新版高三數(shù)學復習 第十章 第3節(jié)拋物線及其性質(zhì)~第4節(jié)曲線與方程

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1、 1

2、 1 第三節(jié) 拋物線及其性質(zhì) 題型122 拋物線的定義與標準方程 1.(20xx四川文5)拋物線的焦點到直線的距離是( ). A. B. C. D. 1.(20xx安徽文3)拋物線的準線方程是( ). A. B. C. D. 2.(

3、20xx遼寧文8)已知點在拋物線:的準線上,記的焦點為,則直線的斜率為( ) A. B. C. D. 3.(20xx新課標Ⅰ文10)已知拋物線:的焦點為,是C上一點,,則( ) A. B. C. D. 4.(20xx陜西文11)拋物線的準線方程為___________. 5.(20xx湖南文14)平面上一機器人在行進中始終保持與點的距離和到直線 的距離相等.若機器人接觸不到過點且斜率為的直線,則的取值范圍 是 . 1.(20xx陜西文3)已知

4、拋物線的準線經(jīng)過點,則該拋物線的焦 點坐標為( ). A. B. C. D. 1. 解析 由拋物線得準線,因為準線經(jīng)過點,所以, 所以拋物線焦點坐標為.故選B. 2.(20xx福建文19)已知點為拋物線:的焦點,點在拋 物線上,且. (1)求拋物線的方程; (2)已知點,延長交拋物線于點,求證: 以點為圓心且與直線 相切的圓,必與直線相切. 2.分析 (1)利用拋物線定義,將拋物線上的點到焦點距離和到準線距離相互轉化.本題 由可得,可求的值,進而確定拋物線方程; (2)欲證明以點為圓心且與直線相切的

5、圓,必與直線相切.可證明點到直線 和直線的距離相等(此時需確定兩條直線方程);也可以證明, 可轉化為證明兩條直線的斜率互為相反數(shù). 解析(1)由拋物線的定義得.因為,即,解得, 所以拋物線的方程為. (2)解法一:因為點,在拋物線:上, 所以,由拋物線的對稱性,不妨設. 由,可得直線的方程為. 由,得. 解得或,從而. 又,所以,, 所以,從而,這表明點到直線,的距離相等, 故以為圓心且與直線相切的圓必與直線相切. 解法二:設以點為圓心且與直線相切的圓的半徑為. 因為點在拋物線:上, 所以,由拋物線的對稱性,不妨設. 由,可得直線的方程為. 由,得, 解得或

6、,從而. 又,故直線的方程為, 從而. 又直線的方程為, 所以點到直線的距離. 這表明以點為圓心且與直線相切的圓必與直線相切. 1.(20xx四川文3)拋物線的焦點坐標是( ). A. B. C. D. 1. D 解析 由題意,的焦點坐標為.故選. 2.(20xx江蘇22(1))如圖所示,在平面直角坐標系中,已知直線,拋物線.若直線過拋物線的焦點,求拋物線的方程. 2. 解析 因為,所以與軸的交點坐標為,拋物線的焦點為, 所以,故. 3.(20xx浙江文19(1))如

7、圖所示,設拋物線的焦點為,拋物線上的點到軸的距離等于. 求的值. 3. 解析因為拋物線上點到焦點的距離等于點到準線的距離,由已知條件得,即. 題型123 與拋物線有關的距離和最值問題 1. (20xx江西文9)已知點,拋物線的焦點為,射線與拋物線 相交于點,與其準線相交于點,則( ). A. B. C. D. 2.(20xx江蘇9)拋物線在處的切線與兩坐標軸圍成三角形區(qū)域為(包含三 角形內(nèi)部和邊界).若點是區(qū)域內(nèi)的任意一點,則的取值范圍是 . 3.(20xx廣東文20)已知拋物線的頂點為原點,其焦點到直線 的距離

8、為,設為直線上的點,過點做拋物線的兩條切線, 其中,為切點. (1) 求拋物線的方程; (2) 當點為直線上的定點時,求直線的方程; (3) 當點在直線上移動時,求的最小值. 4.(20xx浙江文22)已知拋物線的頂點為 ,焦點. (1)求拋物線的方程; (2)過作直線交拋物線于兩點,若直線分別交 直線: 于兩點, 求 的最小值. 1.(20xx全國2卷文12)過拋物線的焦點,且斜率為的直線交于點(在軸上方),為的準線,點在上且,則點到直線的距離為( ). A.

