《二倍角的三角函數(shù)（二）》教學(xué)案

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1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-----傾情為你奉上 《3.2二倍角的三角函數(shù)（二）》教學(xué)案 第2課時　二倍角的三角函數(shù)的應(yīng)用 (教師用書獨具) ●三維目標(biāo) 1．知識與技能 (1)能用倍角公式推導(dǎo)出半角公式． (2)能運用三角函數(shù)的公式進行簡單的恒等變換． (3)會用三角函數(shù)解決一些簡單的實際問題． 2．過程與方法 讓學(xué)生由倍角公式導(dǎo)出半角公式，領(lǐng)會從一般化歸為特殊的數(shù)學(xué)思想，體會公式所蘊涵的和諧美，激發(fā)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)的興趣；通過例題講解，總結(jié)方法，通過做練習(xí)，鞏固所學(xué)知識． 3．情感、態(tài)度與價值觀 通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，使學(xué)生對三角函數(shù)各個公式之間有一個全新的認(rèn)識；理解掌握三角函數(shù)各個公式的各

2、種變形，增強學(xué)生靈活運用數(shù)學(xué)知識的能力、邏輯推理能力和綜合分析能力，提高逆用思維的能力． ●重點難點 重點：角的和、差、倍公式的綜合應(yīng)用． 難點：運用所學(xué)公式解決簡單的實際問題． 教學(xué)方案設(shè)計 (教師用書獨具) ●教學(xué)建議 關(guān)于半角公式的教學(xué) 教學(xué)時，建議教師從讓學(xué)生回憶二倍角的三個余弦公式出發(fā)，提出問題“如何用角θ的三角函數(shù)值，表示角的三角函數(shù)值”．在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生自主歸納探究，并總結(jié)出半角公式，然后結(jié)合半角公式的特點，師生共同總結(jié)出公式記憶方法，最后通過典型例題及題組訓(xùn)練熟悉并掌握半角公式．整個教學(xué)立足于體現(xiàn)一種“以思導(dǎo)學(xué)”的知識生成過程． ●教學(xué)流程

3、????? 課前自主導(dǎo)學(xué) 課標(biāo)解讀 1.能用二倍角公式導(dǎo)出半角公式． 2.能運用所學(xué)三角函數(shù)的公式進行簡單的恒等變換．(重點) 3.會用三角函數(shù)解決一些簡單的實際問題．(難點) 降冪公式與半角公式 【問題導(dǎo)思】　 　已知cos α的值，如何求sin 的值？ 【提示】　由cos α＝1－2sin2得sin2＝， ∴sin ＝± . 　(1)降冪公式 ①sin2＝； ②cos2＝； ③tan2＝＝. (2)半角公式 ①sin ＝± ； ②cos ＝± ； ③tan ＝± ＝＝. 課堂互動探究 三角函數(shù)式的化簡與證明 例1　化簡c

4、os2(θ＋15°)＋cos2(θ－15°)－cos 2θ. 【思路探究】　此式中出現(xiàn)了θ＋15°，θ－15°與2θ，要達(dá)到角的統(tǒng)一，需將角θ＋15°，θ－15°向角2θ進行轉(zhuǎn)化，因此，可考慮降冪公式． 【自主解答】　cos2(θ＋15°)＋cos2(θ－15°)－cos 2θ ＝＋－cos 2θ ＝1＋[cos(2θ＋30°)＋cos(2θ－30°)]－cos 2θ ＝1＋(cos 2θcos 30°－sin 2θsin 30°＋cos 2θcos 30°＋sin 2θsin 30°)－cos 2θ ＝1＋×2cos 2θcos 30°－cos 2θ ＝1＋cos 2θ－cos

