1x+1) )2 2= = 。直接開平方直接開平方, ,得得, ,x+1=x+1= , ,或或x+1=-x+1=- 。 解得解得x x1 1= = -1-1, ,x x2 2=-=- -1-1。29292
4、1121122222222222232323198注意點(diǎn)：運(yùn)用配方法解一元二次方程時(shí)注意點(diǎn)：運(yùn)用配方法解一元二次方程時(shí), ,先移項(xiàng)先移項(xiàng), ,把含有未知數(shù)的項(xiàng)移到方程的左邊把含有未知數(shù)的項(xiàng)移到方程的左邊, ,常數(shù)項(xiàng)移到常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊方程的右邊, ,然后把二次項(xiàng)系數(shù)化為然后把二次項(xiàng)系數(shù)化為1 1, ,再在方程再在方程的左右兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方的左右兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方, ,把把方程化為方程化為( (x xa a) )2 2=b=b（b b0 0）的形式）的形式, ,再用直接再用直接開平方法求解開平方法求解。有關(guān)配方法的應(yīng)用有關(guān)配方法的應(yīng)用例例2 2 若若x x2 2
5、-4x+y-4x+y2 2+6y+6y+ +13=0+13=0, ,求求( (xyxy) )z z的值的值。分析：可將分析：可將x x2 2-4x-4x, ,y y2 2+6y+6y通過配方法配成完全平方通過配方法配成完全平方的形式的形式, ,將已知條件的左邊化成三個(gè)非負(fù)數(shù)的和的將已知條件的左邊化成三個(gè)非負(fù)數(shù)的和的形式形式, ,分別求出分別求出x x, ,y y, ,z z的值的值, ,再代入再代入( (xyxy) )z z中即可求中即可求解解。解：解：x x2 2-4x+y-4x+y2 2+6y+6y+ +13=0+13=0, ,x x2 2-4x+4+y-4x+4+y2 2+6y+9+6y
6、+9+ =0=0, ,(x-2x-2) )2 2+(y+3+(y+3) )2 2+ + =0=0, ,x-2=0 x-2=0, ,y+3=0y+3=0, ,z-2=0z-2=0, ,x=2x=2, ,y=-y=-3 3, ,z=2z=2, ,(xyxy) )z z= =( (-6-6) )2 2=36=36。2z2z2z2z注意點(diǎn)：當(dāng)一個(gè)方程出現(xiàn)多個(gè)未知數(shù)注意點(diǎn)：當(dāng)一個(gè)方程出現(xiàn)多個(gè)未知數(shù), ,且方程中且方程中具備完全平方的雛形時(shí)具備完全平方的雛形時(shí), ,可以考慮湊完全平方式可以考慮湊完全平方式, ,將方程化成幾個(gè)非負(fù)數(shù)和為零的情形將方程化成幾個(gè)非負(fù)數(shù)和為零的情形, ,從而將一從而將一個(gè)方程化成
7、多個(gè)方程來分別求解個(gè)方程化成多個(gè)方程來分別求解。變式：對于任何實(shí)數(shù)變式：對于任何實(shí)數(shù)x x, ,二次三項(xiàng)式二次三項(xiàng)式x x2 2-2-2 x+5-x+5-的值恒大于零嗎？為什么？的值恒大于零嗎？為什么？答案：恒大于零答案：恒大于零。 理由如下：理由如下：x x2 2-2-2 x+5-x+5- =x=x2 2-2-2 x+x+ - - +5-+5- =(x- =(x- ) )2 2+3-+3- , ,而而( (x-x- ) )2 20 0, ,3 3 , ,x x2 2-2-2 x+5-x+5- 的值恒大于零的值恒大于零。222222)2(2)2(2222222例例 解方程：解方程：4x4x2
8、2+8x+1=0+8x+1=0。正答：方程兩邊都除以正答：方程兩邊都除以4 4, ,得得x x2 2+2x+2x+ =0=0。 移項(xiàng)移項(xiàng), ,得得x x2 2+2x=-+2x=- 。配方配方, ,得得x x2 2+2x+1=-+2x+1=- +1+1, ,即即( (x+1x+1) )2 2= =所以所以x+1=x+1= 。 所以所以x x1 1= = -1-1, ,x x2 2=-=- -1-1錯(cuò)答：原方程可變?yōu)殄e(cuò)答：原方程可變?yōu)?x4x2 2+8x=-1+8x=-1, ,兩邊同時(shí)加上兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方, ,得：得：4x4x2 2+8x+8x+ =-1+ =-1+ 。 即即( (2x+42x+4) )2 2=15=15。 解得解得x x1 1= = , ,x x2 2= = 。2282282415 2415 414141.43232323錯(cuò)因：運(yùn)用配方法解方程的關(guān)鍵是先把二次項(xiàng)系錯(cuò)因：運(yùn)用配方法解方程的關(guān)鍵是先把二次項(xiàng)系數(shù)化為數(shù)化為1 1, ,然后在方程兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半然后在方程兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方的平方, ,最后配成最后配成( (x+mx+m) )2 2=n=n的形式的形式。
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