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1、
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2、 1
第五篇 數(shù)列(必修5)
第1節(jié) 數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法
課時(shí)訓(xùn)練 練題感 提知能
【選題明細(xì)表】
知識(shí)點(diǎn)、方法
題號(hào)
數(shù)列的概念與表示法
3、5
由數(shù)列的前幾項(xiàng)求數(shù)列的通項(xiàng)
4、8
遞推公式的應(yīng)用
2、6、9
an與Sn的關(guān)系
1、10、11、13
數(shù)列與函數(shù)
7、12、14、15、16
A組
一、選
3、擇題
1.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2,則a8的值為( A )
(A)15 (B)16 (C)49 (D)64
解析:由a8=S8-S7=64-49=15,故選A.
2.(20xx華師大附中高三模擬)數(shù)列{an}中,a1=1,an=1an-1+1,則a4等于( A )
(A)53 (B)43 (C)1 (D)23
解析:由a1=1,an=1an-1+1得,
a2=1a1+1=2,a3=1a2+1=12+1=32,
a4=1a3+1=23+1=53.
故選A.
3.下列數(shù)列中,既是遞增數(shù)列又是無(wú)窮數(shù)列的是( C )
(A)1,12,13,14,…
(B)-1,-2,
4、-3,-4,…
(C)-1,-12,-14,-18,…
(D)1,2,3,…,n
解析:根據(jù)定義,屬于無(wú)窮數(shù)列的是選項(xiàng)A、B、C(用省略號(hào)),屬于遞增數(shù)列的是選項(xiàng)C、D,故滿足要求的是選項(xiàng)C.故選C.
4.下列關(guān)于星星的圖案中,星星的個(gè)數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)數(shù)列,該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是( C )
(A)an=n2-n+1 (B)an=n(n-1)2
(C)an=n(n+1)2 (D)an=n(n+2)2
解析:從題圖中可觀察星星的構(gòu)成規(guī)律,
n=1時(shí),有1個(gè);n=2時(shí),有3個(gè);
n=3時(shí),有6個(gè);n=4時(shí),有10個(gè);…
∴an=1+2+3+4+…+n=n(n+1)2,
故選C
5、.
5.下面五個(gè)結(jié)論:①數(shù)列若用圖象表示,從圖象上看都是一群孤立的點(diǎn);②數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是無(wú)限的;③數(shù)列的通項(xiàng)公式是唯一的;④數(shù)列不一定有通項(xiàng)公式;⑤將數(shù)列看做函數(shù),其定義域是N*(或它的有限子集{1,2,…,n}).其中正確的是( B )
(A)①②④⑤ (B)①④⑤
(C)①③④ (D)②⑤
解析:②中數(shù)列的項(xiàng)數(shù)也可以是有限的,③中數(shù)列的通項(xiàng)公式不唯一,故選B.
6.(20xx東莞模擬)數(shù)列{an}滿足:a1+3a2+5a3+…+(2n-1)·an=(n-1)·3n+1+3,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=( C )
(A)3n-1 (B)(2n-1)·3n
(C)3n (D)(2n
6、-1)·3n-1
解析:當(dāng)n≥2時(shí),有a1+3a2+5a3+…+(2n-3)·an-1=(n-2)·3n+3,兩式相減得(2n-1)an=(n-1)3n+1-(n-2)3n,即(2n-1)an=(2n-1)·3n,故an=3n.又a1=3滿足an=3n,故選C.
7.(20xx太原一模)已知函數(shù)f(x)=(3-a)x-3,x≤7,ax-6,x>7,若數(shù)列{an}滿足an=f(n)(n∈N*),且{an}是遞增數(shù)列,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( C )
(A)[94,3) (B)(94,3)
(C)(2,3) (D)(1,3)
解析:由題意,an=f(n)=(3-a)n-3,n≤7,an-6
7、,n>7,
要使{an}是遞增數(shù)列,必有3-a>0,a>1,(3-a)×7-3
8、1=-2.a6=a5-a4=-2-(-1)=-1,a7=a6-a5=-1-(-2)=1.
