數(shù)學(xué) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用章末提升 新人教B版選修1-1

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1、第三章1 知識(shí)網(wǎng)絡(luò) 系統(tǒng)盤點(diǎn)，提煉主干2 要點(diǎn)歸納 整合要點(diǎn)，詮釋疑點(diǎn)3 題型研修 突破重點(diǎn)，提升能力章末復(fù)習(xí)提升2.曲線的切線方程利用導(dǎo)數(shù)求曲線過(guò)點(diǎn)P的切線方程時(shí)應(yīng)注意：(1)判斷P點(diǎn)是否在曲線上；(2)如果曲線yf(x)在P(x0，f(x0)處的切線平行于y軸(此時(shí)導(dǎo)數(shù)不存在)，可得方程為xx0；P點(diǎn)坐標(biāo)適合切線方程，P點(diǎn)處的切線斜率為f(x0).3.利用基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和四則運(yùn)算法則求導(dǎo)數(shù)，熟記基本求導(dǎo)公式，熟練運(yùn)用法則是關(guān)鍵，有時(shí)先化簡(jiǎn)再求導(dǎo)，會(huì)給解題帶來(lái)方便.因此觀察式子的特點(diǎn)，對(duì)式子進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃问莾?yōu)化解題過(guò)程的關(guān)鍵.4.判斷函數(shù)的單調(diào)性(1)在利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，

2、首先要確定函數(shù)的定義域，解決問(wèn)題的過(guò)程中，只能在函數(shù)的定義域內(nèi)，通過(guò)討論導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)注意在某一區(qū)間內(nèi)f(x)0(或f(x)0)是函數(shù)f(x)在該區(qū)間上為增(或減)函數(shù)的充分不必要條件.5.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值要注意(1)極值是一個(gè)局部概念，是僅對(duì)某一點(diǎn)的左右兩側(cè)鄰近區(qū)域而言的.(2)連續(xù)函數(shù)f(x)在其定義域上的極值點(diǎn)可能不止一個(gè)，也可能沒(méi)有極值點(diǎn)，函數(shù)的極大值與極小值沒(méi)有必然的大小聯(lián)系，函數(shù)的一個(gè)極小值也不一定比它的一個(gè)極大值小.(3)可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定是導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，但函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，不一定是該函數(shù)的極值點(diǎn).因此導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)僅是該點(diǎn)為極值點(diǎn)的必要條件，其

3、充要條件是加上這點(diǎn)兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號(hào).6.求函數(shù)的最大值與最小值(1)函數(shù)的最大值與最小值：在閉區(qū)間a，b上連續(xù)的函數(shù) f(x)，在a，b上必有最大值與最小值；但在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)連續(xù)的函數(shù)f(x)不一定有最大值與最小值，例如：f(x)x3，x(1,1).(2)求函數(shù)最值的步驟一般地，求函數(shù)yf(x)在a，b上最大值與最小值的步驟如下：求函數(shù)yf(x)在(a，b)內(nèi)的極值及端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)，f(b)；將函數(shù)yf(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值.7.應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題，關(guān)鍵在于建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型(函數(shù)關(guān)系)，如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只

4、有一個(gè)極值點(diǎn)x0，則 f(x0)是函數(shù)的最值.題型一應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決與切線相關(guān)的問(wèn)題根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，導(dǎo)數(shù)就是相應(yīng)切線的斜率，從而就可以應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決一些與切線相關(guān)的問(wèn)題.例例1已知函數(shù) f(x)xaln x(aR).(1)當(dāng)a2時(shí)，求曲線yf(x)在點(diǎn) A(1，f(1)處的切線方程；f(1)1，f(1)1, yf(x)在點(diǎn)A(1，f(1)處的切線方程為y1(x1), 即xy20.(2)求函數(shù)f(x)的極值.當(dāng)a0時(shí)，f(x)0，函數(shù)f(x)為(0，)上的增函數(shù)，函數(shù)f(x)無(wú)極值； 當(dāng)a0時(shí)，由f(x)0，解得xa; x(0，a)時(shí)，f(x)0 f(x)在xa處取得極小值，且極小值為f(a)aa

