新課標(biāo)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 名校尖子生培優(yōu)大專題 圓錐曲線訓(xùn)練 新人教A版
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1、名校專題----圓錐曲線培優(yōu)訓(xùn)練5 1、設(shè)橢圓E: (a,b>0)過(guò)M(2,) ,N(,1)兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn). (Ⅰ)求橢圓E的方程; (Ⅱ)是否存在圓心在原點(diǎn)的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B, 且?若存在,寫出該圓的方程,并求|AB |的取值范圍,若不存在說(shuō)明理由。 解:(1)因?yàn)闄E圓E: (a,b>0)過(guò)M(2,),N(,1)兩點(diǎn), 所以解得所以橢圓E的方程為 4分 (2)假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且,設(shè)該圓的切線方程為解方程組得, 即, 則△=,即 要
2、使,需使,即,所以, 所以又, 所以,所以,即或, 因?yàn)橹本€為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線, 所以圓的半徑為,,, 所求的圓為,此時(shí)圓的切線都滿足或, 而當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)切線為與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為或滿足, 綜上, 存在圓心在原點(diǎn)的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且. 因?yàn)? 所以, , 8分 ①當(dāng)時(shí),因?yàn)樗? 所以,所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”. ②時(shí),. ③當(dāng)AB的斜率不存在時(shí), 兩個(gè)交點(diǎn)為或, 所以此時(shí), 12分 綜上,|AB |的取值范圍為即: 14分 2
3、、如圖,已知橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(2,1),平行于OM的直線l在軸上的截距為,l交橢圓于A、B兩個(gè)不同點(diǎn). (1)求橢圓的方程; (2)求m的取值范圍; (3)求證直線MA、MB與軸始終圍成一個(gè)等腰三角形. 解:(1)設(shè)橢圓方程為 則 2分 ∴橢圓方程 4分 (2)∵直線l平行于OM,且在軸上的截距為m,又 ∴l(xiāng)的方程為: 由 6分 ∵直線l與橢圓交于A、B兩個(gè)不同點(diǎn), ∴m的取值范圍是 (3)設(shè)直線MA、MB的斜率分別為k1,k2,只需證明k1+k2=
4、0即可 設(shè) 可得 8分 而 10分 ∴k1+k2=0 故直線MA、MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形. 12分 3已知橢圓:()過(guò)點(diǎn),其左、右焦點(diǎn)分別為,且 . (1)求橢圓的方程; (2)若是直線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且,則以為直徑的圓是否過(guò)定點(diǎn)?請(qǐng)說(shuō)明理由. 解:(1)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為, 則 故,可得, …………………2分 所以,…………………4分 故, 所以橢圓的方程為. ……………………………6分 (2)設(shè)的坐標(biāo)分別為,則, 又,可得,即, …………………8分 又圓的圓
5、心為半徑為, 故圓的方程為, 即, 也就是, ……………………11分 令,可得或2, 故圓必過(guò)定點(diǎn)和. ……………………13分 (另法:(1)中也可以直接將點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程來(lái)進(jìn)行求解;(2)中可利用圓C直徑的兩端點(diǎn)直接寫出圓的方程) 4、已知點(diǎn)是直角坐標(biāo)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)到直線的距離為,到點(diǎn)的距離為,且. (1)求動(dòng)點(diǎn)P所在曲線C的方程; (2)直線過(guò)點(diǎn)F且與曲線C交于不同兩點(diǎn)A、B(點(diǎn)A或B不在x軸上),分別過(guò)A、B點(diǎn)作直線的垂線,對(duì)應(yīng)的垂足分別為,試判斷點(diǎn)F與以線段為直徑的圓的位置關(guān)系(指在圓內(nèi)、圓上、圓外等情
6、況); (3)記,,(A、B、是(2)中的點(diǎn)),問(wèn)是否存在實(shí)數(shù),使成立.若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由. 進(jìn)一步思考問(wèn)題:若上述問(wèn)題中直線、點(diǎn)、曲線C:,則使等式成立的的值仍保持不變.請(qǐng)給出你的判斷 (填寫“不正確”或“正確”)(限于時(shí)間,這里不需要舉反例,或證明). 解 (1) 設(shè)動(dòng)點(diǎn)為,依據(jù)題意,有,化簡(jiǎn)得. 3分 因此,動(dòng)點(diǎn)P所在曲線C的方程是:.……………4分 (2) 點(diǎn)F在以MN為直徑的圓的外部. 理由:由題意可知,當(dāng)過(guò)點(diǎn)F的直線的斜率為0時(shí),不合題意,故可設(shè)直線:,如圖所示. 5分 聯(lián)立方程組,可化為, 則點(diǎn)的坐標(biāo)滿足.