5、 2θ＝1. 規(guī)律方法 1．應(yīng)用降冪公式可將“二次式”轉(zhuǎn)化為“一次式”． 2．三角函數(shù)式的化簡，一般從減少角的種類、減少函數(shù)的種類、改變函數(shù)運算的結(jié)構(gòu)入手，常采用化弦法、化切法、異角化同角、異次化同次、異名化同名等方法，達(dá)到化簡的目的． 互動探究 　如將本例改為“sin2(θ＋15°)＋sin2(θ－15°)＋cos 2θ”，如何化簡？ 【解】　原式＝＋＋cos 2θ ＝1－[cos(2θ＋30°)＋cos(2θ－30°)]＋cos 2θ ＝1－＋cos 2θ ＝1－cos 2θ＋cos 2θ＝1. 利用和、差、倍角公式研究函數(shù) 的性質(zhì) 例2　求函數(shù)f(

6、x)＝5cos2x＋sin2x－4sin xcos x，x∈[，]的最小值，并求其單調(diào)減區(qū)間． 【思路探究】　→→→ 【自主解答】　f(x)＝5·＋·－2sin 2x ＝3＋2cos 2x－2sin 2x ＝3＋4(cos 2x－sin 2x) ＝3＋4(sin cos 2x－cos sin 2x) ＝3＋4sin(－2x) ＝3－4sin(2x－)， ∵≤x≤， ∴≤2x－≤. ∴sin(2x－)∈[，]． ∴當(dāng)2x－＝，即x＝時， f(x)取最小值為3－2. ∵y＝sin(2x－)在[，]上單調(diào)遞增， ∴f(x)在[，]上單調(diào)遞減． 規(guī)律方法 1．研究函

7、數(shù)性質(zhì)的一般步驟： (1)對函數(shù)式化簡； (2)借用函數(shù)圖象，運用數(shù)形結(jié)合法研究函數(shù)的性質(zhì)． 2．對三角函數(shù)式化簡的常用方法： (1)降冪化倍角； (2)升冪角減半； (3)利用f(x)＝asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)(其中tan φ＝)，化同名函數(shù)． 變式訓(xùn)練 　(2013·濟寧高一檢測)已知函數(shù)f(x)＝2cos2x＋2sin xcos x＋3，x∈R. (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期； (2)求函數(shù)f(x)在(0，]上的最小值與最大值． 【解】　(1)f(x)＝2cos2x＋2sin xcos x＋3 ＝cos 2x＋sin 2x＋4＝2sin(2

8、x＋)＋4. 所以函數(shù)f(x)的最小正周期T＝＝π. (2)∵0＜x≤，∴＜2x＋≤， 當(dāng)x＝時，2x＋＝，函數(shù)f(x)取得最小值為5. 當(dāng)x＝時，2x＋＝，函數(shù)f(x)取得最大值為6. 三角函數(shù)的實際應(yīng)用 例3　點P在直徑AB＝1的半圓上移動，過P作圓的切線PT，且PT＝1，∠PAB＝α，問α為何值時，四邊形ABTP的面積最大？ 【思路探究】　首先根據(jù)題意畫出圖形，然后根據(jù)圓的幾何性質(zhì)和四邊形面積的求法，將四邊形的面積表示為三角函數(shù)的形式，最后利用三角函數(shù)的性質(zhì)解決． 【自主解答】　如圖，∵AB為直徑，∴∠APB＝90°， PA＝cos α，PB＝sin α. 又

9、PT切圓于P點， ∴∠TPB＝∠PAB＝α， ∴S四邊形ABTP＝S△PAB＋S△TPB＝PA·PB＋PT·PBsin α＝sin αcos α＋sin2α＝sin 2α＋ ＝(sin 2α－cos 2α)＋＝sin(2α－)＋. ∵0＜α＜，∴－＜2α－＜. ∴當(dāng)2α－＝，即當(dāng)α＝時，四邊形ABTP的面積最大，最大為. 規(guī)律方法 　解決實際問題時，應(yīng)首先設(shè)定主變量角α以及相關(guān)的常量與變量，建立含有角α的三角函數(shù)的關(guān)系式，再利用三角變換、三角函數(shù)的性質(zhì)等進行求解．一般地，求最值的問題需利用三角函數(shù)的有界性來解決． 變式訓(xùn)練 　某工人要從一塊圓心角為45°的扇形木板中割出一

