x高考數(shù)學(xué)(北師大版理)一輪復(fù)習(xí)課時規(guī)范訓(xùn)練平面向量的數(shù)量積及平面向量的應(yīng)用
《x高考數(shù)學(xué)(北師大版理)一輪復(fù)習(xí)課時規(guī)范訓(xùn)練平面向量的數(shù)量積及平面向量的應(yīng)用》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《x高考數(shù)學(xué)(北師大版理)一輪復(fù)習(xí)課時規(guī)范訓(xùn)練平面向量的數(shù)量積及平面向量的應(yīng)用(55頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、 【A級】 基礎(chǔ)訓(xùn)練 1.(x·高考重慶卷)設(shè)x∈R,向量a=(x,1),b=(1,-2),且a⊥b,則|a+b|=( ) A. B. C.2 50.10 解析:∵a⊥b,∴x-2=0,∴x=2.∴|a+b|====.故選B. 答案:B 2.(x·天門模擬)已知非零向量a,b,c滿足a+b+c=0.向量a,b的夾角為60°,且|b|=|a|,則向量a與c的夾角為( ) A.60° B.30° C.x0° D.150° 解析:由a+b+c=0得c=-a-b, ∴|c|2=|a+b|2=|a|2+|b|2+2|a||b|cos 60°=3|a|2,
2、 ∴|c|=|a|, 又a·c=a·(-a-b)=-|a|2-a·b =-|a|2-|a||b|cos 60°=-|a|2. 設(shè)a與c的夾角為θ, 則cos θ===-, ∵0°≤θ≤180°,∴θ=150°. 答案:D 3.(x·高考湖北卷)已知點A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),則向量在方向上的投影為( ) A. B. C.- D.- 解析:首先求出,的坐標(biāo),然后根據(jù)投影的定義進(jìn)行計算. 由已知得=(2,1),=(5,5),因此在方向上的投影為==. 答案:A 4.(x·高考全國新課標(biāo)卷)已知兩個單位向量a,b的夾角為60°,c=
3、ta+(1-t)b,若b·c=0,則t=________. 解析:直接利用平面向量的數(shù)量積運算求解. |a|=|b|=1,〈a,b〉=60°. ∵c=ta+(1-t)b, ∴b·c=ta·b+(1-t)b2=t×1×1×+(1-t)×1 =+1-t=1-. ∵b·c=0,∴1-=0,∴t=2. 答案:2 5.已知向量a,b滿足(a+2b)·(a-b)=-6,且|a|=1,|b|=2,則a與b的夾角為________. 解析:∵(a+2b)·(a-b)=-6,∴a2+a·b-2b2=-6,∴1+a·b-2×4=-6,∴a·b=1.cos〈a,b〉===,∴〈a,b〉=. 答案
4、: 6.(x·x質(zhì)檢)已知非零向量,和滿足·=0,且·=,則△ABC為________三角形. 解析:∵·=0,∴cos B=cos C. ∴△ABC為等腰三角形. 又∵·=,∴cos〈·〉=. ∴〈·〉=∠ACB=60°,∴△ABC為等邊三角形. 答案:等邊 7.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61. (1)求a與b的夾角θ; (2)求|a+b|和|a-b|. 解:(1)(2a-3b)·(2a+b)=61,解得a·b=-6. ∴cos θ===-,又0≤θ≤π,∴θ=. (2)|a+b|2=a2+2a·b+b2=13,∴|a+b|=. |a