5、ln a，無(wú)極大值.綜上，當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)無(wú)極值；當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)在xa處取得極小值aaln a，無(wú)極大值.跟蹤演練跟蹤演練1點(diǎn)P(2,0)是函數(shù) f(x)x3ax與 g(x)bx2c的圖象的一個(gè)公共點(diǎn)，且兩條曲線在點(diǎn)P處有相同的切線，求a，b，c的值.解解因?yàn)辄c(diǎn)P(2,0)是函數(shù) f(x)x3ax與g(x)bx2c的圖象的一個(gè)公共點(diǎn)，所以232a04bc0由得a4.所以f(x)x34x.又因?yàn)閮蓷l曲線在點(diǎn)P處有相同的切線，所以 f(2)g(2)，而由 f(x)3x24得到f(2)8，由g(x)2bx得到g(2)4b，所以84b，即b2，代入得到c8.綜上所述，a4，b2，c8.題

6、型二應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間在區(qū)間(a，b)內(nèi)，如果 f(x)0，那么函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增；在區(qū)間(a，b)內(nèi)，如果 f(x)0，那么函數(shù) yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)單調(diào)遞減.例例2已知函數(shù) f(x)x a(2ln x)，a0.討論f(x)的單調(diào)性.解解由題知，f(x)的定義域是(0，)，設(shè) g(x)x2ax2，二次方程g(x)0的判別式 a28.當(dāng)x變化時(shí)，f(x)、f(x)的變化情況如下表：x(0，x1)x1(x1，x2)x2(x2，)f(x)00f(x)極大值極小值跟蹤演練跟蹤演練2求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：(1)f(x)(x3)ex，x(0，)；解解 f(x)(x3)

7、ex(x3)(ex)(x2)ex，令f(x)0，解得x2，又x(0，)，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間(2，)，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間(0,2)，當(dāng)ax2，當(dāng)a0時(shí)，f(x)3x20，函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間為(，)，即f(x)在R上是遞增的.a0時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，).題型三利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值1.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的一般步驟(1)確定函數(shù)f(x)的定義域；(2)解方程f(x)0的根；(3)檢驗(yàn)f(x)0的根的兩側(cè)f(x)的符號(hào).若左正右負(fù)，則f(x)在此根處取得極大值；若左負(fù)右正，則f(x)在此根處取得極小值；否則，此根不是f(x)的極值點(diǎn).2.求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a，b上的最大值、

8、最小值的方法與步驟(1)求f(x)在(a，b)內(nèi)的極值；(2)將(1)求得的極值與f(a)、f(b)相比較，其中最大的一個(gè)值為最大值，最小的一個(gè)值為最小值.特別地，當(dāng)f(x)在a，b上單調(diào)時(shí)，其最小值、最大值在區(qū)間端點(diǎn)取得；當(dāng)f(x)在(a，b)內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，若在這一點(diǎn)處 f(x)有極大(或極小)值，則可以斷定f(x)在該點(diǎn)處取得最大(最小)值， 這里(a，b)也可以是(，).因?yàn)閒(x)的定義域是(0，)，所以當(dāng)x(0,2)時(shí)，f(x)0；當(dāng)x(2，)，f(x)0，所以當(dāng)a4時(shí)，x2是一個(gè)極小值點(diǎn)，則a4.(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；所以當(dāng)a0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，).所以

9、g(x)在x(1，)上為增函數(shù)，跟蹤演練跟蹤演練3已知函數(shù)f(x)x3ax2b的圖象上一點(diǎn)P(1,0)，且在點(diǎn)P處的切線與直線3xy0平行.(1)求函數(shù)f(x)的解析式；解解因?yàn)閒(x)3x22ax，曲線在P(1,0)處的切線斜率為：f(1)32a，即32a3，a3.又函數(shù)過(guò)(1,0)點(diǎn)，即2b0，b2.所以a3，b2，f(x)x33x22.(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間0，t(0t3)上的最大值和最小值；解解由f(x)x33x22得，f(x)3x26x.由f(x)0得，x0或x2.當(dāng)0t2時(shí)，在區(qū)間(0，t)上 f(x)0，f(x)在0，t上是減函數(shù)，所以f(x)maxf(0)2，f(x)min