答案:1
10.(20xx清遠(yuǎn)調(diào)研)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2+2n-1,則a1+a25= .?
解析:∵Sn=n2+2n-1,∴a1=S1=2.
當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=n2+2n-1-[(n-1)2+2(n-1)-1]=2n+1.
∴an=2 (n=1),2n+1 (n≥2).
∴a1+a25=2+51=53.
答案:53
11.(20xx東莞市高三模擬)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2-3n,若它的第k項(xiàng)滿足2
9、S1=1-3=-2,當(dāng)n≥2時(shí)an=Sn-Sn-1=n2-3n-(n-1)2+3(n-1),∴an=2n-4,由2
10、-7n+6>0,解得n>6或n<1(舍).
故數(shù)列從第7項(xiàng)起各項(xiàng)都是正數(shù).
13.(20xx潮州期末質(zhì)檢)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2an+b,若a1=12,a2=56.
(1)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn;
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(3)設(shè)bn=ann2+n-1,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.
解:(1)由S1=a1=12,得1a+b=12;
由S2=a1+a2=43,得42a+b=43.
∴a+b=2,2a+b=3,解得a=1,b=1.故Sn=n2n+1.
(2)當(dāng)n≥2時(shí),
an=Sn-Sn-1
=n2n+1-(n-1)2n
=n3-(n-1)2(n
11、+1)n(n+1)
=n2+n-1n2+n
由于a1=12也適合an=n2+n-1n2+n.
∴an=n2+n-1n2+n.
(3)bn=ann2+n-1=1n(n+1)=1n-1n+1.
∴數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和
Tn=b1+b2+…+bn-1+bn
=1-12+12-13+…+1n-1-1n+1n-1n+1
=1-1n+1=nn+1.
B組
14.對(duì)于數(shù)列{an},a1=4,an+1=f(an),依照下表則a20xx=( D )
x
1
2
3
4
5
f(x)
5
4
3
1
2
(A)2 (B)3 (C)4 (D)5
解析:由題意a2=f
12、(a1)=f(4)=1,a3=f(a2)=f(1)=5,a4=f(a3)=f(5)=2,a5=f(a4)=f(2)=4,a6=f(a5)=f(4)=1.則數(shù)列{an}的項(xiàng)周期性出現(xiàn),其周期為4,a20xx=a4×503+3=a3=5.故選D.
15.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)an=n2(7-n)(n∈N*),則an的最大值是 .?
解析:設(shè)f(x)=x2(7-x)=-x3+7x2,
當(dāng)x>0時(shí),由f′(x)=-3x2+14x=0得,x=143.
當(dāng)00,
則f(x)在0,143上單調(diào)遞增,
當(dāng)x>143時(shí),f′(x)<0,
f(x)在143,+∞上單
13、調(diào)遞減,
所以當(dāng)x>0時(shí),f(x)max=f143.
又n∈N*,4<143<5,a4=48,a5=50,
所以an的最大值為50.
答案:50
16.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n2-n-30.
(1)求數(shù)列的前三項(xiàng),60是此數(shù)列的第幾項(xiàng)?
(2)n為何值時(shí),an=0,an>0,an<0?
(3)該數(shù)列前n項(xiàng)和Sn是否存在最值?說(shuō)明理由.
解:(1)由an=n2-n-30,得
a1=12-1-30=-30,
a2=22-2-30=-28,
a3=32-3-30=-24.
設(shè)an=60,則60=n2-n-30.
解之得n=10或n=-9(舍去).
∴60是此數(shù)列的第10項(xiàng).
(2)令an=n2-n-30=0,
解得n=6或n=-5(舍去).
∴a6=0.
令n2-n-30>0,
解得n>6或n<-5(舍去).
∴當(dāng)n>6(n∈N*)時(shí),an>0.
令n2-n-30<0,解得0
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