5、-b|2=a2-2a·b+b2=37.∴|a-b|=. 8.已知△ABC的角A、B、C所對的邊分別是a、b、c,設(shè)向量m=(a,b),n=(sin B,sin A),p= (b-2,a-2). (1)若m∥n,求證:△ABC為等腰三角形; (2)若m⊥p邊長c=2,角C=,求△ABC的面積. 解:(1)證明:∵m∥n,∴asin A=bsin B, 即a·=b·,其中R是三角形ABC外接圓半徑, ∴a=b.∴△ABC為等腰三角形. (2)由題意可知m·p=0,即a (b-2)+b(a-2)=0. ∴a+b=ab. 由余弦定理可知,4=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab,
6、 即(ab)2-3ab-4=0,∴ab=4(舍去ab=-1), ∴S=absin C=×4×sin=. 【B級】 能力提升 1.(x·廈門質(zhì)檢)已知點O,N,P在△ABC所在的平面內(nèi),且||=||=||,++=0,·=·=·,則點O,N,P依次是△ABC的( ) A.重心、外心、垂心 B.重心、外心、內(nèi)心 C.外心、重心、垂心 D.外心、重心、內(nèi)心 解析:因為||=||=||,所以點O到三角形的三個頂點的距離相等,所以O(shè)為三角形ABC的外心;由++=0,得+=-=,由中線的性質(zhì)可知點N在三角形AB邊的中線上,同理可得點N在其他邊的中線上,所以點N為三角形ABC的重心;由·=·
7、=·,得·-·=·=0,則點P在AC邊的垂線上,同理可得點P在其他邊的垂線上,所以點P為三角形ABC的垂心. 答案:C 2.(x·高考江西卷)在直角三角形ABC中,點D是斜邊AB的中點,點P為線段CD的中點,則=( ) A.2 B.4 C.5 D.10 解析:解法一:以C為原點,CA,CB所在直線為x,y軸建立直角坐標(biāo)系.設(shè)A(a,0),B(0,b),則D,P.從而|PA|2+|PB|2=+=(a2+b2)=10|PC|2,故選D. 解法二:因為-=,且+=2,兩式平方相加得22+22=2+42=42+42=202,故選D. 解法三:由平行四邊形性質(zhì)得2(2+2)=2+(2
8、)2=42+42=202,故選D.
答案:D
3.(x·高考x卷)對任意兩個非零的平面向量α和β,定義α·β=.若兩個非零的平面向量a,b滿足a與b的夾角θ∈,且a·b和b·a都在集合中,則a·b=( )
A. B.
C.1 D.
解析:a·b==cos θ=cos θ,b·a=cos θ,因為|a|>0,|b|>0,0 9、B=,BC=2,點E為BC的中點,點F在邊CD上,若·=,則·的值是________.
解析:解法一:以A為原點,AB為x軸,AD為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)F(x,2),∴=(x,2),=(,0),
∴·=x=,∴F(1,2),∴·=.
解法二:·=||||cos∠BAF=,
∴||cos∠BAF=1,即||=1,∴||=-1,
·=(+)·(+)=·+·+·+·=·+·
=×(-1)×(-1)+1×2×1=.
答案:
5.(x·江西省七校聯(lián)考)已知a=(3,2),b=(2,-1),若向量λa+b與a+λb的夾角為銳角,則實數(shù)λ的取值范圍是________.
解析:依題 10、意,(λa+b)·(a+λb)=λa2+λb2+(λ2+1)a·b>0,即4λ2+18λ+4>0,由此解得λ>或λ<.注意到當(dāng)λa+b與a+λb同向共線時,λ=1,(λa+b)·(a+λb)>0.因此,所求的實數(shù)λ的取值范圍是λ>或λ<且λ≠1.
答案:λ>或λ<且λ≠1
6.(x·高考x卷)已知向量與的夾角為x0°,且||=3,||=2.若=λ+,且⊥,則實數(shù)λ的值為________.
解析:把轉(zhuǎn)化為-,再通過·=0求解.
∵⊥,∴·=0.
又=λ+,=-,
∴(λ+)(-)=0,
即(λ-1)·-λ2+2=0,
∴(λ-1)||||cos x0°-9λ+4=0.
∴(λ 11、-1)×3×2×-9λ+4=0.解得λ=.
答案:
7.(創(chuàng)新題)已知向量a=,b=
,c=(1,-1),其中x∈.
