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1、第27課 生活中的優(yōu)化問題舉例
1．（2019江門一模）某產(chǎn)品生產(chǎn)成本與產(chǎn)量（）的函數(shù)關(guān)系式為，銷售單價與產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系式為．
（1）產(chǎn)量為何值時，利潤最大？
（2）產(chǎn)量為何值時，每件產(chǎn)品的平均利潤最大？
【解析】（1）銷售收入．
利潤（）．
∴產(chǎn)量時，利潤最大．
（2）每件產(chǎn)品的平均利潤．
令，解得得．
∵當(dāng)時，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，單調(diào)遞減．
∵，且，
∴產(chǎn)量時，每件產(chǎn)品的平均利潤最大．
答：當(dāng)產(chǎn)量時，每件產(chǎn)品的平均利潤最大．
2．（2019福建高考）某商場銷售某種商品的經(jīng)驗表明，該商品每日的銷售量（單位：千克）與銷售價格（單位：元/千克）滿足關(guān)
2、系式，其中，為常數(shù)，已知銷售價格為元/千克時，每日可售出該商品千克。
（1）求的值
（2）若該商品的成本為元/千克，試確定銷售價格的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大．
【解析】（1）∵時，，
由函數(shù)式，
得，∴．
（2）由（1）知，
∴每日的銷售量為，．
每日銷售該商品所獲得的利潤為
于是，當(dāng)變化時，，的變化情況如下表：
（3,4）
4
（4,6）
0
極大值
由上表可以看出，是函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的極大值點，也是最大值點．
∴當(dāng)時，函數(shù)取得最大值．
因此當(dāng)銷售價格為元/千克時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大．
3．（2019
3、西城一模）如圖，拋物線與軸交于兩點，點在拋物線上（點在第一象限），∥．記，梯形面積為．
（1）求面積以為自變量的函數(shù)式；
（2）若，其中為常數(shù)，且，求的最大值．
【解析】（1）依題意，點的橫坐標(biāo)為，點的縱坐標(biāo)為．
點的橫坐標(biāo)滿足方程，解得，舍去．
由點在第一象限，得．
∴關(guān)于的函數(shù)式為 ，．
（2）由 及，得．
記，
則．
令，得．
① 若，即時，與的變化情況如下：
↗
極大值
↘
∴當(dāng)時，取得最大值，且
4、最大值為．
② 若，即時，恒成立，
∴的最大值為．
綜上，時，的最大值為；
時，的最大值為．
4．（2019江蘇高考）請你設(shè)計一個包裝盒，如圖所示，ABCD是邊長為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得四個點重合于圖中的點P，正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒，、在上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個端點，設(shè)cm．
（1）若廣告商要求包裝盒側(cè)面積（cm）最大，試問應(yīng)取何值？
（2）若廣告商要求包裝盒容積（cm）最大，試問應(yīng)取何值？并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值．
【解析】（1）根據(jù)題意有
∴包裝盒側(cè)面積最大．
（2）根據(jù)題意有，
當(dāng)時，當(dāng)時，遞增；當(dāng)時，遞減，
∴當(dāng)時，取極大值也是最大值．
此時，包裝盒的高與底面邊長的比值為．
即包裝盒容積（cm）最大, 此時包裝盒的高與底面邊長的比值為．
內(nèi)容總結(jié)
（1）第27課 生活中的優(yōu)化問題舉例
1．（2019江門一模）某產(chǎn)品生產(chǎn)成本與產(chǎn)量（）的函數(shù)關(guān)系式為，銷售單價與產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系式為．
（1）產(chǎn)量為何值時，利潤最大
（2）（2）產(chǎn)量為何值時，每件產(chǎn)品的平均利潤最大
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