《數學第二章 函數 2.8 函數模型及其應用》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《數學第二章 函數 2.8 函數模型及其應用（12頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。
1、2.8 函數模型及其應用高考數學高考數學考點函數模型及其綜合應用考點函數模型及其綜合應用1.指數函數、對數函數以及冪函數的變化特征指數函數、對數函數、冪函數的增長速度的比較:一般地,在區(qū)間(0,+)上,盡管函數y=ax(a1),y=logax(a1)和y=xn(n0)都是增函數,但是它們的增長速度不同,而且不在同一個“檔次”上.隨著x的增大,y=ax(a1)的增長速度越來越快,會超過并遠遠大于y=xn(n0)的增長速度;而y=logax(a1)的增長速度會越來越慢.因此,總會存在一個x0,當xx0時,有l(wèi)ogaxxn1,n0).2.函數模型及其應用(1)常見的函數模型有一次函數、二次函數、指數
2、函數、對數函數模型.知識清單(2)函數模型的應用實例的基本類型:給定函數模型解決實際問題;建立確定性的函數模型解決實際問題;建立擬合函數模型解決實際問題.(3)函數建模的基本流程 建立確定性函數模型解決實際問題建立確定性函數模型解決實際問題1.在現實生活中,有很多問題的兩變量之間的關系是一次函數關系,對這類問題,可以構建一次函數模型,其增長特點是直線上升(自變量的系數大于0)或直線下降(自變量的系數小于0).有些問題的兩變量之間是二次函數關系,如面積問題、利潤問題、產量問題等.對這些問題,可以構建二次函數模型,利用二次函數圖象與單調性解決.2.當兩變量之間的關系不能用同一個關系式表示,而是由幾
3、個不同的關系式構成時,可以構造分段函數模型,先將其作為幾個不同問題,將各段的變化規(guī)律找出來,再將其合在一起,要注意各段自變量的范圍,特別是端點值.3.指數函數模型常與人口增長、銀行利率、細胞分裂等相結合進行考方法技巧方法1查;而對數函數模型常與價格指數、環(huán)境承載力等有一定的聯系.應用指數函數模型或對數函數模型時,關鍵是對模型的判定,從而建立形如y=abx+c+d或y=alogb(cx+d)(a0,b0,且b1,c0)的函數模型,再利用指數函數或對數函數的性質及函數圖象來處理.例1 (2016湖北荊州中學質檢,9)我們處在一個有聲世界里,不同場合,人們對聲音的音量會有不同要求.音量大小的單位是分
4、貝(dB),對于一個強度為I的聲波,其音量的大小可由如下公式計算:=10lg(其中I0是人耳能聽到聲音的最低聲波強度),則70 dB的聲音的聲波強度I1是60 dB的聲音的聲波強度I2的()A.倍 B.10倍 C.10倍 D.ln倍0II767676C解析由=10lg 得I=I01,所以I1=I0107,I2=I0106,所以=10,所以70 dB的聲音的聲波強度I1是60 dB的聲音的聲波強度I2的10倍,故選C. 0II10012II例2 (2017江蘇南京、鹽城一模,18)如圖所示,某街道居委會擬在EF地段的居民樓正南方向的空白地段AE上建一個活動中心,其中AE=30米.活動中心東西走向
5、,與居民樓平行. 從東向西看活動中心的截面圖的下半部分是長方形ABCD,上半部分是以DC為直徑的半圓. 為了保證居民樓住戶的采光要求,活動中心在與半圓相切的太陽光線照射下落在居民樓上的影長GE不超過2.5米,其中該太陽光線與水平線的夾角滿足tan =.(1)若設計AB=18米,AD=6米,問能否保證題干中的采光要求?(2)在保證題干中的采光要求的前提下,如何設計AB與AD的長度,可使得活動中心的截面面積最大?(注:計算中取3)34 解析如圖所示,以點A為坐標原點,AB所在直線為x軸,建立平面直角坐標系.(1)因為AB=18米,AD=6米,所以半圓的圓心坐標為H(9,6),半徑r=9米.設太陽光
6、線所在直線方程為y=-x+b,即3x+4y-4b=0,則由=9,解得b=24或b=(舍).故太陽光線所在直線方程為y=-x+24,令x=30,得y=,即EG=1.5米2.5米.所以此時能保證采光要求.(2)設AD=h米,AB=2r米,則半圓的圓心為H(r,h),半徑為r.解法一:設太陽光線所在直線方程為y=-x+b,即3x+4y-4b=0,由=r,解得b=h+2r或b=h-r(舍),3422|27244 |34b3234323422|344 |34rhb12故太陽光線所在直線方程為y=-x+h+2r,令x=30,得y=2r+h-,由y,得h25-2r,所以S=2rh+r2=2rh+r22r(2
7、5-2r)+r2=-r2+50r=-(r-10)2+250250,當且僅當r=10時取等號.所以當AB=20米且AD=5米時,可使得活動中心的截面面積最大.解法二:易知當EG恰為2.5米時,活動中心的截面面積最大,此時點G的坐標為(30,2.5),設過點G的太陽光線所在直線為l1,則l1的方程為y-=-(x-30),即3x+4y-100=0.344525212323252525234由直線l1與半圓H相切,得r=.而點H(r,h)在直線l1的下方,則3r+4h-1000,即r=-,從而h=25-2r.S=2rh+r2=2r(25-2r)+r2=-r2+50r=-(r-10)2+250250,當且僅當r=10時取等號,所以當AB=20米且AD=5米時,可使得活動中心的截面面積最大.|34100|5rh341005rh12325252
數學第二章 函數 2.8 函數模型及其應用