(1)求證:(a+b)⊥(a-b);
(2)設(shè)函數(shù)f(x)=(|a+c|2-3)(|b+c|2-3),求f(x)的最大值和最小值.
解:(1)證明:a+b=,
a-b=,
(a+b)·(a-b)=2-2+2-2=0.
∴(a+b)⊥(a-b).
(2)∵a+c=,
b+c=.
|a+c|2-3=2+2-3
=2cosx-2sinx.
|b+c|2-3=2+2-3
=2cos+2sin.
∴f(x)=(|a+c|2-3)(|b+c|2-3)
=
12、
=4-sinx·cos-sin=4(cos 2x-sin x)
=4(1-2sin2x-sin x)=4(-2sin2x-sin x+1),
∴當(dāng)sin x=-時,y最大值=4=,
∴當(dāng)sin x=1時,y最小值=4(-2×1-1+1)=-8.
【A級】 基礎(chǔ)訓(xùn)練
1.(x·高考x卷)如圖,在復(fù)平面內(nèi),點A表示復(fù)數(shù)z,則圖中表示z的共軛復(fù)數(shù)的點是( )
A.A B.B
C.C D.D
解析:根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何表示可求得.
設(shè)z=a+bi(a,b∈R),且a<0,b>0,則z的共軛復(fù)數(shù)為a-bi,其中a<0 13、,-b<0,故應(yīng)為B點.
答案:B
2.若(2+i)·z=-i,則復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點在復(fù)平面內(nèi)的( )
A.x象限 B.x象限
C.x象限 D.第四象限
解析:由z===--i可知,復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點在復(fù)平面內(nèi)的x象限.
答案:C
3.(x·高考x卷)設(shè)z1,z2是復(fù)數(shù),則下列命題中的假命題是( )
A.若|z1-z2|=0,則1=2
B.若z1=2,則1=z2
C.若|z1|=|z2|,則z1·1=z2·2
D.若|z1|=|z2|,則z=z
解析:結(jié)合復(fù)數(shù)的模、共軛復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)的運算等判斷求解.
A,|z1-z2|=0?z1-z2=0?z1=z2?1=2,真命題;
14、
B,z1=2?1=2=z2,真命題;
C,|z1|=|z2|?|z1|2?|z2|2?z1·1=z2·2,真命題;
D,當(dāng)|z1|=|z2|時,可取z1=1,z2=i,顯然z=1,z=-1,即z≠z,假命題.
答案:D
4.(x·高考x卷)已知a,b∈R,i是虛數(shù)單位.若(a+i)·(1+i)=bi,則a+bi=________.
解析:由復(fù)數(shù)相等的定義求得a,b的值,即得復(fù)數(shù).
由(a+i)(1+i)=bi可得(a-1)+(a+1)i=bi,因此a-1=0,a+1=b,解得a=1,b=2,故a+bi=1+2i.
答案:1+2i
5.(x·高考x卷)已知復(fù)數(shù)z=(3+i)2( 15、i為虛數(shù)單位),則|z|=________.
解析:z=(3+i)2=9+6i-1=8+6i,∴|z|==10.
答案:10
6.(x·高考x卷)設(shè)a,b∈R,a+bi=(i為虛數(shù)單位),則a+b的值為________.
解析:因為a+bi===5+3i,
所以a=5,b=3,∴a+b=8.
答案:8
7.計算:
(1);
(2);
(3)+;
(4).
解:(1)==-1-3i.
(2)=
===+i.
(3)+=+
=+=-1.
(4)=
==
=--i.
8.實數(shù)m取什么值時,復(fù)數(shù)z=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i
(1)與復(fù)數(shù)2-x 16、i相等;
(2)與復(fù)數(shù)x+16i互為共軛復(fù)數(shù);
(3)對應(yīng)的點在x軸上方;
(4)對應(yīng)的點在直線x+y+5=0上.
解:(1)根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件得
解之得m=-1.