10、塊一邊在半徑上的內(nèi)接長方形桌面，若扇形的半徑長為1 m，求割出的長方形桌面的最大面積為________． 【解析】　如圖，連結(jié)OC，設(shè)∠COB＝θ，則0°＜θ＜45°，OC＝1， ∵AB＝OB－OA＝cos θ－AD＝cos θ－BC＝cos θ－sin θ， ∴S矩形ABCD＝AB·BC＝(cos θ－sin θ)sin θ ＝－sin2θ＋sin θcos θ ＝－(1－cos 2θ)＋sin 2θ ＝(sin 2θ＋cos 2θ)－ ＝cos(2θ－)－， 當(dāng)2θ－＝0， 即θ＝時， Smax＝(m2)， ∴割出的長方形桌面的最大面積為 m2. 【答案】　 m

11、2 易錯易誤辨析 三角函數(shù)式化簡時忽視角的范圍致誤 典例　已知＜α＜2π， 化簡 . 【錯解】　 ＝＝ ＝ ＝ ＝ ＝cos . 【錯因分析】　上述錯解在于運用倍角公式從里到外去根號時，沒有顧及角的范圍而選擇正、負(fù)號，只是機械地套用公式． 【防范措施】　應(yīng)根據(jù)三角函數(shù)式的值的符號去掉絕對值，因此在去掉三角函數(shù)式的絕對值符號時，要注意角的范圍問題． 【正解】　 ＝ ＝ ＝. 因為＜α＜2π， 所以＜＜π， 所以cos ＜0， 所以原式＝＝ ＝＝|sin |. 因為＜α＜2π，所以＜＜， 所以sin ＞0，所以原式＝sin . (1)

12、二倍角余弦公式變形用來升冪降冪，應(yīng)靈活掌握：sin2α＝，cos2α＝. (2)解決有關(guān)的化簡、求值、證明時注意二倍角公式的綜合運用． (3)對于三角函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用，其求解策略為引入恰當(dāng)?shù)妮o助角，建立有關(guān)輔助角的三角函數(shù)表達(dá)式，并利用和、差、倍角公式進行化簡整理．由于引入輔助角的恰當(dāng)與否直接影響該題的計算量，故求解時多注意分析題設(shè)，恰當(dāng)引入． 當(dāng)堂雙基達(dá)標(biāo) 1．若cos α＝，且α∈(0，π)，則sin 的值為________． 【解析】　∵α∈(0，π)，∴∈(0，)， ∴sin ＝＝＝. 【答案】　 2．已知cos α＝－，且π＜α＜，則cos ＝________.

13、 【解析】　∵π＜α＜π，∴＜＜π， ∴cos ＝－＝－＝－. 【答案】　－ 3．已知tan ＝3，則cos α＝________. 【解析】　由tan ＝ ＝3可得： ＝9，則cos α＝－. 【答案】?。? 4．化簡：(0＜θ＜π)． 【解】　原式 ＝ ＝＝. ∵0＜θ＜π，∴0＜＜. ∴cos ＞0. ∴原式＝－cos θ. 課后知能檢測 一、填空題 1．sin＝________. 【解析】　sin＝ ＝ ＝. 【答案】　 2.＋cos2 15°＝________. 【解析】　原式＝－＋× ＝－＋＋cos 30°＝. 【答案】　 3．5π<θ

14、<6π，cos＝a，則sin＝________. 【解析】　∵5π<θ<6π，∴<<，∴sin<0. sin ＝－ ＝－ . 【答案】?。? 4．函數(shù)f(x)＝2cos x(sin x＋cos x)的最小正周期為________． 【解析】　f(x)＝2cos x(sin x＋cos x)＝2cos xsin x＋2cos2x＝sin 2x＋cos 2x＋1＝sin(2x＋)＋1. 故最小正周期為T＝＝π. 【答案】　π 5.＋2的化簡結(jié)果是________． 【解析】　原式＝2|cos 4|＋2|sin 4－cos 4|. ∵π＜4，∴cos 4＜0，sin 4＜cos

15、4. ∴原式＝－2cos 4＋2cos 4－2sin 4＝－2sin 4. 【答案】　－2sin 4 6．在△ABC中，角A、B、C滿足4sin2－cos 2B＝，則角B的度數(shù)為________． 【解析】　在△ABC中，A＋B＋C＝180°，由4sin2－cos 2B＝，得4·－2cos2B＋1＝， ∴4cos2B－4cos B＋1＝0.∴cos B＝，B＝60°. 【答案】　60° 7．(2013·四川高考)設(shè)sin 2α＝－sin α，α∈(，π)，則tan 2α的值是________． 【解析】　∵sin 2α＝－sin α，∴2sin αcos α＝－sin α.

