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1、欄目索引第第1919講講直角三角形與勾股定理直角三角形與勾股定理欄目索引夯基礎學易夯基礎學易考點一考點一 直角三角形的性質直角三角形的性質(5年年4考考)1.直角三角形的兩銳角互余;2.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半;3.直角三角形中30角所對的直角邊等于斜邊的一半;4.勾股定理:直角邊的平方和等于斜邊的平方.欄目索引夯基礎學易考點二考點二 直角三角形的判定直角三角形的判定(5年年5考考)1.有一個角是直角的三角形是直角三角形;2.有兩個角互余的三角形是直角三角形;3.若一個三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方,則這個三角形是直角三角形;4.若一個三角形一邊上的中線等于這邊的一半,則這個三
2、角形是直角三角形.欄目索引夯基礎學易1.(2018瀘州)“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關系證明了勾股定理,是我國古代數(shù)學的驕傲.如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形.設直角三角形的較長直角邊長為a,較短直角邊長為b.若ab=8,大正方形的面積為25,則小正方形的邊長為( D )A.9 B.6 C.4 D.3學法提點學法提點利用面積和表示出大正方形的面積,從而建立關于a、b的等式進行解題.欄目索引夯基礎學易2.(2018揚州)在RtABC中,ACB=90,CDAB于D,CE平分ACD交AB于E,則下列結論一定成立的是( C )A.BC=EC B.EC=BEC
3、.BC=BE D.AE=EC欄目索引研真題優(yōu)易類型類型 利用直角三角形的性質求線段的長度利用直角三角形的性質求線段的長度例例九章算術中的“折竹抵地”問題:今有竹高一丈,末折抵地,去根六尺.問折高者幾何?意思是一根竹子,原高一丈(一丈=10尺),一陣風將竹子折斷,其竹梢恰好抵地,抵地處離竹子底部6尺遠,問折斷處離地面的高度是多少?設折斷處離地面的高度為x尺,則可列方程為 ( D )A.x2-6=(10-x)2 B.x2-62=(10-x)2C.x2+6=(10-x)2 D.x2+62=(10-x)2研真題優(yōu)易欄目索引研真題優(yōu)易在三角形紙片ABC中,ACB=90,AC=6,BC=8,沿過其中一個頂
4、點的直線把ABC剪開,若剪得的兩個三角形中僅有一個是等腰三角形,那么這個等腰三角形的面積不可能是( D )A.14.4 B.19.2C.18.75 D.17欄目索引試真題練易命題點命題點 直角三角形的存在性問題直角三角形的存在性問題(2015山西,24節(jié)選)綜合與探究如圖,在平面直角坐標系xOy中,拋物線W的函數(shù)表達式為y=-x2+x+4.拋物線W與x軸交于A,B兩點(點B在點A的右側),與y軸交于點C,它的對稱軸與x軸交于點D,直線l經過C,D兩點.4211621試真題練易欄目索引試真題練易(1)求A,B兩點的坐標及直線l的函數(shù)表達式;(2)將拋物線W沿x軸向右平移得到拋物線W,設拋物線W的
5、對稱軸與直線l交于點F.當ACF為直角三角形時,求點F的坐標,并直接寫出此時拋物線W的函數(shù)表達式.欄目索引試真題練易解析解析(1)當y=0時,-x2+x+4=0,解得x1=-3,x2=7,點A的坐標為(-3,0),點B的坐標為(7,0).-=-=2,拋物線W的對稱軸為直線x=2,點D的坐標為(2,0).當x=0時,y=4.點C的坐標為(0,4).設直線l的表達式為y=kx+b(k0),代入C、D兩點,則解得42116212ba16214221 4,20,bkb2,4,kb 欄目索引試真題練易直線l的函數(shù)表達式為y=-2x+4.(2)拋物線W向右平移,只有一種情況符合要求,即FAC=90.設此時
6、拋物線W的對稱軸交x軸于點G.1+2=90,2+3=90,1=3,tan1=tan3,=.FGAGAOCO設點F的坐標為(xF,-2xF+4),=,解得xF=5,( 24)( 3)FFxx 34-2xF+4=-6,點F的坐標為(5,-6),此時拋物線W的函數(shù)表達式為y=-x2+x.4214021欄目索引探難疑知易易錯題易錯題 (2018淄博)(1)操作發(fā)現(xiàn):如圖,小明畫了一個等腰三角形ABC,其中AB=AC,在ABC的外側分別以AB,AC為腰作了兩個等腰直角三角形ABD,ACE,分別取BD,CE,BC的中點M,N,G,連接MG,NG.小明發(fā)現(xiàn)了:線段MG與NG的數(shù)量關系是 ;位置關系是 ;(2
7、)類比思考:如圖,小明在此基礎上進行了深入思考:把等腰三角形ABC換為一般的銳角三角形,其中ABAC,其他條件不變,小明發(fā)現(xiàn)的上述結論還成立嗎?請說明理由;探難疑知易欄目索引探難疑知易(3)深入研究:如圖,小明在(2)的基礎上,又作了進一步的探究:向ABC的內側分別作等腰直角三角形ABD,ACE,其他條件不變,試判斷GMN的形狀,并給予證明. 欄目索引探難疑知易解析解析(1)連接BE,CD相交于H,ABD和ACE都是等腰直角三角形,AB=AD,AC=AE,BAD=CAE=90,CAD=BAE,ACD AEB,CD=BE,ADC=ABE,BDC+DBH=BDC+ABD+ABE=BDC+ABD+A
8、DC=ADB+ABD=90,BHD=90,CDBE,點M,G分別是BD,BC的中點,MGCD,同理NGBE,MG=NG,MGNG,故答案為MG=NG,MGNG.1212欄目索引探難疑知易(2)連接CD,BE相交于H,同(1)的方法得,MG=NG,MGNG.(3)連接EB,DC,并延長相交于H,同(1)的方法得,MG=NG,同(1)的方法得,ABE ADC,AEB=ACD,欄目索引探難疑知易CEH+ECH=AEH-AEC+180-ACD-ACE=ACD-45+180-ACD-45=90,DHE=90,同(1)的方法得,MGNG.GMN為等腰直角三角形.錯解錯解由于不能利用中點構造三角形的中位線,
9、只能堆砌已知得出許多結論,形不成條理的思維,清晰的邏輯推理而發(fā)生各種各樣的錯誤.錯誤鑒定錯誤鑒定當關于中點的條件比較多時,沒有形成必要的條件反射構造中位線或延長過中點的線段構造全等三角1形,導致找不到解題的突破口.欄目索引探難疑知易(2018臺州節(jié)選)如圖,在RtABC中,AC=BC,ACB=90,點D,E分別在AC,BC上,且CD=CE.(1)如圖1,求證:CAE=CBD;(2)如圖2,F是BD的中點,求證:AECF.欄目索引探難疑知易解析(1)在ACE和BCD中,ACE BCD,CAE=CBD.,90 ,ACBCACBACBCECD (2)如圖,設AE、CF相交于M,在RtBCD中,點F是BD的中點,CF=BF,BCF=CBF,由(1)知,CAE=CBD,BCF=CAE,CAE+ACF=BCF+ACF=ACB=90,AMC=90,AECF.
中考數(shù)學第四單元 三角形 第19講 直角三角形與勾股定理