(2)根據(jù)互為共軛復(fù)數(shù)的定義得
解之得m=1.
(3)根據(jù)復(fù)數(shù)z對應(yīng)點在x軸上方可得
m2-2m-15>0,
解之得m<-3或m>5.
(4)復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(m2+5m+6,m2-2m-15)在直線x+y+5=0上,即(m2+5m+6)+(m2-2m-15)+5=0,
解得:m=或m=.
【B級】 能力提升
1.(x·包頭模擬)下面命題:
(1)0比-i大;
(2)兩個復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù), 17、當(dāng)且僅當(dāng)其和為實數(shù)時成立;
(3)x+yi=1+i的充要條件為x=y(tǒng)=1;
(4)如果讓實數(shù)a與ai對應(yīng),那么實數(shù)集與純虛數(shù)集一一對應(yīng).
其中正確命題的個數(shù)是( )
A.0 B.1
C.2 D.3
解析:(1)中實數(shù)與虛數(shù)不能比較大小;
(2)兩個復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù)時其和為實數(shù),但兩個復(fù)數(shù)的和為實數(shù)時這兩個復(fù)數(shù)不一定是共軛復(fù)數(shù);
(3)x+yi=1+i的充要條件為x=y(tǒng)=1是錯誤的,因為x,y未必是實數(shù);
(4)當(dāng)a=0時,沒有純虛數(shù)和它對應(yīng).
答案:A
2.(x·銀川模擬)已知x∈R,i為虛數(shù)單位,若(1-2i)(x+i)=4-3i,則x的值等于( )
A.-6 18、 B.-2
C.2 D.6
解析:依題意(1-2i)(x+i)=x+2+(1-2x)i=4-3i,則解得x=2,故選C.
答案:C
3.虛數(shù)(x-2)+yi,其中x、y均為實數(shù),當(dāng)此虛數(shù)的模為1時,的取值范圍是( )
A. B.∪
C.[-,] D.[-,0)∪(0, ]
解析:∵設(shè)k=,
則k為過圓(x-2)2+y2=1上點及原點的直線的斜率,如圖,設(shè)圓(x-2)2+y2=1的圓心過M,過原點作圓M的切線OA,則sin ∠AOM=.
∴∠AOM=.∴k≤tan=.
又∵y≠0,∴k≠0.由對稱性可知選B.
答案:B
4.1+i+i2+i3+…+i2 01 19、5=________.
解析:原式===0.
答案:0
5.(x·長治模擬)在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)1+i與-1+3i分別對應(yīng)向量和,其中O為坐標(biāo)原點,則||=________.
解析:由題意知A(1,1),B(-1,3),
故||==2.
答案:2
6. (x·九江模擬)設(shè)z1是復(fù)數(shù),z2=z1-i1(其中1表示z1的共軛復(fù)數(shù)),已知z2的實部是-1,則z2的虛部為________.
解析:設(shè)z1=x+yi(x,y∈R),則z2=x+yi-i(x-yi)
=(x-y)+(y-x)i,
故有x-y=-1,∴y-x=1.
答案:1
7.(創(chuàng)新題)設(shè)i為虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)z和ω滿足 20、zω+2iz-2iω+1=0.
(1)若z和ω滿足-z=2i,求z和ω的值;
(2)求證:如果|z|=,那么|ω-4i|的值是一個常數(shù),并求這個常數(shù).
解:(1)∵-z=2i,∴z=-2i.
代入zω+2iz-2iω+1=0,
得(-2i)(ω+2i)-2iω+1=0,∴ω-4iω+2i+5=0.
設(shè)ω=x+yi(x,y∈R),則上式可變?yōu)?
(x+yi)(x-yi)-4i(x+yi)+2i(x-yi)+5=0.
∴x2+y2+6y+5-2xi=0.
∴∴或
∴ω=-i,z=-i或ω=-5i,z=3i.