7、 7分 又、,可得點(diǎn)、. 因,,則=.……9分 于是,為銳角,即點(diǎn)F在以MN為直徑的圓的外部. 10分 (3)依據(jù)(2)可算出,, 則 , .…… 14分 所以,,即存在實(shí)數(shù)使得結(jié)論成立. ……15分 對(duì)進(jìn)一步思考問(wèn)題的判斷:正確. ……18分 5、已知點(diǎn)是直角坐標(biāo)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)到直線(是正常數(shù))的距離為,到點(diǎn)的距離為,且1. (1)求動(dòng)點(diǎn)P所在曲線C的方程; (2)直線過(guò)點(diǎn)F且與曲線C交于不同兩點(diǎn)A、B,分別過(guò)A、B點(diǎn)作直線的垂線,對(duì)應(yīng)的垂足分別為,求證=; (3)記,,(A、B、是(2)中的點(diǎn)),,求的值. 解 (1) 設(shè)動(dòng)點(diǎn)為,依據(jù)
8、題意,有 ,化簡(jiǎn)得.……4分 因此,動(dòng)點(diǎn)P所在曲線C的方程是:. ……………6分 由題意可知,當(dāng)過(guò)點(diǎn)F的直線的斜率為0時(shí),不合題意, 故可設(shè)直線:,如圖所示. …… 8分 聯(lián)立方程組,可化為, 則點(diǎn)的坐標(biāo)滿足. 10分 又、,可得點(diǎn)、. 于是,,, 因此. 12分 (3)依據(jù)(2)可算出,, 則 , . 16分 所以,即為所求. 18分 6、已知:橢圓(),過(guò)點(diǎn),的直線傾斜角為,原點(diǎn)到該直線的距離為. (1)求橢圓的方程; (2)斜率大于零的直線過(guò)與橢圓交于,兩點(diǎn),若,求直線的方程; (3)是否存在實(shí)數(shù),直線交橢圓于,兩點(diǎn),以為直徑的圓
9、過(guò)點(diǎn)?若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由. 解:(1)由, ,得,, 所以橢圓方程是:……………………4分 (2)設(shè)EF:()代入,得, 設(shè),,由,得. 由,……………………8分 得,,(舍去),(沒舍去扣1分) 直線的方程為:即……………………10分 (3)將代入,得(*) 記,,PQ為直徑的圓過(guò),則,即,又,,得.………………14分 解得,此時(shí)(*)方程,存在,滿足題設(shè)條件.…………16分 7、已知點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)滿足條件,記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為。 (1)求的方程; (2)過(guò)作直線交曲線于兩點(diǎn),使得2,求直線的方程。 (3)若從動(dòng)點(diǎn)向圓:作兩條切線,切點(diǎn)為、,令|PC|
10、=d, 試用d來(lái)表示,并求的取值范圍。 解:(1)由,知點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn),實(shí)軸長(zhǎng)為的雙曲線 即設(shè),所以所求的的方程為 4分 (2)若k不存在,即x=2時(shí),可得A(2,),B(2,-),|AB|=2滿足題意; 5分 若k存在,可設(shè)l:y=k(x-2) 聯(lián)立, 由題意知且 6分 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則|AB|= 即 =2 k=0 即l:y=0 8分 所以直線l的方程為 x=0或y=0 9分 (3) 又 則----- 13分 在是增函數(shù), 則所求的的范圍為。
11、 16分 8、在平面直角坐標(biāo)系中,已知焦距為4的橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為,橢圓的右焦點(diǎn)為,過(guò)作一條垂直于軸的直線與橢圓相交于,若線段的長(zhǎng)為。 (1)求橢圓的方程; (2)設(shè)是直線上的點(diǎn),直線與橢圓分別交于點(diǎn),求證:直線 必過(guò)軸上的一定點(diǎn),并求出此定點(diǎn)的坐標(biāo); (3)實(shí)際上,第(2)小題的結(jié)論可以推廣到任意的橢圓、雙曲線以及拋物線,請(qǐng)你對(duì)拋物線寫出一個(gè)更一般的結(jié)論,并加以證明。 A B Q O M N x y 9 (1)依題意,橢圓過(guò)點(diǎn),故,解得?!?分) 橢圓的方程為。…