9、 B. C. D. 1.解析 由題知,與拋物線聯(lián)立得,解得,所以. 解法一:因為,所以,因為,所以,所以到的距離為.故選C. 解法二:如圖所示,在中,由拋物線定義知,.因為,所以.又軸,所以,所以為等邊三角形,且,則點到直線的距離為. 題型124 拋物線中三角形、四邊形的面積問題 1.(20xx上海文20)有一塊正方形菜地,所在直線是一條小河,收貨的蔬菜可送到點或河邊運走.于是,菜地分為兩個區(qū)域和,其中中的蔬菜運到河邊較近,中的蔬菜運到點較近,而菜地內(nèi)和的分界線上的點到河邊與到點的距離相等,現(xiàn)建立平面直角坐標系,其中原點

10、為的中點,點的坐標為,如圖所示. (1)求菜地內(nèi)的分界線的方程; (2)菜農(nóng)從蔬菜運量估計出面積是面積的兩倍,由此得到面積的“經(jīng)驗值”為.設是上縱坐標為的點,請計算以為一邊,另一邊過點的矩形的面積,及五邊形的面積,并判斷哪一個更接近于面積的經(jīng)驗值. 1.解析 (1)不妨設設分界線上任一點為,依題意,化簡得. (2)因為,所以, 設以為一邊,另一邊過點的矩形的面積為,則, 設五邊形面積為,過作交于點,如圖所示. 則, 因為,, 所以五邊形的面積更接近的面積. 第四節(jié) 曲線與方程 題型125 求動點的軌跡方程 1. (20xx遼寧文20)如圖,拋物線.點在拋

11、物線上,過作的切線,切點為(為原點時,重合于).當時,切線的斜率為. (1)求的值; (2)當在上運動時,求線段中點的軌跡方程( 重合于時,中點為). 2. (20xx陜西文20)已知動點到直線的距離是它到點的距離的倍. (1)求動點的軌跡的方程; (2)過點的直線與軌跡交于兩點.若是的中點,求直線的斜率. 1.(20xx福建文21)已知曲線上的點到點的距離比它到直線的距離小 2. (1)求曲線的方程; (2)曲線在點處的切線與軸交于點.直線分別與直線及軸交于點,以為直徑作圓,過點作圓的切線,切點為,試探究:當點在曲線上運動(點與原點不重合)時,線段

12、的長度是否發(fā)生變化?證明你的結論. 2. (20xx廣東文20)(14分)已知橢圓的一個焦點為,離心率為, (1)求橢圓的標準方程; (2)若動點為橢圓外一點,且點到橢圓的兩條切線相互垂直,求點的軌跡方程. 3.(20xx湖北文22)在平面直角坐標系中,點到點的距離比它到軸的距離多.記點的軌跡為. (Ⅰ)求軌跡的方程; (Ⅱ)設斜率為的直線過定點. 求直線與軌跡恰好有一個公共點、兩個公共點、三個公共點時的相應取值范圍. 1.(20xx浙江文7)如圖所示,斜線段與平面所成的角為,為斜足,平面 上的動點滿足,則點的軌跡是( ). A.直線

13、 B.拋物線 C.橢圓 D.雙曲線的一支 1. 解析 若,則繞點旋轉形成圓錐面,這面被平面截得圖像是橢圓.故選C. 1. (20xx四川文15)在平面直角坐標系中,當不是原點時,定義的“伴隨點”為,當是原點時,定義“伴隨點”為它自身,現(xiàn)有下列命題: ①若點的“伴隨點”是點,則點的“伴隨點”是點;②單元圓上的“伴隨點”還在單位圓上; ③若兩點關于軸對稱,則他們的“伴隨點”關于軸對稱;④若三點在同一條直線上,則他們的“伴隨點”一定共線. 其中的真命題是 . 1.②③ 解析 對于①,若令則其伴隨點為,而的伴隨點

14、為,而不是,故①錯誤; 對于②,令單位圓上點的坐標為,其伴隨點為仍在單位圓上,故②正確; 對于③,設曲線關于軸對稱,則對曲線表示同一曲線,其伴隨曲線分別為與也表示同一曲線,又因為 其伴隨曲線分別為與的圖像關于軸對稱,所以③正確; 對于④,直線上取點得,其伴隨點消參后軌跡是圓,故④錯誤. 所以正確的序號為②③. 1.(20xx全國2卷文20)設O為坐標原點,動點M在橢圓上,過點M作x軸的垂線,垂足為N, 點P滿足. (1)求點的軌跡方程; (2)設點在直線上,且.證明:過點且垂直于的直線過的左焦點. 1. 解析 (1)如圖所示,設,,. 由知,,即. 又點在橢圓上,則有,即. (2)設,則有 ,即. 橢圓的左焦點.又,所以.所以過點且垂直于的直線過的左焦點. 歡迎訪問“高中試卷網(wǎng)”——http://sj.fjjy.org

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