(2)證明:由zω+2iz-2iω+1=0,得
z(ω+2i)=2i 21、ω-1,∴|z||ω+2i|=|2iω-1|.①
設(shè)ω=x+yi(x,y∈R),則|ω+2i|=|x+(y+2)i|=
=.
|2iω-1|=|-(2y+1)+2xi|
==.
又|z|=,
∴①可化為3(x2+y2+4y+4)=4x2+4y2+4y+1.
∴x2+y2-8y=x.
∴|ω-4i|=|x+(y-4)i|===3.
∴|ω-4i|的值是常數(shù),且等于3.
【A級】 基礎(chǔ)訓(xùn)練
1.(x·高考大綱全國卷)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=1,Sn=2an+1,則Sn=( )
A.2n-1 B 22、.n-1
C.n-1 D.
解析:當(dāng)n=1時,a1=1,
當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=2an+1-2an,
解得3an=2an+1,∴=,
∴an=,
∴Sn=1+=n-1.
答案:B
2.?dāng)?shù)列{an}的前n項積為n2,那么當(dāng)n≥2時,{an}的通項公式為( )
A.a(chǎn)n=2n-1 B.a(chǎn)n=n2
C.a(chǎn)n= D.a(chǎn)n=
解析:設(shè)數(shù)列{an}的前n項積為Tn,則Tn=n2,當(dāng)n≥2時,an==.
答案:D
3.(x·西安模擬)已知Sn是數(shù)列{an}的前n項和,Sn+Sn+1=an+1(n∈N+),則此數(shù)列是( )
A.遞增數(shù)列 B.遞減數(shù) 23、列
C.常數(shù)列 D.?dāng)[動數(shù)列
解析:∵Sn+Sn+1=an+1,∴當(dāng)n≥2時,Sn-1+Sn=an,
兩式相減得an+an+1=an+1-an,∴an=0(n≥2).
當(dāng)n=1時,a1+(a1+a2)=a2,∴a1=0,
∴an=0(n∈N+),故選C.
答案:C
4.(創(chuàng)新題) 數(shù)學(xué)拓展課上,老師定義了一種運算“*”,對于n∈N*,滿足以下運算性質(zhì):(1).2*2=1,(2).(2n+2)*2=3(2n*2),則2n*2用含n的代數(shù)式表示為 :
解析:根據(jù):①2※2=1;②(2n+2)※2=3(2n※2),判斷數(shù)列{(2n※2)}是等比數(shù)列,即可求得其通 24、項公式.∵2※2=1,(2n+2)※2=3(2n※2),
∴[2(n+1)※2]÷(2n※2)=3
∴{ (2n※2)}是以1為首項,3為公比的等比數(shù)列,
∴第n項是:3n-1.
答案:3n-1
5.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=2n-3,則數(shù)列{an}的通項公式為________.
解析:當(dāng)n=1時,a1=S1=21-3=-1,
當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=2n-2n-1=2n-1,
∴an=.
答案:an=
6.我們可以利用數(shù)列{an}的遞推公式an=(n∈N+)求出這個數(shù)列各項的值,使得這個數(shù)列中的每一項都是奇數(shù),則a24+a25=________;研究發(fā)現(xiàn), 25、該數(shù)列中的奇數(shù)都會重復(fù)出現(xiàn),那么第8個5是該數(shù)列的第________項.
解析:a24+a25=ax+25=a6+25=a3+25=3+25=28;
5=a5=a10=a20=a40=a80=a160=a320=a640.
答案:28 640
7.(x·漢中調(diào)研)已知數(shù)列{an}中,an=1+(n∈N+,a∈R,且a≠0).
(1)若a=-7,求數(shù)列{an}中的最大項和最小項的值;
(2)若對任意的n∈N+,都有an≤a6成立,求a的取值范圍.
解析:(1)∵an=1+(n∈N+,a∈R,且a≠0),a=-7,
∴an=1+.
結(jié)合函數(shù)f(x=1+的單調(diào)性.
可知1>a1>
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