10、f(t)t33t22.當(dāng)2t3時(shí)，當(dāng)x變化時(shí)，f(x)、f(x)的變化情況如下表：x0(0,2)2(2，t)tf(x) 0 f(x)22t33t22f(x)minf(2)2，f(x)max為f(0)與f(t)中較大的一個(gè).又f(t)f(0)t33t2t2(t3)0.所以 f(x)maxf(0)2.綜上可知，在區(qū)間0，t(0t3)上f(x)max2，(3)在(1)的結(jié)論下，關(guān)于x的方程 f(x)c在區(qū)間1,3上恰有兩個(gè)相異的實(shí)根，求實(shí)數(shù)c的取值范圍.解解令g(x)f(x)cx33x22c，g(x)3x26x3x(x2).在x1,2)上，g(x)0.g(x)0在1,3上恰有兩個(gè)相異的實(shí)根，解得2c

11、0.即c的取值范圍為(2,0.題型四導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、不等式的綜合應(yīng)用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)是高考的必考內(nèi)容，也是高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn).考題利用導(dǎo)數(shù)作為工具，考查求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、函數(shù)的極值與最值，參數(shù)的取值范圍等問(wèn)題，若以選擇題、填空題出現(xiàn)，以中低檔題為主；若以解答題形式出現(xiàn)，則難度以中檔以上為主，有時(shí)也以壓軸題的形式出現(xiàn).考查中常滲透函數(shù)、不等式等有關(guān)知識(shí)，綜合性較強(qiáng).當(dāng)x變化時(shí)，f(x)、f(x)的變化情況如下表：x(，a)a(a,3a)3a(3a，)f(x)00f(x)極小值極大值f(x)在(，a)和(3a，)上是減函數(shù)，在(a,3a)上是增函數(shù).當(dāng)xa時(shí)，f(x)取得極小值，當(dāng)x3a時(shí)，f(x)取得

12、極大值，f(x)極大值f(3a)b.(2)若當(dāng)xa1，a2時(shí)，恒有|f(x)|a，試確定a的取值范圍；解解 f(x)x24ax3a2，其對(duì)稱軸為x2a.因?yàn)?a1，所以2aa1.所以 f(x)在區(qū)間a1，a2上是減函數(shù).當(dāng)xa1時(shí)，f(x)取得最大值，f(a1)2a1；當(dāng)xa2時(shí)，f(x)取得最小值，f(a2)4a4.又因?yàn)?a1，f(x)0在1,3上恒有兩個(gè)相異實(shí)根，即f(x)在(1,2)，(2,3)上各有一個(gè)實(shí)根，則f(x)x24.因?yàn)閤2,1，所以 f(x)0，即函數(shù)f(x)在區(qū)間2,1上單調(diào)遞減.課堂小結(jié)1.函數(shù)中求參數(shù)的取值范圍問(wèn)題，可以有兩種類型：一是已知函數(shù)單調(diào)性(或極值)，求參數(shù)范圍；二是已知函數(shù)最值(或恒成立)等性質(zhì)，求參數(shù)范圍.這兩種類型從實(shí)質(zhì)上講，可以統(tǒng)一為：已知函數(shù)值的變化規(guī)律，探求其參數(shù)變化范圍.2.在解決問(wèn)題的過(guò)程中要處理好等號(hào)的問(wèn)題：(1)注意定義域；(2)函數(shù)在某區(qū)間上遞增(或遞減)的充要條件是：f(x)0(或f(x)0)，且f(x)不恒為零；(3)與函數(shù)最值有關(guān)問(wèn)題要注意最值能否取得的情況，一般我們可以研究臨界值取舍即可.