12、………(4分) (2)設(shè),直線的方程為,……………(5分) 代入橢圓方程,得, ……(6分) 設(shè),則,…(7分) ,故點(diǎn)的坐標(biāo)為?!?分) 同理,直線的方程為,代入橢圓方程,得, 設(shè),則,。 可得點(diǎn)的坐標(biāo)為?!?0分) ①若時(shí),直線的方程為,與軸交于點(diǎn); ②若,直線的方程為, 令,解得。綜上所述,直線必過(guò)軸上的定點(diǎn)?!?2分) (3)結(jié)論:已知拋物線的頂點(diǎn)為,為直線上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作軸的平行線與拋物線交于點(diǎn),直線與拋物線交于點(diǎn),則直線必過(guò)定點(diǎn)?!?4分) 證明:設(shè),則, P O M
13、 N x y 直線的方程為,代入,得,可求得?!?6分) 直線的方程為, 令,得,即直線必過(guò)定點(diǎn)?!?8分) 9、已知橢圓中心為,右頂點(diǎn)為,過(guò)定點(diǎn)作直線交橢圓于、兩點(diǎn). (1)若直線與軸垂直,求三角形面積的最大值; (2)若,直線的斜率為,求證:; (3)直線和的斜率的乘積是否為非零常數(shù)?請(qǐng)說(shuō)明理由. 解:設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為. (1)把代入可得:, (2分) 則,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào) (4分) (2)由得,,(6分) 所以 (9分) (3)直線和的斜率的乘積是一個(gè)非零常數(shù).
14、 (11分) 當(dāng)直線與軸不垂直時(shí),可設(shè)直線方程為:, 由消去整理得 則① 又 ② (13分) 所以(15分) 當(dāng)直線與軸垂直時(shí),由得兩交點(diǎn), 顯然.所以直線和的斜率的乘積是一個(gè)非零常數(shù).(16分) 10、定義:由橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的一個(gè)頂點(diǎn)組成的三角形稱為該橢圓的“特征三角形”。如果兩個(gè)橢圓的“特征三角形”是相似的,則稱這兩個(gè)橢圓是“相似橢圓”,并將三角形的相似比稱為橢圓的相似比。已知橢圓。 若橢圓,判斷與是否相似?如果相似,求出與的相似比;如果不相似, 請(qǐng)說(shuō)明理由; 寫出與橢圓相似且短半軸長(zhǎng)為的橢圓的方程;若在橢圓上存在兩點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱,求實(shí)數(shù)的
15、取值范圍? 如圖:直線與兩個(gè)“相似橢圓”和分別交于點(diǎn)和點(diǎn),證明: 23.解:(1)橢圓與相似。-------------------2分 因?yàn)闄E圓的特征三角形是腰長(zhǎng)為4,底邊長(zhǎng)為的等腰三角形,而橢圓的特征三角形是腰長(zhǎng)為2,底邊長(zhǎng)為的等腰三角形,因此兩個(gè)等腰三角形相似,且相似比為-------------------4分 (2)橢圓的方程為:-------------------6分 設(shè),點(diǎn),中點(diǎn)為, 則,所以-------------------8分 則-------------------9分 因?yàn)橹悬c(diǎn)在直線上,所以有,-------------------10分
16、即直線的方程為:, 由題意可知,直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn), 即方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解, 所以,即-------------------12分 (3)證明: ①直線與軸垂直時(shí),易得線段AB與CD的中點(diǎn)重合,所以;-------------------14分 ②直線不與軸垂直時(shí),設(shè)直線的方程為:,, 線段AB的中點(diǎn), -------------------15分 線段AB的中點(diǎn)為-------------------16分 同理可得線段CD的中點(diǎn)為,-------------------17分 即線段AB與CD的中點(diǎn)重合,所以-------------------18 內(nèi)容總結(jié) (1)名校專題----圓錐曲線培優(yōu)訓(xùn)練5 1、設(shè)橢圓E: (a,b>0)過(guò)M(2,) ,N(,1)兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn). (Ⅰ)求橢圓E的方程 (2)(Ⅱ)是否存在圓心在原點(diǎn)的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B, 且 (3)如果相似,求出與的相似比 (4)如圖:直線與兩個(gè)“相似橢圓”和分別交于點(diǎn)和點(diǎn),證明: 23.解:(1)橢圓與相似
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