16、∵α∈(，π)，sin α≠0， ∴cos α＝－. 又∵α∈(，π)，∴α＝π， ∴tan 2α＝tan π＝tan(π＋)＝tan ＝. 【答案】　 8．設(shè)f(x)＝＋sin x＋a2sin(x＋)的最大值為＋3，則常數(shù)a＝________. 【解析】　f(x)＝＋sin x＋a2sin(x＋) ＝cos x＋sin x＋a2sin(x＋) ＝sin(x＋)＋a2sin(x＋) ＝(＋a2)sin(x＋)． 依題意有＋a2＝＋3，∴a＝±. 【答案】　± 二、解答題 9．設(shè)π＜θ＜2π，cos ＝a，求 (1)sin θ的值；(2)cos θ的值；(3)sin2

17、的值． 【解】　(1)∵π＜θ＜2π，∴＜＜π， 又cos ＝a， ∴sin ＝＝， ∴sin θ＝2sin cos ＝2a. (2)cos θ＝2cos2－1＝2a2－1. (3)sin2＝＝. 10．若π＜α＜，化簡＋. 【解】　∵π＜α＜，∴＜＜， ∴cos ＜0，sin ＞0. ∴原式＝＋ ＝＋ ＝－＋＝－cos . 11．(2013·山東高考)設(shè)函數(shù)f(x)＝－sin2ωx－sin ωxcos ωx(ω＞0)，且y＝f(x)圖象的一個對稱中心到最近的對稱軸的距離為. (1)求ω的值； (2)求f(x)在區(qū)間[π，]上的最大值和最小值． 【解】　(1)f

18、(x)＝－sin2ωx－sin ωxcos ωx ＝－·－sin 2ωx ＝cos 2ωx－sin 2ωx ＝－sin(2ωx－)． 因為圖象的一個對稱中心到最近的對稱軸的距離為， 又ω＞0，所以＝4×. 因此ω＝1. (2)由(1)知f(x)＝－sin(2x－)． 當(dāng)π≤x≤時，≤2x－≤. 所以－≤sin(2x－)≤1. 因此－1≤f(x)≤. 故f(x)在區(qū)間[π，]上的最大值和最小值分別為，－1. 教師備課資源 (教師用書獨具) 備選例題 　已知sin θ＋cos θ＝2sin α，sin2β＝sin θcos θ，求證：2cos 2α＝cos

19、 2β. 【思路探究】　觀察問題的條件和結(jié)論，發(fā)現(xiàn)被證的等式中不含角θ，因此從已知條件中消去角θ，問題即得證． 【自主解答】　由題意，得 ①2－②×2，得4sin2α－2sin2β＝1. 變形為1－2sin2β＝2－4sin2α，則有cos 2β＝2cos 2α. 規(guī)律方法 　對于給定條件的三角恒等式的證明，常用的方法有直推法和代入法．將條件角轉(zhuǎn)化為結(jié)論角后，由條件等式直接推到結(jié)論等式，就是直推法；有時從條件等式中解出關(guān)于某個角的某個三角函數(shù)值，代入結(jié)論等式便消去某個角，從而將問題轉(zhuǎn)化為三角恒等式的證明問題，這就是代入法的基本思想方法． 備選變式 　已知cos θ＝，求證：tan2＝tan2tan2. 【證明】　∵＝＝tan2，同理有＝tan2， ＝tan2， ∴tan2＝＝ ＝ ＝ ＝tan2tan2. 專心---專注---專業(yè)